Opracowanie: Jakub Wyrostek

     
         
 
TEMAT:
Uzupełnienie rachunku
różniczkowego funkcji jednej zmiennej
 

LEMAT 1.1    (Fermata, o zerowaniu się pochodnej )

 
            Z:         

                       

 

            T:       f'(c) = 0

 

            D:       Niech dla przykładu:    
 

                        Wiemy wówczas, że:   

                        Stąd dla x<c:             .

                        Natomiast dla x>c:    ,
 

a wobec faktu, że granica przy  xc istnieje, wnioskujemy, że f'(c) = 0.

           

             (Dowód dla min jest analogiczny.)

 

 

 

TWIERDZENIE 1.1   (Rolle’a)

 

             Jeśli funkcja f(x) jest określona i ciągła w przedziale domkniętym [a,b],
             istnieje pochodna skończona przynajmniej w przedziale otwartym ]a,b[ i na
             końcach przedziału funkcja przyjmuje równe wartości, wówczas między a i b 
             można znaleźć taki punkt c, że f
'(c) = 0.

 

             Z:       

                                    f(a) = f(b)

 

            T:        

 

            D:        1º  Funkcja jest stała. Wówczas:

 

                                   

 

 

                         2º  Funkcja jest różnowartościowa (f(x) ≠ const).

                              Dla dowodu przyjmijmy, że:

 

                              ,

 

       a ponieważ funkcja jest ciągła i przyjmuje takie same wartości na
       krańcach przedziałów, wobec tego .

       Stąd na podstawie Lematu 1.1 wnioskujemy, iż

 

                              .

 

 

 

TWIERDZENIE 1.2      (Cauchy’ego)

 

Jeśli funkcje f(x) i g(x) są określone i ciągłe w przedziale domkniętym [a,b], istnieją
pochodne skończone przynajmniej w przedziale otwartym ]a,b[, i g'(x) ≠ 0
w przedziale ]a,b[, wówczas między a i b można znaleźć taki punkt c, że:    

 

 

            Z:        

                       

            T:        
 

 

D:        Wiedząc, że  wnioskujemy, iż g(b) ≠ g(a).
             Możemy zatem wprowadzić nową funkcję:

 

                         .
 

 Możemy wyliczyć , oraz . A ponieważ z własności
 kombinacji funkcji ciągłych wnioskujemy, że ,
 przeto możemy zastosować twierdzenie 1.1:

 

                         .

 

 Wyliczając pochodną , przyrównując ją do zera i przekształcając, otrzymujemy tezę.

 

 
 

TWIERDZENIE 1.3  (Lagrange’a, szczególny przypadek twierdzenia Cauchy’ego)

 

            Z:        

         

T:        
 

 

            D:        Jest to szczególny przypadek twierdzenia Cauchy’ego, dla g(x)=x.

 

 

 

            Inne postacie twierdzenia Lagrange’a.

 

           Jeśli przyjmiemy a=xo i b=x, wówczas możemy zauważyć, że wyrażenie

    da się przekształcić (przez wymnożenie licznika i mianownika
  ułamka przez (-1)) w:         
 

           gdzie a=x i b=xo. Czyli twierdzenie nie zależy od “kolejności” a i b.

 

 

           Twierdzenie możemy więc zapisać w następujący sposób:

 

  Z:         , gdzie  oraz   .

 

            T:        
 

 

 

            Wyliczanie wartości przybliżonej funkcji.

 

            Jeśli przyjmiemy x = xo + h, wtedy:  , gdzie

 

            wówczas teza twierdzenia Lagrange’a przyjmie postać:

 

            ,

 

            skąd wyliczyć możemy    .

 

            Możemy więc wysnuć wniosek 1.1

 

 

WNIOSEK 1.1

            Z:         , gdzie  oraz .

 

            T:        
 

 

 

PRZYKŁAD 1.1

 

           Obliczymy ln(1,2).

           Przyjmujemy f(x) = ln(x),  xo = 1, h = 0,2 i obliczamy:

 

                      f( xo) = 0

                       

 

           A więc:      .

