Semestr 4 g. w. + 4 g. ćw.

1. Wiadomości wstępne

1. Zbiory. Iloczyn kartezjański. Kwantyfikatory. Relacja $\leq$ w ${\bf R}$. Kresy. Zasada ciągłości w ${\bf R}$. Funkcje - iniekcja, suriekcja i bijekcja.
   Na ćwiczeniach: zasada indukcji matematycznej. Powtórka rachunku zdań.
   Funkcje odwrotne. Funkcje cyklometryczne.
   
   2. Zbieżność i granice ciągów rzeczywistych
   Ciągi. Przypomnienie wiadomości ze szkoły o zbieżności i granicach ciągów rzeczywistych: jedyność granicy, ograniczoność ciągów zbieżnych, twierdzenia o operacjach arytmetycznych na ciągach zbieżnych, twierdzenie o trzech ciagach. Ciągi monotoniczne.
   Tw. Bolzano Weierstrassa.
   Na ćwiczeniach: Elementy geometrii analitycznej w przestrzeni: iloczyn skalarny, wektorowy i mieszany w przestrzeni. Prosta na płaszczyźnie. Prosta i płaszczyzna w przestrzeni.
2. Przykłady ważnych granic: $\sqrt[n]{n}$, $(1+\frac{1}{n})^n$. Staa Eulera. Funkcje hiperboliczne. Punkt skupienia zbioru. Granice dolna i górna ciągów rzeczywistych.
   Warunek Cauchy'ego, zupełność ${\bf R}$.
   3. Granice i ciąłość funkcji.
   Definicja i własności granic funkcji. Twierdzenia o granicach operacji arytmetycznych. Rozszerzenie pojęcia granicy na $\bar{{\bf R}}$
   
3. Ciągłość funkcji w punkcie.
   Twierdzenia o ciągłości złożenia i operacji arytmetycznych na funkcjach liczbowych. Ważne granice funkcji: $\lim_{x\rightarrow 0}(1+x)^{1/ź}$, $\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\sin{x}}{x}$. Punktowa i jednostajna zbieżność ciągów funkcyjnych. Ciągłość granicy ciągu jednostajnie zbieżnego funkcji ciągłych.
   4. Rachunek różniczkowy funkcji jednej zmiennej rzeczywistej.
4. Nieskończenie małe. Funkcje $O$ i $o$ $(x\rightarrow x_0)$.
   Pochodna funkcji zmiennej rzeczywistej. Interpretacje, podstawowe własności, pochodne funkcji elementarnych. Różniczka. Lemat Fermata. Twierdzenia Rolle'a, Lagrange'a i Cauchy'ego (o przyrostach).
5. Reguła de l'Hospitala. Twierdzenie o różniczkowaniu ciągów. Twierdzenia Taylora i MacLaurina. Wypukłość funkcji. Badanie zmienności funkcji. Styczna do krzywej w postaci parametrycznej.
   5. Rachunek całkowy zmiennej rzeczywistej.
6. Funkcja pierwotna - podstawowe twierdzenia o całkowaniu. Całki funkcji elementarnych. Metody całkowania.
7. Calka Riemanna - definicja i interpretacje. Twierdzenia o całkowalności
   i własnościach funkcji całkowalnych. Własności całek Riemanna. Twierdzenie Newtona-Leibnitza.
8. Twierdzenie o wartosci sredniej dla caek Riemanna. Wzory na cakowanie przez czesci i przez podstawianie dla caek Riemanna. Zastosowania całek Riemanna. Caki niewasciwe.
   6. Algebra i geometria analityczna
9. Przestrzenie wektorowe nad ${\bf R}$ i ${\bf C}$. Przykłady ${\bf R^n}$, ${\bf R^{nxm}}$ - macierze. Podprzestrzenie wektorowe.
   Liniowa niezależność wektorów. Baza i wymiar przestrzeni wektorowej.
   Odwzorowania liniowe. Jądro i obraz. Rząd odwzorowania liniowego.
10. Macierz odwzorowania liniowego. Operacje na odwzorowaniach liniowych i macierzach.
    Wyznacznik macierzy - definicja i wasnosci.
11. Twierdzenie Laplace'a (rozwinięcie wyznacznika względem wiersza lub kolumny). Macierz odwrotna. Twierdzenie Cramera. Ukady równan liniowych. Metoda Gaussa. Twierdzenie Kroneckera Capelliego.
12. Zmiana bazy w przestrzeni wektorowej. Macierz przejścia. Macierze podobne.
    Formy liniowe, dwuliniowe, kwadratowe. Formy hermitowskie.
    Twierdzenie Sylvestera. Iloczyn skalarny wektorów.
13. Wartosci i wektory wasne. Diagonalizacja macierzy. Twierdzenie Cayleya-Hamiltona. Wielomian minimalny macierzy. Postać Jordana.
    Na ćwiczeniach: Metoda Lagrange'a sprowadzania formy kwadratowej do postaci kanonicznej.
    
    7. Rachunek rózniczkowy funkcji wielu zmiennych.
14. Metryki i przestrzenie metryczne. Kula otwarta w przestrzeni metrycznej.
    Przykłady. Metryka Czebyszewa - metryka jednostajnej zbieżności.
    Zbieżność i ciągłość w przestrzeniach metrycznych.
    Warunek Cauchy'ego i przestrzenie metryczne zupełne.
    Norma - przestrzenie unormowane i przestrzenie Banacha. Nierówność
    Cauchy'ego. Metryka standardowa w ${\bf R}^n$.