Kilka słów o stronie
i jej autorach

Roczny kurs
Analizy Matematycznej

Linki do innych stron
o matematyce

 

WYKŁAD 17
 
Przykład 17.1
Zbadać ekstrema funkcji:
z=4-x2-y2
przy warunku: x+y=1

Z warunku:
y=1-x
mamy:
j(x)=z(x,1-x)=4-x2-(1-x)2=4-x2-1+2x-x2=3+2x-2x2
j'(x)=2-4x
j'(x)=0 Ű x =


zatem z - maximum warunkowe
 

Przykład 17.2
Zbadać ekstrema funkcji.
z=x2-y2
przy warunku 1=x2+y2
z warunku wyznaczamy y2=1-x2
po wstawieniu do funkcji z otrzymujemy z=j(x)=2x2-1
j'(x)=4x
j'(x)=0 Ű x=0


dla x=0 y=1 lub y=-1
otrzymaliśmy dwa punkty:

P1=(0,-1), P2=(0,1),
z(0,-1)=z(0,1)=-1 - minimum warunkowe

Wyznaczamy z warunku x2=1-y2 po wstawieniu do funkcji otrzymamy
z=j(x)= 1-2y2
j'(y)=-4y



dla y=0 x=-1 Ú x=1 otrzymaliśmy dwa punkty

Z powyższego przykładu wynika, że jeżeli wyznaczymy z warunku jedną zmienną i wstawimy do funkcji, to nie zawsze otrzymamy wszystkie ekstrema

P1=(1,0), P2=(-1,0),
z(1,0)=z(-1,0)=1 - maximum warunkowe

Metoda mnożników Lagrange'a
Niech
f: Rn->R
g: Rn->R

Znaleźć ekstremum funkcji:
y=f(x)
przy warunku:
g(x)=0

Tworzymy funkcję Lagrange'a
L(x,l)=f(x)+ lg(x)

Niech:
A={xÎRn;g(x)=0}

Zauważmy, że:
L(x,l)=f(x)

Zatem obie funkcje w zbiorze A mają takie same ekstrema
 

Twierdzenie 17.1. (W.K.)
Z:
f,g - różniczkowalne w otoczeniu x0
f - osiąga ekstremum warunkowe w punkcie x=x0 przy warunku g(x)=0
T:

Bez dowodu
 

Twierdzenie 17.2. (W.W.)
Z:
f,g - dwukrotnie różniczkowalna w otoczeniu punktu x0
W punkcie P(x0;l) jest spełniony W.K. oraz
T: f w punkcie x=x0 osiąga minimum(maximum) warunkowe.
 

Przykład 17.2 c.d.
Zbadać ekstrema warunkowe funkcji:
f(x,y)=x2-y2
przy warunku
x2+y2=1
Tworzymy funkcje Lagrange'a
L(x,y;l)= x2-y2+l(x2+y2-1)

W.K.

P1=(0,1;1), P2=(0,-1;1), P3=(-1,0;-1), P4=(1,0;-1),

W.W.


Badamy określoność drugiej różniczki

przy warunku:
dg(P1)(h)=0

dg(P1)(h)=0h1 + h2
dg(P1)(h)=0 Ű h2=0

zatem
przy warunku h2=0

Na podstawie Tw. 17.2. wnioskujemy że z (P1) - minimum warunkowe
Analogicznie postępujemy dla pozostałych punktów.
 

Definicja 17.1 (hesjan obrzeżony)
Niech L(x,l) -funkcja Lagrange'a
g(x)=0 - warunek
Macierz Hessego



Hesjany

 

Twierdzenie 17.3
 

Wniosek 17.1.(W.W.)
Jeżeli w punkcie (x0;l) jest spełniony warunek konieczny na ekstremum warunkowe

T:
 

Przykład 17.2 c.d.




 

Szukanie wartości największej i najmniejszej funkcji w obszarze


 
Niech:
f: Rn->R
DĚ Rn
D: y(x)=0 - równanie brzegu

1. Szukamy punktów stacjonarnych wewnątrz obszaru


2. Szukamy punktów stacjonarnych na brzegu

Tworzymy funkcję Lagrange'a
L(x,l)=f(x)+ lg(x)



Obliczamy wartość funkcji w punktach P1 i Qk

 

Szeregi


 
Niech (X,|| * ||) p. Banacha


tworzymy ciąg
 

Definicja 17.2 (szereg)
Zbiór dwuelementowy
(1) - nazywamy szeregiem
 

Definicja 17.3 (zbieżność szeregu)
Szereg (1) jest zbieżny przy czym S nazywamy sumą szeregu i oznaczamy

Umowa

Dla wygody szereg (1) będziemy oznaczać również symbolem

Ciąg nazywamy ciągiem sum częściowych szeregu
 

Twierdzenie 17.4 (W.K.)
Z: szereg - zb.
T:
D:
Z zał.
 

Wniosek 17.2
Jeżeli - rozbieżny
 

Przykład. 17.3
Niech XÎR
Zbadać zbieżność szeregu
Pokażemy że Sn nie jest ciągiem Cauchyego


niech m=2n



Wniosek

nie jest ciągiem Cauchy'ego => szereg - rozbieżny

- szereg harmoniczny rozbieżny
 

Definicja 17.4. (zbieżność bezwzględna szeregu)
bezwzględnie zbieżny - zbieżny
 

Twierdzenie 17.5
Każdy szereg bezwzględnie zbieżny jest zbieżny.

Z: bezwzględnie zbieżny
T: zbieżny
D: bezwzględnie zbieżny - zbieżny

Niech



z tw. o 3 ciągach - zbieżny
 

Szeregi liczbowe


 
Niech X=R
 

Twierdzenie 17.6 (I kryterium porównawcze)

Niech

Zauważmy że oba ciągi są rosnące (bo an ł0 i bn ł0)

Ad 1.
Szereg - zbieżny

Z założenia


Ad.2
Z założenia


Uwaga:
W założeniu tw. 2.6. wystarczy przyjąć że analogicznie w następnych twierdzeniach wystarczy żeby założenia dotyczące wyrazów szeregu były spełnione od pewnego n0
 

Przykład 17.4
jeżeli a>1 szereg zbieżny, jeżeli 1 szereg rozbieżny

1. a>1
Niech , Sn - rosnący
pokażemy że Sn ograniczony od góry



Uwaga:

Szereg rozbieżny jeżeli nie istnieje
 

Wykład opracował: Jakub Jeznach