Opracowanie: Michał Półtorak

     
         
 
TEMAT:
Całki wielokrotne
 

            Niech  (,Β(), ln) – przestrzeń z miarą

            Β() - s algebra generowana przez

            gdziepodzb. zb. miary Lebesque’a zero}

 

            Niech    f – ln - całkowalna

 

              ln(dx) =  ln(dx)     całka względem miary Lebesque’a w

 

            Niech

             ln(dx) = ln(dx)

            oznaczenie:  ln(dx) = dx1...dxn

 

 

 

TWIERDZENIE 22.1

            Z :       fÎC[a,b]           
 

T :       f – całkowalna na [a,b]

 

bez dowodu

 

 

 

TWIERDZENIE 22.2    (O WARTOŚCI ŚREDNIEJ)

 

 Z:        fÎC[a,b]

 T:        ln([a,b]), gdzie       ln[a,b] =
 

 D:        Niech  

 

 z monotoniczności całki :

 

 a ln([a,b]) Ł n([a,b])

 

 
 

 

 

 

 

CAŁKA PODWÓJNA

           Niech f : całkowalna,- przestrzeń z miarą

           [a,b] = [a1,b1] ´ [a2,b2]

          

 

 

 

TWIERDZENIE 22.3    (FUBINIEGO)

 

Z:        f – całkowalna na [a,b]

Niech j : [a1,b1] '

 

T:       1° j - całkowalna na [a1,b1]            (l1 – całkowalna)

2°

 

 

 

          UWAGA:   
          Jeżeli f
Î C[a,b] to jest cgła na [a1,b1]

 

 

 

 

WNIOSEK 22.1

            Jeżeli , f – całkowalna na [a,b] to:

 

1° Y - całkowalna na [a2,b2]

2°

 

 

 

 

DEFINICJA 22.1      (OBSZAR NORMALNY)

 

R2 É D – normalny względem osi OX,

}

              

                                   

 

            Obszar normalny względem osi OX (nie jest normalny względem osi OY)

 

 

 

TWIERDZENIE 22.4        (O ITERACJI)

 

Z:         f Î C(D)         D – obszar normalny względem osi OX

T:       

 

 

D:

                       

                        Niech , , P = [a,b] ´[c,d]

 

 Niech

 

 

 f* - całkowalna na P

 , ale =

 

 =

 

 

 zatem:

    teza

 



Analogiczne, twierdzenie jest prawdziwe,
jeżeli obszar D jest normalny względem osi OY.

 

 

 

 

PRZYKŁAD 22.1

               Obliczyć         D – ograniczony krzywymi: x=0,  y=1,

                                             

              

                                               

 

                     

 

Rzutujemy obszar D na oś OY zmieniając kolejność całkowania

 

 

 

 

 

 

TWIERDZENIE 22.5     (O ZAMIANIE ZMIENNYCH)

 

Z:       

1° F - bijekcja - ciągła w D È śD

2° FÎC1(D)

            J(u,v)=det[F’(u,v)]

            3°

 

T:       

J(u,v)

 

 

bez dowodu

 

 

 

PRZYKŁAD 22.2

                     D – ograniczony krzywymi:  xy = 1, xy = 2, y = 2x, y=x 

                                             

          

 

  

Niech

 

 

            

                       

            

  w D

 

 

 

       


Strona głównA