next up previous contents
Next: Semestr 2 g. w. Up: Program Previous: Semestr 4 g. w.   Contents

Semestr 4 g. w. + 4 g. ćw.

  1. Funkcje wielu zmiennych rzeczywistych - granice i ciągłość. Pochodna funkcji jednej zmiennej rzeczywistej o wartościach w przestrzeni unormowanej.
    Pochodne czastkowe. Twierdzenie o pochodnej funkcji z\lozonej. Pochodne czastkowe wyzszych rzedów. Pochodne kierunkowe.
  2. Różniczka funkcji w przestrzeni unormowanej. Przykłady w ${\bf R^n}$. Interpretacja geometryczna. Związek z pochodną kierunkową. Przypadek funkcji ${\bf R^n}\rightarrow {\bf R^m}$, macierz pochodnej.
    Wzór Taylora dla funkcji wielu zmiennych.
  3. Zastosowania różniczek: ekstrema funkcji wielu zmiennych, funkcje uwikłane, zastosowania geometryczne, ekstrema warunkowe. Metoda mnożnika
    Lagrange'a Pole wektorowe: potencjał, rotacja i diwergencja.
    8. Rachunek ca\lkowy funkcji wielu zmiennych.
  4. Ca\lki podwójne - definicja. Twierdzenie o wartości średniej. Interpretacje. Zamiana całki podwójnej na iterowaną.
    Całki potrójne - definicja, zamiana na całkę iterowaną.
  5. Zamiana zmiennych w calkach wielokrotnych. Współrzędne sferyczne i cylindryczne.
    Całki krzywoliniowe skierowane. Interpretacja fizyczna. Zamiana na całkę Riemanna.
  6. Twierdzenie Greene'a i jego konsekwencje, niezależność całki krzywoliniowej od drogi całkowania. Potencjał.
    Całka krzywoliniowa nieskierowana: definicja, interpretacja, zamiana na całkę Riemanna.
  7. Calka powierzchniowa niezorientowana. Interpretacje. Zamiana na calkę
    podwójną.
    Całka powierzchniowa zorientowana i niezorientowana. Twierdzenie Stokesa i twierdzenie Gaussa-Ostrogradzkiego.
  8. Informacja o ca\lce Lebesque'a.
    9. Szeregi.
  9. Szereg w przestrzeni unormowanej. Zbieżność szeregu. Twierdzenia o zbieżności szeregów i ich sumach.
    Warunek konieczny zbieżności szeregu. Kryterium Leibniza.
    Szeregi bezwzględnie zbieżne. Zbieżność szeregów bezwzględnie zbieżnych
    w przestrzeniach Banacha.
    Szeregi geometryczne i harmoniczne. Kryteria: porównawcze, Cauchy'ego i d'Alemberta zbieznosci bezwzglednej. Kryterium całkowe.
  10. Szereg Taylora funkcji. Twierdzenie o szeregu Taylora.
    Szeregi funkcyjne - jednostajna zbieżność. Kryterium Weierstrassa.
    Szeregi potęgowe - promień zbieżności. Szereg pochodny szeregu potęgowego. Funkcje: wyk\ladnicza, cos i sin w ${\bf C}$.
    Twierdzenie o różniczkowaniu szeregów. Kryterium całkowe zbieżności
    szeregów.
    10. Funkcje zmiennej zespolonej.
  11. Funkcja zespolona zmiennej rzeczywistej i zmiennej zespolonej. Pochodna funkcji zmiennej zespolonej. Wzory Cauchy-Riemanna.
  12. Funkcje holomorficzne. Szeregi potegowe. Funkcje ca\lkowite. Twierdzenie podstawowe Cauchy'ego. Wzór Cauchy'ego.
    Funkcja holomorficzna w pierścieiu $0 < \mid z - z_0 \mid < R$. Szereg Laurenta. Residuum funkcji. Twierdzenie całkowe o residuach.
    11. Równania różniczkowe zwyczajne.
  13. Równania różniczkowe zwyczajne. Problem Cauchy'ego. Twierdzenie o istnieniu i jednoznaczności rozwiązania. Równania o zmiennych rozdzielonych, równania liniowe rzędu pierwszego.
  14. Równania Lagrange'a i Clairauta. Równania zupełne - czynnik całkujący. Równania Bernouliego. Równania rzędu drugiego sprowadzalne do równań różniczkowych rzędu pierwszego.

next up previous contents
Next: Semestr 2 g. w. Up: Program Previous: Semestr 4 g. w.   Contents