Historia liczb zespolonych
Wiek XVI, który dał początek współczesnemu rozwojowi nauki, zaznaczył się silnym rozwojem algebry. Między innymi zostały w tym czasie podane wzory wyrażające pierwiastki równań stopni 3 i 4 przez współczynniki tych równań za pomocą pierwiastków drugiego i trzeciego stopnia.
Wówczas pojawiło się zjawisko paradoksalne: Rozwiązać można tymi wzorami równanie stopnia trzeciego, które ma trzy różne pierwiastki rzeczywiste, tylko wtedy, gdy umie się obliczyć 
. Oczywiście w zakresie liczb do tego okresu znanych pierwiastek kwadratowy z -1 nie istniał. Nie kłopocząc się tym zbytnio, niektórzy z matematyków założyli jego istnienie i nazwali go liczbą urojoną, a poprzednio znane liczby nazwali rzeczywistymi.
Wprowadzenie tych liczb w wieku XVI nie miało żadnego uzasadnienia logicznego, ani oparcia o bezpośrednią intuicję kierowaną przez zjawiska przyrodnicze. Wskutek tego powstały kontrowersje między matematykami, z których jedni używali tych liczb bez skrępowania, inni zaś zaprzeczali ich istnieniu.
Zwolennicy istnienia tych liczb działali nimi tak jak liczbami rzeczywistymi, dodając, odejmując, mnożąc i dzieląc. Oznaczali przez i przyjmując , że 
.
Swobodnie dodając i mnożąc liczby rzeczywiste i "urojone" tworzyli nowe "liczby" a+bi, które dziś nazywamy liczbami zespolonymi.
Arytmetyka tych liczb nie doprowadziła do sprzeczności. W 1748 roku Euler wprowadził je do analizy w swym fundamentalnym dziele "Introductio in analysin infinitorum", nie tylko nie dochodząc do sprzeczności, lecz powodując tym istotny postęp analizy.
Wkrótce stało się jasne, że liczby zespolone - mimo że brak im uzasadnienia logicznego - są jednym z najważniejszych narzędzi matematycznych dla badań zjawisk przyrodniczych, wskutek czego używanie ich jest w tej samej mierze słuszne, co używanie liczb rzeczywistych.
Początek wieku XIX zdarł wszelką mistykę z tych liczb, gdyż przyniósł ściśle ich uzasadnienie. Pierwsze z nich - Gaussa - wykazało, że liczby zespolone są to właściwie punkty płaszczyzny euklidesowej, w której wprowadzono pewne działania zwane dodawaniem i mnożeniem punktów czyli liczb zespolonych. Drugie uzasadnienie - Hamiltona - wprowadza liczby zespolone jako pary liczb rzeczywistych, z tym że określa się specjalny sposób mnożenia i dodawania par.
Z całej mistyki pozostała używana jeszcze do dziś nazwa liczby urojone, lecz w istocie rzeczy, są one równie rzeczywiste jak liczby rzeczywiste.
Obecnie liczby zespolone są codziennym narzędziem nie tylko matematyka czy fizyka zajmującego się działami teoretycznymi, lecz również inżyniera, któremu oddają ogromne korzyści w elektrotechnice, aerodynamice itd..
Liczby zespolone i ich interpretacja geometryczna
Liczbą zespoloną nazywamy parę uporządkowaną liczb rzeczywistych (a,b). Często taka parę zapisuje się w postaci sumy
, gdzie .Tą postać liczby zespolonej nazywamy postacią kanoniczną. Liczbę (rzeczywistą) a nazywamy częścią rzeczywistą, zaś liczbę b częścią urojoną liczby zespolonej z. Część rzeczywista oznaczamy Re z, a część urojoną symbolem Im z, mamy więc:
Im z = b.
nie gra roli:Liczby zespolone interpretujemy geometrycznie jako punkty płaszczyzny. Liczbie zespolonej a + bi odpowiada punkt o współrzędnych (a,b) płaszczyzny zaopatrzonej w prostokątny układ współrzędnych. Punktom osi OX odpowiadają liczby rzeczywiste. Płaszczyznę, na której umieściliśmy liczby zespolone, nazywamy płaszczyzną Gaussa.
Liczbą przeciwną do nazywamy
.
nazywamy liczbę
Istniej pewien związek między modułem liczby z a jej sprzężeniem 
:
Działania na liczbach zespolonych
Niech teraz 
, 
. Liczby zespolone są równe, gdy mają jednakowe zarówno części rzeczywiste i części urojone:
Dodajemy, odejmujemy i mnożymy liczby zespolone tak, jak wyrażenia algebraiczne pamiętając, że . Tak więc:
oczywiście zakładając, że 
:
Działania arytmetyczne na liczbach zespolonych są rozszerzeniem działań na liczbach rzeczywistych, tzn. w przypadku liczb rzeczywistych jest obojętne czy np. mnożymy je jako liczby rzeczywiste czy zespolone z częścią urojoną równą zero. (Powyższe wzory można przyjąć za definicję działań.) Wynika z nich, że działania dodawania i mnożenia liczb zespolonych są łączne i przemienne oraz mnożenie jest rozdzielne względem dodawania. Zachowane są również znane własności odejmowania i dzielenia. Powyższe stwierdzenia powodują, że dla liczb zespolonych prawdziwe są wzory skróconego mnożenia, wzór dwumianowy Newtona, twierdzenie Bezout itd.. Nie określamy natomiast nierówności liczb zespolonych innych niż rzeczywiste. Więc mówiąc, że liczba jest dodatnia nie musimy dodawać, że jest ona rzeczywista.
