Metoda redukcji Hamiltonowskiej dla problemów PL na poliedrze.

Rozważmy ogólny problem PL () na poliedrze (wielościanie) $P$, gdzie

$$P:= \{p \in \mathbb{R}_{+}^{n}: \, \beta_{i}(p):=<a^{(i)},p>=b_{i} \in \mathbb{R}^{1}, \quad i=\overline{1,m}\}.$$ (10.34)

Oczywiście, rozwiązanie problemu PL na poliedrze () zawsze istnieje gdy $P \subset \mathbb{R}_{+}^{n}$ jest zbiorem zwartym.

W taki sam sposób jak powyżej konstruujemy pole wektorowe
$K: \, \mathbb{R}^{2n} \to T(\mathbb{R}^{2n})$ jako pole gradientowe w postaci

$$K(x,c):=(D(x)c,0), \quad \Phi(x)=p \in P$$ (10.35)

dla wszystkich $(x,c) \in \mathbb{R}^{2n}$. Rozważmy teraz ograniczenia

$$f_{j}(x):=\frac{1}{2}[\beta_{j}(\Phi(x)) -b_{j}]=\frac{1}{2}[<a^{(j)}D(x)x> - b_{j}],$$ (10.36)

gdzie $j=\overline{1,m}$ i odpowiednie im pola gradientowe na $\mathbb{R}^{n} \times \mathbb{R}^{n} \ni (x,c)$:

$$K_{j}(x,c):=(\nabla f_{j}(x),0) \Rightarrow (D(x)a^{(j)},0), \quad j=\overline{1,m}.$$ (10.37)

Jest oczywistym sprawdzić, że pola wektorowe () komutują z polem (), tj.

$$[K,K_{j}]=0$$ (10.38)

dla wszystkich $j=\overline{1,m}$. Oprócz tego, struktura symplektyczna () generowana popzez pole wektorowe () jest też niezmiennicza wg pól wektorowych (), tj.

$$L_{K_{j} \omega^{(2)}}=0$$ (10.39)

dla każdego $j=\overline{1,m}$. Stąd wynika, że każde pole wektorowe () jest Hamiltonowskie, tj. istnieją funkcje

$$\gamma_{j}: \, \mathbb{R}^{2n} \to \mathbb{R}, \quad j=\overline... ...takie, że } i_{K_{j}} \omega^{(2)}=- d \gamma_{j} \Leftrightarrow <a^{(j)},c>.$$ (10.40)

Z drugiej strony pola wektorowe () komutują też między sobą, tj.

$$[K_{j},K_{s}]=0$$ (10.41)

dla wszystkich $j,s=\overline{1,m}$, przy czym przyjmujemy a priori, że wszystkie pola wektorewe () są liniowo niezależne.

Niech teraz moduł liniowy (powłoka)

$$D_{\gamma}(x,c):=\underset{\mathbb{R}}{span}\{K_{j}(x,c) \in T_{(x,c)}(\mathbb{R}^{2n}): \quad j=\overline{1,m} \}$$ (10.42)

dla wszystkich $(x,c) \in \mathbb{R}^{2n}$ jest dystrybucją różniczkową $D_{\gamma}: \, \mathbb{R}^{2n} \to T(\mathbb{R}^{2n})$, która generuje rozmaitości całkowe dla każdego $c \in \mathbb{R}^{n}$, tworzące rozwłóknienie $\mathcal{K}(D_{\gamma})$ przestrzeni $\mathbb{R}^{2n}$. Ponieważ rozwłóknienie $\mathcal{K}(D_{\gamma})$ jest niezmiennicze względem pola wektorowego (), można go zredukować na przestrzeń ilorazową $\mathbb{R}^{2n}/\mathcal{K}(D_{\gamma}):=M_{\gamma}$, która będzie dyfeomorficzna do rozmaitości $\Phi^{-1}(P) \times \mathbb{R}^{n}$. Niech $r_{\gamma}: \, \mathbb{R}^{2n} \to M_{\gamma}:=\mathbb{R}^{2n}/\mathcal{K}(D_{\gamma})$ jest odpowiednim rzutowaniem na $M_{\gamma}$. Wtedy zdefiniowane pole wektorowe $\overline{K}: \, M_{\gamma} \to T(M_{\gamma})$, takie że

$$r_{\gamma *}K(x,c):=\overline{K}(r_{\gamma}(x,c))$$ (10.43)

dla wszystkich $(x,c) \in \mathbb{R}^{2n}$. Pole wektorowe $\overline{K}: \, M_{\gamma} \to T(M_{\gamma})$ jako zredukowane gradientowe pole wektorowe spełnia warunek

$$d G_{c}/d t=<\overline{K}(r_{\gamma}(x,c),\overline{K}(r_{\gamma}(x,c))>\, \geq 0$$ (10.44)

dla wszystkich $r_{\gamma}(x,c) \in M_{\gamma}$. To powoduje istnienie granic

$$\lim_{t \to \pm \infty}G_{c}(x(t,x_{0}))=G_{c}(\overline{x}_{\pm}),$$ (10.45)

