Semestr 4 g. w. + 4 g. ćw.

1. Funkcje wielu zmiennych rzeczywistych - granice i ciągłość. Pochodna funkcji jednej zmiennej rzeczywistej o wartościach w przestrzeni unormowanej.
   Pochodne czastkowe. Twierdzenie o pochodnej funkcji zozonej. Pochodne czastkowe wyzszych rzedów. Pochodne kierunkowe.
2. Różniczka funkcji w przestrzeni unormowanej. Przykłady w ${\bf R^n}$. Interpretacja geometryczna. Związek z pochodną kierunkową. Przypadek funkcji ${\bf R^n}\rightarrow {\bf R^m}$, macierz pochodnej.
   Wzór Taylora dla funkcji wielu zmiennych.
3. Zastosowania różniczek: ekstrema funkcji wielu zmiennych, funkcje uwikłane, zastosowania geometryczne, ekstrema warunkowe. Metoda mnożnika
   Lagrange'a Pole wektorowe: potencjał, rotacja i diwergencja.
   8. Rachunek cakowy funkcji wielu zmiennych.
4. Caki podwójne - definicja. Twierdzenie o wartości średniej. Interpretacje. Zamiana całki podwójnej na iterowaną.
   Całki potrójne - definicja, zamiana na całkę iterowaną.
5. Zamiana zmiennych w calkach wielokrotnych. Współrzędne sferyczne i cylindryczne.
   Całki krzywoliniowe skierowane. Interpretacja fizyczna. Zamiana na całkę Riemanna.
6. Twierdzenie Greene'a i jego konsekwencje, niezależność całki krzywoliniowej od drogi całkowania. Potencjał.
   Całka krzywoliniowa nieskierowana: definicja, interpretacja, zamiana na całkę Riemanna.
7. Calka powierzchniowa niezorientowana. Interpretacje. Zamiana na calkę
   podwójną.
   Całka powierzchniowa zorientowana i niezorientowana. Twierdzenie Stokesa i twierdzenie Gaussa-Ostrogradzkiego.
8. Informacja o cace Lebesque'a.
   9. Szeregi.
9. Szereg w przestrzeni unormowanej. Zbieżność szeregu. Twierdzenia o zbieżności szeregów i ich sumach.
   Warunek konieczny zbieżności szeregu. Kryterium Leibniza.
   Szeregi bezwzględnie zbieżne. Zbieżność szeregów bezwzględnie zbieżnych
   w przestrzeniach Banacha.
   Szeregi geometryczne i harmoniczne. Kryteria: porównawcze, Cauchy'ego i d'Alemberta zbieznosci bezwzglednej. Kryterium całkowe.
10. Szereg Taylora funkcji. Twierdzenie o szeregu Taylora.
    Szeregi funkcyjne - jednostajna zbieżność. Kryterium Weierstrassa.
    Szeregi potęgowe - promień zbieżności. Szereg pochodny szeregu potęgowego. Funkcje: wykadnicza, cos i sin w ${\bf C}$.
    Twierdzenie o różniczkowaniu szeregów. Kryterium całkowe zbieżności
    szeregów.
    
    10. Funkcje zmiennej zespolonej.
11. Funkcja zespolona zmiennej rzeczywistej i zmiennej zespolonej. Pochodna funkcji zmiennej zespolonej. Wzory Cauchy-Riemanna.
12. Funkcje holomorficzne. Szeregi potegowe. Funkcje cakowite. Twierdzenie podstawowe Cauchy'ego. Wzór Cauchy'ego.
    Funkcja holomorficzna w pierścieiu $0 < \mid z - z_0 \mid < R$. Szereg Laurenta. Residuum funkcji. Twierdzenie całkowe o residuach.
    11. Równania różniczkowe zwyczajne.
13. Równania różniczkowe zwyczajne. Problem Cauchy'ego. Twierdzenie o istnieniu i jednoznaczności rozwiązania. Równania o zmiennych rozdzielonych, równania liniowe rzędu pierwszego.
14. Równania Lagrange'a i Clairauta. Równania zupełne - czynnik całkujący. Równania Bernouliego. Równania rzędu drugiego sprowadzalne do równań różniczkowych rzędu pierwszego.