Zbiory i funkcjonały wypukłe

1.1   Definicja Podzbiór $A \subset \mathcal{B}$ liniowej przestrzeni unormowanej jest nazywany wypukłym jeśli dla wszystkich $x,y \in A$ oraz $t\in [0,1]$ zachodzi

$$tx\,+\,(1-t)y\,\in\,A.$$ (1.1)

Funkcjonał $f:A\longrightarrow \mathbb{R}$ określony na zbiorze wypukłym $A \subset \mathcal{B}$ jest nazywany wypukłym jeśli

$$f\big[tx\,+\,(1-t)y \big]\,\leq\,tf[x]\,+\,(1-t)f[y]$$ (1.2)

dla dowolnych $x,y \in A$ oraz $t\in [0,1]$.

Proste kryterium. Niech:
a) $f:A\longrightarrow \mathbb{R}$ jest funkcjonałem określonym na wypukłym zbiorze $A \subset \mathcal{B}$;
b)dla dowolnego $u \in \mathcal{B}$ i każdego $x\in A$ istnieje druga różniczka
$d^{2}f[x]:\mathcal{B}\times \mathcal{B}\longrightarrow \mathbb{R}^{1}$ oraz

$$d^{2}f[x](u,u)\,\geq\,0.$$ (1.3)

Wtedy funkcjonał $f:A\longrightarrow \mathbb{R}$ jest wypukły.

$\lhd$ W dowodzie korzystamy z twierdzenia o wartości średniej pochodnej na otwartym przedziale $(a,b)\subset [0,1]$ (np. $(a,b)=(0,1)$)
Mamy: dla dowolnego $t\in [0,1]$ i $x,y \in A$

$$tf[x]\,+\,(1-t)f[y]\,-\,f\big[tx\,+\,(1-t)y\big]\,=$$

$$=\,t\big\{f[x]\,-\,f[y\,+\,(1-t)(y-x)]\big\}\,+\,(1-t)\big \{f[y]\,-\,f[y+t(x-y)] \big \}\,\Longrightarrow$$

$$\Longrightarrow\,-t dF\big[x\,+\,\alpha(1-t)(y-x) \big]\big((1-t)(y-x)\big)\,-\,(1-t)dF\big[y\,+\,\beta t(x-y)\big](t(x-y))\,\Longrightarrow$$

$$\Longrightarrow\,(1-t)t\big(1-\beta t\,+\,\gamma\,-\,\gamma t\big)d^{2}f\big[\delta(y\,+\,\beta t(x-y))\,+$$

$$+\,(1-\delta)(x\,+\,\alpha(1-t)(y-x))\big](x-y,x-y)\,\geq 0. \rhd$$