Przepływ ciepła

Rozważmy jednorodne środowisko które zajmuje obszar $\Omega \subset \mathbb{R}^{3}$. Niech $\varrho\geq 0$ będzie jego gęstością, $c$ będzie jego cieplną pojemnością jednostki masy środowiska. Przypuszczamy też, że wewnątrz środowiska są źródła cieplne o gęstości f(x,t). Stawiamy problem znalezienia temperatury środowiska u(t,x), gdzie $t\in \mathbb{R}^{1}$ jest parametrem czasowym.

Niech objętość $\omega \subset \Omega$ wewnątrz środowiska ma wystarczająco gładki brzeg $\partial\omega$. Dla zmiany temperatury $u(x,t+\Delta t)$ za czas $\Delta t > 0$ od $t$ do $t+\Delta t \in \mathbb{R}^{1}$ wewnątrz obszaru $\omega \subset \Omega$ jest potrzebna następująca ilość ciepła $\Delta\Omega$:

$$\Delta Q\,=\,\int_{\omega}c\varrho\big[u(x,t+\Delta t)-u(x,t)\big]\,dx$$ (5.1)

Jedna jego część dostarcza się od źródeł wewnątrz $\omega$:

$$\Delta Q_{f}\,=\,\int_{t}^{t+\Delta t}d\tau \int_{\omega}f(x,\tau)\,dx$$ (5.2)

a druga jego część dostarcza się przez brzeg $\partial\omega$, która na mocy prawa Fouriera równa się:

$$\Delta Q_{\omega}\,=\,\int_{t}^{t+\Delta t}d\tau \int_{\partial\omega}k\, \frac{\partial u}{\overrightarrow{\partial n}}(x,\tau)\,dx$$ (5.3)

gdzie k jest tzw. współczynnikiem przepływu cieplnego, $\frac{\partial u}{\overrightarrow{\partial n}}$ - pochodna kierunkowa wzdłóż normali $\overrightarrow{n}$ do brzegu $\partial\omega$. Stąd otrzymujemy (z (5.1) i (5.3)) że $\Delta Q \,=\,\Delta Q_{f}- \Delta Q_{\omega}$, tj.

$$\int_{\omega}\big\{c\varrho\big[u(x,t+\Delta t)-u(x,t)\big]\,-\, \int_{t}^{t+\Delta t}f(x,\tau)\,d\tau \big\}\,dx\,=$$

$$=\,\int_{t}^{t+\Delta t}\int_{\partial\omega}k \, \frac{\partial u}{\overrightarrow{\partial n}}(x,\tau)\,ds\, d\tau$$ (5.4)

Przypuszczając, że temperatura u(t,x)jest raz różniczkowalna po $t\in \mathbb{R}_{1}$ i dwa razy po $x \in \Omega$ , a funkcja $f(x,\tau)$ jest ciągła, znajdujemy:
$u(x,t+\Delta t)-u(x,t)\,=\partial u(x,t)\partial t \Delta t+ o(\Delta t)$,

$$\int_{\partial \omega}k \,\frac{\partial u}{\overrightarrow{\par... ...\omega}<grad \,u,d\overrightarrow{s}>\,=\, k\int_{\omega}div\,grad\,u\,dx\,=$$

$$= \,k \int_{\omega}\Delta u\,dx$$ (5.5)

gdzie skorzystaliśmy ze wzoru Ostrogradskiego-Gaussa-Stokes'a :

$$\int_{\partial \omega}<\overrightarrow{a},d\overrightarrow{s}>\,=\, \int_{\omega}div\,\overrightarrow{a}\,dx$$ (5.6)

Oprócz tego :

$$\int_{t}^{t+\Delta t}f(x,\tau)\,d\tau \,=\, f(x,t)\Delta t+o(\Delta t),$$

oraz

$$\int_{t}^{t+\Delta t}\big \{k\int_{\omega}\Delta u(x,\tau)\,dx\big\}d\tau \,=\, k\int_{\omega}\Delta u(x,\tau)\,dx\,\Delta t + o(\Delta t)$$ (5.7)