Postać trygonometryczna liczby zespolonej
Liczbę zespoloną możemy przedstawić w postaci trygonometrycznej:
, gdzie 
nazywamy modułem 
, a kąt skierowany 
(dokładniej jego miarę) argumentem liczby 
i oznaczamy arg z. Wartość argumentu liczby z czyli określamy na podstawie wartości funkcji cosinus i sinus dla , które są dane wzorami:
i 
.Ta postać liczby zespolonej także ma interpretację geometryczną:
Wygodniej jest nie ograniczać zakresu zmienności argumentu , ale tracimy przez to jednoznaczność. Liczbie zespolonej różnej od zera odpowiada nieskończenie wiele argumentów. Jeżeli jest argumentem liczby , to każdy inny argument tej liczby wyraża się wzorem
, gdzie k jest liczbą całkowitą.
.
Jeżeli 
to nazywamy argumentem głównym i oznaczamy Arg .(Niektóre podręczniki nieco inaczej definiują argument główny: Argumentem głównym nazywają , gdy 
.)
Trygonometryczna postać liczby zespolonej bardzo ułatwia mnożenie i dzielenie, natomiast niezbyt nadaje się do dodawania i odejmowania.
Jeżeli 
i 
, to
, gdzie .Potęga i pierwiastek z liczby zespolonej
Postać trygonometryczna liczby zespolonej jest również wykorzystywana do liczenia potęg i pierwiastków liczb zespolonych. Gdy weźmiemy wzór na mnożenie liczb zespolonych w postaci trygonometrycznej dla 
i rozszerzymy na dowolną ilość liczb zespolonych, to otrzymamy wzór na n-tą potęgę liczby zespolonej zwany wzorem Moivre'a:
.Natomiast pierwiastki z liczby zespolonej są dane wzorem:
, gdzie 
.Zauważmy, że liczba różnych pierwiastków liczby jest równa dokładnie stopniowi pierwiastka, który liczymy. Są to pierwiastki dla . Możemy liczyć wartości pierwiastków dla innych całkowitych k, ale otrzymamy wtedy wartości, które już wyliczyliśmy dla .
Jeżeli się przyglądniemy wartościom pierwiastków liczby zespolonej, to zauważymy, że ich moduły są takie same i argumenty różnią się o wielokrotność 
. Z tej obserwacji wnioskujemy, że pierwiastki leżą na jednym okręgu o środku w punkcie 0 i promieniu równym modułowi pierwiastka oraz że pierwiastki dzielą okręg na n równych części. Jest to bardzo użyteczny wniosek przy zaznaczaniu pierwiastków na płaszczyźnie Gaussa, ponieważ wystarczy narysować okręg o promieniu 
, policzyć i zaznaczyć jeden pierwiastek danej liczby oraz podzielić okrąg na n równych części tak, aby policzony pierwiastek był jednym z punktów podziału. W ten sposób otrzymujemy wszystkie pierwiastki liczby .
Rozwiązywanie równań w zbiorze liczb zespolonych
Zasadnicze twierdzenie algebry
W zbiorze liczb zespolonych każdy wielomian stopnia n posiada dokładnie n pierwiastków (licząc z krotnościami pierwiastków) i rozkłada się na iloczyn wielomianów stopnia pierwszego.
W zbiorze liczb rzeczywistych mogliśmy rozłożyć wielomian na czynniki stopnia pierwszego i na nierozkładalne czynniki stopnia drugiego. Stąd też wynika, że w zbiorze liczb rzeczywistych wiemy tylko, że pierwiastków jest conajwyżej n. Wnioskiem z zasadniczego twierdzenia algebry jest fakt, że w zbiorze liczb zespolonych nie ma nierozkładalnych wielomianów stopnia drugiego. I rzeczywiście: gdy wyróżnik jest większy lub równy 0, to nic się nie zmienia, natomiast gdy wyróżnik jest mniejszy od zera, to istnieją dwa różne pierwiastki.
Postępujemy w następujący sposób: Liczymy wyróżnik i jeżeli jest on mniejszy od zera, to liczymy pierwiastki z wyróżnika - wystarczy wybrać jeden z nich - i podstawiamy do wzoru na pierwiastki wielomianu.
Uwaga. W przypadku niektórych równań w których występuje moduł liczby z, warto liczbę z przedstawić w postaci i rozwiązać równanie jako równanie z dwoma niewiadomymi.