gdzie $r_{\gamma}(\overline{x}_{\pm},c) \in M_{\gamma}$ są punktami krytycznymi pola wektorewego
$\overline{K}: \, M_{\gamma} \to T(M_{\gamma})$, tj. $\overline{K}(\overline{x}_{\pm},c)=0$ dla wszystkich zadanych $c \in \mathbb{R}^{n}$, oraz punkt $r_{\gamma}(x_{0},c) \in M_{\gamma}$ jest dowolny i niekrytyczny. Pozostaje teraz wypisać w postaci jawnej wyrażenie dla zredukowanego pola wektorowego
$\overline{K}: \, M_{\gamma} \to T(M_{\gamma})$ we wspóżzędnych naturalnych na $M_{\gamma}\simeq \Phi^{-1}(P) \times \mathbb{R}^{n}$. Dlatego najpierw skonstruujemy z wektorów $K_{j}: \, \mathbb{R}^{2n} \to T(\mathbb{R}^{2n}),\,j=\overline{1,m}$, nowy zbiór pól wektorowych $\widetilde{K_{j}}, \, j=\overline{1,m}$ ortogonalnych, tj. $<\widetilde{K}_{j},\widetilde{K}_{k}>=\delta_{jk}$,
$j,k=\overline{1,m}$ oraz

$$\underset{\mathbb{R}}{span}\{K_{j}: \, j=\overline{1,m}\}=\underset{\mathbb{R}}{span}\{\widetilde{K}_{j}: \, j=\overline{1,m}\}.$$ (10.46)

Wtedy, oczywiście, w zmiennych wyjściowych pole wektorowe $\overline{K}: \, M_{\gamma} \to T(M_{\gamma})$ ma taką postać:

$$\overline{K}(r_{\gamma}(x,c))=K(x,c)-\sum_{j=1}^{m}<K(x,c), \widetilde{K}_{j}(x,c)>\widetilde{K}_{j}(x,c)$$ (10.47)

dla wszystkich $r_{\gamma}(x,c) \in M_{\gamma}$. Wynik () może być także otrzymany w sposób już wcześniej zastosowany w rozdziale , zapisują c odwzorowanie rzutowania $r_{\gamma}: \, \mathbb{R}^{2n} \to M_{\gamma}$ jako złożenie rzutowań $r_{\gamma_{j}}: \, M_{\gamma_{j-1}} \to M_{\gamma_{j}},\, j=\overline{1,m}$, tj.

$$r_{\gamma}=r_{\gamma_{m}}\circ r_{\gamma_{m-1}}\circ \cdots \circ r_{\gamma_{1}},$$ (10.48)

gdzie rzutowania $r_{\gamma_{j}}, \quad j=\overline{1,m}$ są konstruowane wg defininicji ():

$$\overline{K}_{(1)}(r_{\gamma_{1}}(x,c))=r_{\gamma_{1}*}K(x,c),$$ (10.49)

$$\overline{K}_{(2)}(r_{\gamma_{2}}\circ r_{\gamma_{1}}(x,c))=r_{\gamma_{2}*}\overline{K}_{(1)}(r_{\gamma_{1}}(x,c)), \ldots$$

$$\overline{K}(r_{j}(x,c))=r_{\gamma_{m}*} \overline{K}_{m-1}(r_{\gamma_{m-1}} \circ \cdots \circ r_{1}(x,c))$$

dla wszystkich $r_{\gamma}(x,c) \in M_{\gamma}$. Tak więc znajdując granice $(\overline{x}_{\pm},c) \in \mathbb{R}^{2n}$ trajektorii pola wektorowego

$$\frac{d }{d t}(x,c)=\overline{K}(r_{\gamma}(x,c)),$$ (10.50)

gdzie $r_{\gamma}(x,c) \in M_{\gamma}$ jako

$$\lim_{t \to \pm \infty} x(t;x_{0})=\overline{x}_{\pm},$$ (10.51)

przy warunku, że $r_{\gamma}(x_{0},c) \in M_{\gamma}$ nie jest punktem krytycznym pola wektorowego (), otrzymujemy rozwiązanie problemu PL () i () jako punkty $p_{\pm}=\Phi(\overline{x}_{\pm} )\in P$. LITERATURA. 1. Aubin J.P., L'analyse non linéaire et ses motivations economiques, Masson, Paris, New York, 1988. 2. Ekeland I., Temam R., Convex analysis and variational problems, North-Holland Publ. Company, Amsterdam, 1976. 3. Balakrishnan A.V., Applied functional analysis, Springer Verlag, New York, Barlin, 1976. 4. Alekseev V.M., Tikhomirov V.M., Fomin S.V., Sterowanie optymalne, Wydawnictwo ''Nauka'', Moskwa, 1979. 5. Rockafellar R.T., Convex analysis, Princeton University Press, Princeton, 1970. 6. Nirenberg L., Topics in nonlinear functional analysis, Lecture Notes of NY University, NY, 1974. 7. Faybusovich L., Simplex Method and Groups Generated by Reflections, Acta Applic. Math, 20, p.231-245, 1990. 8. Megiddo N., Shub M., Boundary behavior of interior point algorithms in linear programming, Math. of Oper. Res., 14, N1, p. 97-146, 1989. 9. Bayer D.A., Lagaris J.C., The nonlinear geometry of linear programming I and II, Trans. AMS, 314, N2, p.499-581, 1989. 10. Faybusovich L., Hamiltonian structure of dynamical systems which solve linear programming problems, Physica D, 53, p.217-232, 1991. 11. Prykarpatski A., Mykutyk I., Algebra Integrability of Nonlinear Dynamical Systems in Manifolds, Kluwer Academic Publishers, 1998, the Netherlands.