Słaba zbieżność i słaba zwartość.

Niech zbiór $A \subset \mathcal{B}$ jest zwarty. Wtedy zachodzi następujące twierdzenie

2.1   Twierdzenie Niech funkcjonał $f:A\longrightarrow \mathbb{R}$ jest tylko ciągły. Wtedy istnieje taki element $\overline{x}\in A$, że zachodzi równość:

$$f[\overline{x}]=\min_{x\in\, A}f[x]$$ (2.1)

tj. $f[\overline{x}]\leq f[x]$ dla wszystkich $x\in A$

Dowód jest prosty, oparty na pojęciu zwartości zbioru $A$.

Niestety warunek ciągłości jest bardzo silnym, tj. ograniczającym klasę funkcjonałów. $f:A\longrightarrow \mathbb{R}$.

Okazuje się, że wystarczy założyć, że funkcjonał $f:A\longrightarrow \mathbb{R}$ jest semi-ciągłym z dołu na $A$, tj. dla każdego $x\in A$ oraz ciągu $\{x_{n}\in A: n\in \mathbb{Z}_{+}\}$ takiego, że

$$\lim_{n\longrightarrow\infty}\,x_{n}\,=\,x$$ (2.2)

zachodzi nierówność

$$f[x]\,\leq\,\underset{n\longrightarrow\infty}{\underline{\lim}}f[x_{n}].$$

W przypadku Tw.2 zbiór zwarty $A \subset \mathcal{B}$ okazuje się bardzo małym, nie zawierającym punktów wewnętrznych, ponieważ prawdziwe jest takie twierdzenie o zbiorach w $\mathcal{B}$.

2.2   Twierdzenie Zbiór $B_{\varepsilon}\subset \mathcal{B}$, gdzie

$$B_{\varepsilon}\,:=\,\big\{y \in \mathcal{B}\,:\,\Vert x-y\Vert\leq \varepsilon\big\}$$ (2.3)

jest zwarty w $\mathcal{B}$ wtedy i tylko wtedy gdy $\mathcal{B}$ jest skończeniewymiarowy, tj. $dim\,\mathcal{B}\,=\,n<\infty$.

2.3   Definicja Niech $\big\{x_{n}\in \mathcal{B}:n\in \mathbb{Z}_{+}\big\}$ będzie ciągiem elementów przestrzeni Banacha $\mathcal{B}$, i niech $\overline{x}\in \mathcal{B}$. Mówimy, że $\overline{x}\in \mathcal{B}$ jest stałą granicą ciągu $\big\{x_{n}\in \mathcal{B}:n\in \mathbb{Z}_{+}\big\}$ (i piszemy $x_{n}\overset{w}{\longrightarrow}\overline{x}$), jeśli dla dowolnego liniowego, ciągłego funkcjonału $f\in \mathcal{B}^{*}$ zachodzi równość

$$\lim_{n\longrightarrow\infty}<f,x_{n}>\,=\,<f,\overline{x}>.$$ (2.4)

Definicja ma sens ponieważ gdy $x_{n}\overset{w}{\longrightarrow}\overline{x}$ oraz $x_{n}\overset{w}{\longrightarrow}\overline{y}$ , $n\longrightarrow\infty$, to można łatwo wykazać, że $\overline{x}=\overline{y}$, tj. granica $\overline{x}\in \mathcal{B}$ jest jedyna.

2.4   Definicja Mówimy, że zbiór $A \subset \mathcal{B}$ przestrzeni Banacha $\mathcal{B}$ jest słabo zwartym, jeżeli z dowolnego ciągu $\big\{x_{n}\in A:n\in \mathbb{Z}_{+}\big\}$ można wybrać podciąg słabo zbieżny do pewnego elementu $\overline{x}\in A$, tj. $\underset{n\longrightarrow\infty}{w-\lim}\,x_{n}\,=\,\overline{x}\in A$ (albo $x_{n}\overset{w}{\longrightarrow}\overline{x}$).

2.5   Definicja Niech $A \subset \mathcal{B}$ oraz $f:A\longrightarrow \mathbb{R}$ będzie określonym na $A$ funkcjonałem. Mówimy, że funkcjonał $f:A\longrightarrow \mathcal{B}$ jest słabo semi-ciągłym z dołu na $A$, jeśli

$$f(\overline{x})\,\leq\,\underset{n\longrightarrow\infty}{\underline{\lim}}\,f(x_{n})$$ (2.5)

dla każdego słabo zbieżnego do $\overline{x}\in A$ ciągu $\big\{x_{n}\in A:n\in \mathbb{Z}_{+}\big\}$, tj.
$\underset{n\longrightarrow\infty}{w-\lim}\,x_{n}\longrightarrow\overline{x}$.

Następne twierdzenie jest ważne dla wielu zagadnień w przestrzeni Banacha $\mathcal{B}$.

2.6   Twierdzenie Niech
i) $A \subset \mathcal{B}$ jest niepustym, słabo zwartym zbiorem przestrzeni Banacha $\mathcal{B}$;
ii) $f:A\longrightarrow \mathbb{R}$ jest słabo semi-ciągłym funkcjonałem
Wtedy:
a) $\underset{x\in\, A}{\inf}\,f[x]>-\infty$
b) istnieje przynajmniej jeden element $\overline{x}\in A$, taki że

$$f[\overline{x}]\,=\,\inf_{x\in\, A}\,f[x]$$ (2.6)

$\lhd$ Pokażemy dowód b), skąd będzie wynikało a).

Niech $\big\{x_{n}\in A:n\in \mathbb{Z}_{+}\big\}$ będzie ciągiem elementów z $A$ minimalizującym $\underset{x\in\, A}{\inf}\,f[x]$, tj.

$$\lim_{n\longrightarrow \infty}\,f[x_{n}]\,=\,\inf_{x\in\, A}\,f[x],$$ (2.7)

która zawsze istnieje na mocy definicji operacji inf. Ponieważ zbiór $A$ jest słabo zwarty, istnieje podzbiór $\big\{x_{n_{k}}\in A:k\in \mathbb{Z}_{+}\big\}$ oraz element $\overline{x}\in A$, takie, że $\underset{k\longrightarrow\infty}{w-\lim}x_{n_{k}}\,=\,\overline{x}\in A$. Dalej z tego, że funkcjonał $f:A\longrightarrow \mathbb{R}$ jest słabo semi-ciągłym z dołu na $A$, otrzymujemy że

$$f[\overline{x}]\,\leq\,\underset{n\longrightarrow\infty}{\underli... ...\,\equiv\, \lim_{n\longrightarrow\infty}\,f[x_{n}]\,=\,\inf_{x\in\, A}\,f[x].$$ (2.8)

Z drugej strony z () otrzymujemy, że

$$f[\overline{x}]\,\geq\,\inf_{x\in \,A}\,f[x].$$ (2.9)

Teraz z () oraz () dostajemy:

$$f[\overline{x}]\,=\,\inf_{x\in\, A}f[x],$$ (2.10)

gdzie $\overline{x}\in A$. Z tego teraz, że $f[\overline{x}]\neq -\infty$, otrzymujemy, że $f[x]>-\infty$ dla wszystkich $x\in A$, co jest równoważne $\underset{x\in\, A}{\inf}\,f[x]>-\infty$ $\rhd$