Przekształcenia całkowe

1. Wykaż, że funkcja
   
   $$f(x) = \left\{ \begin{array}{ll} -1/ź^2 & dla \ \ x\in {\b... ... \ \ x \in {\bf R}, \mid x \mid \leq 1 \end{array} \right .$$
   
   
   nie jest bezwzględnie całkowalna, choć istnieje $\int_{-\infty}^{+\infty}\mid f(x)\mid dx.$
2. Wskaż przykłady funkcji spełniających założenia Twierdzenia Fouriera, oraz takich które tych założeń nie spełniają.
3. Przedstaw funkcję $f:{\bf R}^+ \rightarrow {\bf R}$ daną wzorem:
   (a)
   b) $f(x)=e^{-ax}$, ($a>0$)
   za pomocą (i) sinusowego (ii) kosinusowego wzoru Fouriera.
4. Znajdż widmo, widmo amplitudowe i widmo fazowe funkcji $f(x)=e^{-at}{\bf 1}(x)$.
5. Wykaż, że widmo amplitudowe ( $\mid F(i\omega )\mid$) jest funkcją parzystą, zaś widmo fazowe $\Theta (\omega )$ funkcją nieparzystą.
6. Podaj transformatę Fouriera funkcji $g(x)={\bf 1}(x)- {\bf 1}(x-3)$. Narysuj wykresy części rzeczywistej i urojonej transformaty.
7. Znajdż funkcję $f$, taką, że ${\cal F}(f(x))=\frac{\pi}{a}e^{-a\mid \omega \mid }$, $a>0$.
8. Zbadaj które z poniższych funkcji są oryginałami:
   (a) $f(t)=\eta (t)ln(1+t^2)$
   (b) $f(t)=\eta (t)t^2$
   (c) $f(t)=\eta (t)e^{3t+1}$
   (d) $f(t)=\eta (t)t^3e^{5t}$
   (e) $f(t)=\eta (t)e^{t^2}sin3t$
   (f) $f(t)=\frac{\eta (t)}{\sqrt{t}}$
9. Wykaż, że jeśli $f$ jest oryginałem okresowym o okresie $T>0$ (tzn takim, że dla $t>0$ $f(t+T)=f(t)$ wtedy
   
   $${\cal L}(f)=\frac{1}{1-e^{-sT}}\int^T_0 f(t)e^{-st}dt.$$
   
   

10. Oblicz transformaty oryginałów:
    (a) $f(t)=sin3t$
    (b) $f(t)=\mid cos2t\mid$
    (c) $f(t)=\left\{ \begin{array}{ccc} 0 & dla & t<0\\ 0 & dla & 2k\pi <t<(2k+1)\pi\\ 2t-(4k+2)\pi & dla & (2k+1)\pi < t < 2(k+1)\pi \end{array} \right .$
11. Dla poniższych równań i układów równań różniczkowych wskaż całki szczególne przy pomocy rachunku operatorowego:
    (a) $x''-5x'+6x=2e^t$ $x(0)=x'(0)=1$
    (b) $x''-x=sht \ \ \ x(0)=x'(0)=0$
    (c) $x'''-3x'+2x=8te^{-t} \ \ \ x(0)=x'(0)=0, \ \ x''(0)=1$
    (d) $x^{(4)}+2x''+x=0 \ \ \ x(0)=x'(0)=x''(0), \ \ x'''(0)=1$
    (f) $x'=3y-x, \ \ \ y'=x+y+e^t,\ \ \ x(0)=y(0)=0$
    (g) $x'=-x+y+z, \ \ y'=x-y+z, \ ż'=x+y+z, \ \ \ x(0)=1, \ y(0)=z(0)=0$
    (h) $2x'+y'+2y=cost, \ x'+y'-y=e^t, \ \ \ x(0)=y(0)=0$
    Dystrybucje
    
12. Wykaż, że ciąg $\{e^x+\frac{1}{n}\}$ jest podstawowy. Wskaż ciągi jemu równoważne. Podaj inne przykłady ciągów podstawowych i takich które podstawowymi nie są.
13. Uzasadnić fakt, że ciąg $(d_n)$
    
    $$d_n(t)=\left\{ \begin{array}{lll} 0 & dla & t<0\\ n^2t & ... ... \frac{2}{n}\\ 0 & dla & t>\frac{2}{n} \end{array} \right.$$
    
    
    jest podstawowym i definiuje dystrybycję delta Diraca.
14. Wykaż, że ciąg $(f_n)$, $f_n(x)=\sqrt{x^2+\frac{1}{n^2}}$ jest podstawowy i definiuje dystrybucję $\mid x \mid$.
    oblicz pochodną tej dystrybucji. Zauważ, że druga pochodna dystrybucji $\mid x \mid$ jest równa $2\delta (x)$
    Wskazówka: W tym celu najlepiej wykazać, że ciąg $(f_n)$ równoważny jest ciągowi $(g_n)$
    
    $$g_n(x)=\left\{ \begin{array}{lll} -x & dla & x\leq 0\\ nx^2-x & dla & x\geq \frac{1}{n} \end{array} \right.$$