Szeregi Fouriera

1. Znajdź iloczyny skalarne funkcji $(f,g)$, gdzie
   (a) $f,g:<0,2> \rightarrow {\bf R}, \ f(x)=x^2, \ g(x)=x^3$
   (b) $f,g:<-\pi ,\pi > \rightarrow {\bf R}, \ f(x)=x, \ g(x)=\sin{3x}$.
2. Dlaczego odwzorowanie $\parallel \ \parallel :X\ni f \rightarrow \sqrt{\int_0^1 f^2(x)dx}$ nie jest normą gdy $X$ jest zbiorem funkcji R-całkowalnych w przedziale $<0,1>$, a jest normą gdy $X=C_{<0,1>}$?
3. Oblicz normy kwadratowe funkcji $f_1 :x \rightarrow x,$ $f_2 :x \rightarrow sgn x,$ $f_3 :x \rightarrow \sin x,$ $f_4 :x \rightarrow \cos x$ i odległości kwadratowe pomiędzy $f_i$ a $f_j$, $(i,j = 1,2,3,4)$ w przedziale $<-\pi ,\pi >$.
4. Wykaż, że ciąg funkcyjny $(x^n )$ w przedziale $<0,1>$ jest zbieżny przeciętnie z kwadratem do każdej z funkcji:
   
   $$f(x)=\left\{ \begin{array}{lll} 1 & dla & x\in \{ 0;0,5;1\... ...end{array} \right . \ \ \ g(x)=0 \ \ \ dla \ \ \ x\in<0,1>.$$
   
   
   Skomentuj!
5. Rozwiń w szereg Fouriera funkcje:
   
   $$\begin{array}{llllll} (a) & f(x) = \mid x \mid & x\in (-\pi ... ...(x) = \sin^2{x} + \cos^2{x} & x\in<-\pi ,\pi >\\ \end{array}$$
   
   

6. Rozwiń funkcję $f(x) = x^2$
   (i) w szereg kosinusów w przedziale $<-\pi ,\pi >$
   (ii) w szereg sinusów w przedziale $<0,\pi >$
   (iii) w szereg Fouriera w przedziale $<0,2\pi >$
   Narysuj wykresy funkcji i wykresy sum ich szeregów Fouriera. Korzystając z otrzymanych wyników oblicz sumy szeregów: $\sum_{n=1}^{+\infty }\frac{1}{n^2}$, $\sum_{n=1}^{+\infty }\frac{(-1)^{n+1}}{n^2},$ $\sum_{n=1}^{+\infty }\frac{1}{(2n-1)^2}$.
7. Znajdź wielomian $X_n (x)$ stopnia $n$ taki, aby (przy dowolnie ustalonych $a$ i $b$) dla dowolnego wielomianu $Q(x)$ stopnia niższego niż $n$ zachodziła równość
   
   $$\int_a^b X_n(x)Q(x)dx = 0$$
   
   
   Wskazówka: Potraktuj wielomian $X_n (x)$ jako pochodną rzędu $n$ pewnego wielomianu $R(x)$ stopnia $2n$ spełniającego warunki:
   
   $$R(a) = R'(a) = ... = R^{(n-1)}(a) = 0.$$
   
   

8. Udowodnij, że ciąg wielomianów Legendre'a
   
   $$P_0(x) = 1 \ \ \ P (x) = \frac{1}{2^nn!}\frac{d^n[(x^2-1)^n]}{nx^n}$$
   
   
   jest układem ortogonalnym funkcji w przedziale $<-1, 1>$.
   Wskazówka: Skorzystaj z zadania poprzedniego.