 

 

 

TWIERDZENIE 1.4    (Wzór Taylora)

 

            Z:        

 

            T:        

 

                         ,

                         gdzie  nazywamy resztą Lagrange’a.

         

 

            D:        Przyjmiemy x>xo. Wprowadzimy nowe funkcje:

                                   , gdzie ,
 

                                   .

 

               Na podstawie swoich własności obie te funkcje spełniają założenia
               twierdzenia Cauchy’ego. Obliczmy ich pochodne:

                         ,

                                   .

                         Zauważmy teraz, że: h(x) = f(x) 

                                  

                                  

                                  

               Wykorzystamy teraz twierdzenie Cauchy’ego:

 

                                   ,

 

                         a z drugiej strony

 

                         .

                         A więc:

 

                         ,

                         co jest przekształceniem tezy twierdzenia.

 

 

            Inne postacie twierdzenia Taylora. Rozwinięcia funkcji.

            Powyższe twierdzenie możemy zapisać również w następujący sposób:

 

            Z:        

 

            T:        

                        ,
 


Wzór ten pozwala obliczać przybliżone wartości funkcji. Ilustruje to następujący:

PRZYKŁAD 1.1  cd

  Obliczymy ponownie ln(1,2) z dokładnością do 0,001. Ustalmy liczbę kroków n=2.
  Rozpisujemy  wzór Taylora:

                       

            Przyjmujemy f(x) = ln(x),  xo = 1,  h = 0,2 i obliczamy pochodne:

                        f( xo) = 0

                       

                       

                       

                       

          A więc: .

 

Teraz szacujemy resztę, by sprawdzić, czy otrzymana wartość logarytmu mieści się w zadanej dokładności. Przyjmujemy , gdyż funkcja ma wówczas największą wartość.

 

                        .

 

Zadana reszta jest więc większa od żądanej dokładności. Musimy zatem wziąć większe n.

             

Weźmy n=3. Wówczas:

 

 

  

Zatem    z żądaną

 

dokładnością mniejszą niż 0,001.

 

 

 

          Wzór Taylora w otoczeniu zera.

          Przyjmiemy h = x ( xo=0 ). Otrzymujemy:

TWIERDZENIE 1.5    (MacLaurina)

 

            Z:        

            T:           ,    gdzie  .

 

 

 

NIESKOŃCZENIE MAŁE

DEFINICJA 1.1 (nieskończenie małe)

           Jeżeli  oraz , wówczas f(x) nazywamy nieskończenie
małą w .

 

 
 

PRZYKŁAD 1.2 

            Funkcje:

 

            f(x) = x
            g(x) = x2

            h(x) = sin x

            są nieskończenie małe w otoczeniu w otoczeniu  xo = 0.



 

DEFINICJA 1.2

 

            Niech  f(x), g(x)  –  nieskończenie małe w ot( xo),

 

1.         f(x) = o(g(x)) i mówimy, że f(x) jest nieskończenie małą rzędu wyższego niż .
 

 

2.         f(x) i g(x) są nieskończenie małe w otoczeniu  xo tego samego rzędu


 

3.         f(x) i g(x) są nieskończenie małe w otoczeniu xo równoważne

            .

 

 

UWAGA 1.1

Reszta we wzorze MacLaurina jest w otoczeniu zera nieskończenie małą rzędu
wyższego niż xn
, co zapisujemy:

            Rn(x) = o(xn).

            Uzasadnienie:

                       

 

                       

 

 

WNIOSEK 1.2

            Tezę twierdzenia MacLaurina można zapisać w następujący sposób:

            , gdzie o(xn) jest tzw. resztą Peano.
 

 

 

 

PRZYKŁAD 1.3

 

          1º          f(x) = ex  xo = 0

 

                       

 

2º           g(x) = sin x     xo = 0

             

             

             

 

                       

 

                        

                       

 

            Analogicznie postępując jak wyżej możemy wyprowadzić wzór na cos x.

 

                       
 

       


Strona głównA