Kilka słów o stronie
i jej autorach

Roczny kurs
Analizy Matematycznej

Linki do innych stron
o matematyce

 

WYKŁAD 22
 
 

Pytamy się, kiedy suma szeregu Fouriera jest równa funkcji, dla której szereg został utworzony:
 

Warunki Dirichleta
f(x) - funkcja przedziałami monotoniczna w [-l,l], tzn. przedział ten daje się podzielić na skończoną ilość podprzedziałów, w których f jest monotoniczna.
x0 - punkt nieciągłości I rodzaju tzn. ,
ponadto , czyli f(x0) jest średnią arytmetyczną obu granic.
3° Wartości funkcji na krańcach przedziału muszą być równe
 

Twierdzenie 22.1 (Dirichleta)
Z: Jeżeli funkcja f w przedziale [-l,l] spełnia warunki Dirichleta, to:
T:    
Wówczas szereg Fouriera jest zbieżny punktowo do funkcji, dla której został utworzony.
 

Stwierdzenie
SF(x) - suma szeregu Fouriera

Suma szeregu Fouriera jest funkcją okresową o okresie 2l, określoną w całym R.
" xÎR: SF (x + 2l) = SF (x)
Jeżeli znamy wartości funkcji w pełnym okresie, to znamy jej wartości w całym zbiorze liczb rzeczywistych.

Uzasadnienie:

Zatem mając dowolną funkcję określoną w [-l,l] rozwijamy ją w szereg Fouriera i sprawdzamy warunki Dirichleta.
 

Wniosek 22.1
Z: f Î L2[-l,l] (można ja rozwinąć w szereg Fouriera), funkcja f jest parzysta lub nieparzysta
T:
1°   dla funkcji parzystej,
2°   dla funkcji nieparzystej.

Dowód:
Jeżeli f jest funkcją parzystą, wówczas iloczyn , jako iloczyn funkcji parzystej i nieparzystej (sinus) jest funkcją nieparzystą, a więc całka
jest równa 0, czyli bn=0.
Natomiast jako iloczyn dwóch funkcji parzystych jest funkcją parzystą, więc .
Dla funkcji nieparzystej dowód wygląda analogicznie.
 

Uwaga 22.1
1°   f - parzysta
- jest to niepełny szereg Fouriera, szereg cosinusów.
2°   f - nieparzysta
- jest to tzw. niepełny szereg Fouriera, szereg sinusów.
 

Przykład 22.1
Niech f(x) = Asgnx   ,   |x|Ł 1 .
Zaczynamy od określenia l - jest to zawsze połowa długości przedziału. W naszym przypadku l = 1.
Sprawdzamy parzystość naszej funkcji. Funkcja f jest nieparzysta, więc otrzymamy szereg sinusów. a0=an=0. Więc


Rysujemy wykres sumy szeregu.

Średnia arytmetyczna wartości funkcji na krańcach przedziałów jest równa 0. Warunki Dirichleta są spełnione w przedziale ]-l,l[. Widzimy, że dla x=-l oraz x=l wartość sumy szeregu Fouriera nie jest równa wartości funkcji, ale ją znamy.
 

Niepełne szeregi Fouriera


 
Założenie: f Î L2[0,l] - funkcję f mamy określoną w przedziale [0,l].

Stawiamy następujące zagadnienia:
1° Rozwinąć funkcję f w szereg sinusów w [0,l], tzn. rozwinąć w szereg Fouriera funkcję w [-l,l] gdy jest ona nieparzysta.
Przedłużamy tą funkcję w sposób nieparzysty, a za wartość na końcach przedziału i w zerze przyjmujemy 0.

Ss - suma szeregu sinusów

2° Rozwinąć funkcję w szereg cosinusów w [0,l], tzn. rozwinąć w szereg Fouriera funkcję w [-l,l] gdy jest ona parzysta. Przedłużamy tą funkcję w sposób parzysty.