Teraz równość (5.4) przyjmuje taką postać:

$$\int_{\omega}\big(c\varrho\,\frac{\partial u}{\partial t}-k\,\Delta u-f\big)\,dx-o(\Delta t)\Delta t\,=\,0$$ (5.8)

Biorąc granicę wyrażenia (5.8) przy $\Delta t \longrightarrow 0$ otrzymujemy :

$$\int_{\omega}\Big(c\varrho\,\frac{\partial u}{\partial t}-k\,\Delta u-f\Big)\,dx\,=\,0$$ (5.9)

Ponieważ równość (5.9) zachodzi dla wszystkich $\omega \subset \Omega$, a wyrażenie
podcałkowe jest ciągłe, to oczywiście

$$c\varrho\,\frac{\partial u}{\partial t}-k\,\Delta u-f\,=\,0$$

wewnątrz obszaru $\Omega$, lub

$$\frac{\partial u}{\partial t}-a^{2}\Delta u\,=\,(c\varrho)^{-1}f,\qquad a^{2}=\frac{k}{c\varrho}$$ (5.10)

tj. końcowe równania przepływu ciepła dla temperatury $u:\Omega\times \mathbb{R}^{1}\longrightarrow \mathbb{R}^{1}$.
Analiza równań (5.10) oraz (5.4)

Jak widzieliśmy wyżej, równanie (5.10) zachodzi wtedy i tylko wtedy, gdy źródło f(x,t) jest funkcją ciągłą na $\Omega \times \mathbb{R}^{1}$. Na ogół tak nie jest, oczywiście: ciepło może być emitowane w środowisko $\Omega$ w jakimś tylko punkcie $\xi \in \Omega$ i być wszędzie zerem, lub istnieć w okamgnieniu przy $t=t_{0}\in \mathbb{R}$ i być zerem przy $t\neq t_{0}\in \mathbb{R}$. To znaczy, że mamy wrócić do podstawowej równości całkowej (5.4) lub nauczyć się w sposób poprawny zrozumieć równanie (5.10) i jego rozwiązania.

Drugie podejście okazało się bardziej pożyteczne. Mianowicie, równanie (5.10) może być rozpatrzone jako wyrażenie w uogólnionym sensie, tj. w sensie teorii dystrybucji:

$$(\partial u\partial t\,-\,a^{2}\Delta u)(\varphi)\,:=\,u(-\parti... ...artial t\,-\,a^{2}\Delta\varphi)\,\Longrightarrow\,(c\varrho)^{-1}\,f(\varphi)$$ (5.11)

gdzie $f,u\in D'(\Omega\times \mathbb{R})$ i $\varphi \in D(\Omega\times \mathbb{R}^{1})$ jest dowolna.

Niech $f=\delta(x-\xi,t)\in D'(\mathbb{R}^{3+1})$ i $\Omega=\mathbb{R}^{3}$. Wtedy oczywiście

$$u(-\partial \varphi\partial t \,-\,a^{2}\Delta\varphi)\,=\,=(c\varrho)^{-1}\varphi(\xi,0)$$ (5.12)

dla każdej $\varphi\in D(\mathbb{R}^{3+1})$. Przy dodatkowym założeniu takim,
że ${u(x,t) \big\vert}_{t<0}=0$ dla wszystkich $x\in \mathbb{R}_{4}$, można odzyskać dokładne
rozwiązanie dla $u\in D'(\mathbb{R}^{3+1})$:

$$u(x,t)\,=\,(c\varrho)^{-1}\frac{\vartheta(t)}{\big(2a\sqrt{\delta t}\big)^{n}}\exp \Big(-\frac{\vert x-\xi\vert^{2}}{4a^{2}t}\Big)$$ (5.13)

dla wszystkich $(x,t)\in \mathbb{R}^{3}\times \mathbb{R}^{1}$. Wzór (5.13)opisuje temperaturę nieograniczonego środowiska, która do wydzielenia przez źródło ciepł była zerem.