Uwaga: Niech j - funkcja okresowa o okresie T, j - całkowalna. Jeżeli wybierzemy dowolny przedział o długości T:
[a,b], b-a=T, to:
 

Rozwinięcie funkcji w szereg Fouriera w dowolnym przedziale [a,b]
Niech f Î L2[a,b], b-a=2l (l - połowa długości przedziału)

Wartość całki w przedziale [a,b] jest taka sama jak w przedziale [-l.l].
 

Przykład 22.2
Rozwinąć funkcję w szereg:
a)    sinusów
b)    cosinusów
c)    Fouriera w przedziale [0,p]

Ad a)
l=p, a0=an=0


Ad b)
l=p, bn=0


Ad c)
Przyjmujemy, że przedział określoności funkcji jest jej pełnym okresem.
 

Postać zespolona szeregu Fouriera


Przypomnienie

Niech     
Wówczas szereg Fouriera można zapisać jako , gdzie
Niech  
 

Definicja 22.1 (Widmo amplitudowe)
Ciąg An = |cn| nazywamy widmem amplitudowym funkcji u(x). (jest to ciąg modułów współczynników zespolonych cn)
 

Definicja 22.2 (Widmo fazowe)
Ciąg    nazywamy widmem fazowym funkcji u(x).
 

Równania różniczkowe zwyczajne


Definicja 22.3 (Równanie różniczkowe)
Niech F: R n+1 ® R   Wówczas równanie postaci:
(1) F(x,y,y', ... ,y(n)) = 0 nazywamy równaniem różniczkowym.
y=y(x) - funkcja niewiadoma, x - zmienna niezależna.
 

Definicja 22.4 (Rząd równania)
Rząd równania (1) wynosi n :Ű jeżeli w (1) występuje pochodna rzędu n (y(n)) i nie występują pochodne rzędu wyższego niż n.
 

Definicja 22.5 (Problem początkowy Cauchy'ego)
Niech x0 Î ]a,b[   y0, ... ,yn-1 Î R - zadane.
(2)     Taki układ nazywamy warunkiem początkowym Cauchy'ego.
Problem początkowy Cauchy'ego P.C. (1), (2) polega na znalezieniu rozwiązania równania (1) spełniającego warunek (2).
 

Przykład 22.3
(a) y'=2x - równanie rzędu pierwszego
(b) warunek początkowy: y(x0)=y0 (x0, y0 - zadane liczby)
y'=2x
y=x2+C - jest to rodzina funkcji.
Przez każdy punkt płaszczyzny przechodzi dokładnie jedna parabola z tej rodziny, więc istnieje tylko jedno rozwiązanie spełniające warunek początkowy (b).
 

Przykład 22.4
(a)   y''=2x
(b)   zadane liczby x0, y0, y1.

Aby rozwiązać problem początkowy (a) (b) , wstawiamy warunek początkowy (2) do rozwiązania (*):


Znalezione C1 i C2 wstawiamy do (*).

Uwaga:
Problem istnienia i jednoznaczności rozwiązań P.C. (1), (2):
- Istnienie: dla zadanych x0,y0, ... ,yn-1 istnieje rozwiązanie P.C. (1), (2).
- Jednoznaczność: dla zadanych x0,y0,...,yn-1 istniejące rozwiązanie P.C. (1), (2) jest jedyne (nie ma innych rozwiązań).
 

Definicja 22.6 (Całka szczególna)
Całką szczególną równania (1) nazywamy rozwiązanie tego równania zachowujące jednoznaczność rozwiązania problemu początkowego Cauchy'ego (P.C.) w każdym swoim punkcie.
 

Definicja 22.7 (Całka ogólna)
Całką ogólną równania (1) nazywamy zbiór wszystkich całek szczególnych tego równania.
 

Definicja 22.8 (Całka osobliwa)
Całką osobliwą równania (1) nazywamy rozwiązanie tego równania, które nie ma jednoznaczności rozwiązania P.C. w żadnym swoim punkcie (traci jednoznaczność rozwiązań P.C. w każdym swoim punkcie).
 

Wykład opracował: Daniel Starnowski