.

Niech $x\in \mathbb{R}^{n}.$ Wartość

$$\vert x\vert:=\big(\sum_{j=1}^{n}x_{j}^{2}\big)^{1/2}$$ (1.1)

jest jak wiadomo normą w $\mathbb{R}^{n}$, którą nazywamy euklidesową, ponieważ jest generowana przez iloczyn skalarny

$$\ <x,y>:=\sum_{j=1}^{n}x_{j}y_{j}.$$ (1.2)

Przestrzeń $(\mathbb{R}^{n},<\cdot ,\cdot >):=E^{n}$ jest najprostszym przykładem przestrzeni Hilberta. Jednocześnie, definiując odleglość euklidesową w $E^{n}$

$$\vert x-y\vert:=<x-y,x-y>$$ (1.3)

nazywaną metryką, dostajemy przesrzeń metryczną $E^{n}.$ Z drugiej strony norma (1.1) zadaje w $E^{n}$ strukturę przestrzeni Banacha ponieważ każdy ciąg podstawowy $\{x_{j}\in E^{n};$ $j\in \mathbb{Z}_{+}\},$ gdzie

$$\vert x_{j}-x_{k}\vert\rightarrow 0$$   gdy$$\qquad j,k\rightarrow \infty ,$$

jest zbieżny do elementu $x^{\ast }\in E^{n}$. To znaczy że $E^{n}$ jest zupełną. Będziemy nazywać $\Omega \subset \mathbb{R}^{n}$ obszarem kiedy zbiór $\Omega$ jest otwartym w $\mathbb{R}^{n}.$ Domknięcie $\bar{\Omega}\subset \mathbb{R}^{n}$ jest suma mnogościowa (brzegu ) $\partial \Omega \cup \Omega ,$ gdzie $\partial \Omega \subset \mathbb{R}^{n}$, jest brzegiem zbioru $\Omega .$ Obszar $\Omega \subset \mathbb{R}^{n}$ jest ograniczony kiedy istnieje kula $\mid x\mid <r,$ która zawiera w sobie cały obszar $\Omega$. Nam będą dalej potrzebne różne klasy funkcji, określonych na $\Omega$ lub na $\bar{\Omega}$. Będziemy stosować oznaczenia L.Szwarca: Niech $D$ będzie ,,wektorem'' współrzędnych $\partial\partial x_{j}$, $j=\overline{1,n}$,
$D:=(\partial \partial x_{1},\partial \partial x_{2},\ldots, \partial \partial x_{n}).$ Będziemy nazywać wektor $\alpha \in \mathbb{Z}_{+}^{n}$ multiindeksem i połóżmy z definicji

$$D^{\alpha }=D_{1}^{\alpha _{1}}D_{2}^{\alpha _{2}}...D_{n}^{\alpha _{n}}, \quad \textrm{ gdzie }\vert\alpha \vert=\sum_{j=1}^{n}\alpha _{j}.$$ (1.4)

Jeśli funkcja $u:\Omega \rightarrow \mathbb{R}^{1}$ i ma wystarczającą ilość pochodnych wtedy $D^{\alpha }u$ jest pochodną rzędu $\vert\alpha \vert$ funkcji $u:\Omega \rightarrow \mathbb{R}^{1}$.

Przy pomocy powyższych oznaczeń jest prościej zapisywać różne ogólne wyrażenia, zawierające pochodne. Na przykład, równanie

$$\sum_{0\leq \mid \alpha \mid \leq m}a_{\alpha }D^{\alpha }u=f$$ (1.5)

reprezentuje sobą zwartą postać ogólnego wzoru dla liniowego równania pochodnych cząstkowych rzędu $m\in \mathbb{Z}_{+}$ ze współczynnikami $a_{\alpha }:\Omega \rightarrow \mathbb{R}^{1},$ $\alpha \in \mathbb{Z}_{+}^{n}.$

Zbiór funkcji skalarnych na $\Omega ,$ (zdefiniowanych na $\Omega$) i mających ciągłe pochodne łącznie do rzędu $m\in \mathbb{Z}_{+},$ będziemy oznaczać $\ C^{m}(\Omega ;\mathbb{R}^{1})$. Podzbiór funkcji, które mają pochodne do rzędu $m\in \mathbb{Z}_{+}$ ciągłe na $\bar{\Omega}$ , jest oznaczany jako $C^{m}(\bar{\Omega};\mathbb{R}^{1})$.

Teraz wprowadźmy pojęcie nośnika funkcji $\varphi :\Omega \rightarrow \mathbb{R}^{1}$. Z defenicji, nośnik $supp$ $\varphi=\{x\in \Omega :\varphi (x)\neq 0\}.$ Nośnik $supp$ $\varphi$ jest oczywiście zbiorem domkniętym. Przypomnijmy także, że zbiór $\Omega \subset E^{n}$ jest zwarty gdy $\Omega$ jest ograniczony i domknięty w $E^{n}$. Ważną klasą funkcij są funkcje, których nośnik jest zwarty. To znaczy, że funkcja z tej klasy jest tożsamościowo zerowa zewnątrz kuli wystarczająco dużego promienia: $supp$ $\varphi \subset S_{r}(0),$ $r>>0.$

Podzbiór funkcji w $\ C^{m}(\mathbb{R};\mathbb{R}^{1}),$ złożony z funkcji ze zwartymi nośnikami, oznaczamy przez $C_{0}^{m}(\Omega ;\mathbb{R}^{1})$. Szczególnie interesujące są funkcje klasy
$C_{0}^{\infty }(\Omega ;\mathbb{R}^{1})$.

Jeśli $\varphi \in C_{0}^{\infty }(\Omega ;\mathbb{R}^{1}),$ to $\varphi \equiv 0$ w niektórym paśmie około granicy.

Rys. 1

Jeśli wziąć, na przykład, funkcję $\varphi \in C_{0}^{\infty }((-2,2);\mathbb{R}),$ której nośnik
$supp$ $\varphi =[-1,1],$ to oczywiście, wszystkie pochodne w punkcie $-1\in \mathbb{ R}^{1}$ i pochodne w punkcie $+1\in \mathbb{R}^{1}$ istnieją i są równe zero. To znaczy że wykres funkcji $\varphi \in C_{0}^{\infty }((-2,2); \mathbb{R}^{1})$ jest styczny z osią $\mathbb{R}^{1}$ nieskonczonego rzędu. Powstaje pytanie, czy na ogół istnieją takie funkcje? Gdy, naprzykład, funkcja $\varphi :\mathbb{R} ^{1}\rightarrow \mathbb{R}^{1}$ jest analityczna, to może ona nie należeć do klasy $C_{0}^{\infty}(\mathbb{R}^{1};\mathbb{R}^{1})$ jeśli nie jest stałą tożsamościowo na $\mathbb{R}$. Tym nie mniej, takie funkcji istnieją. Przykładem takiej funkcji jest wyrażenie

$$\omega _{\varepsilon }(x):=\left\{ \begin{array}{c} c\exp (\fra... ...lon ; \\ 0,\text{gdy \ }\vert x\vert\geq \varepsilon . \end{array} \right.$$ (1.6)

Rys. 2

Funkcję (1.6) nazywają czapeczką, jej nośnik $supp$ $\omega _{\varepsilon }=\bar{S}_{\varepsilon }(0)$. Przy pomocy tej funkcji (1.6) można konstruować inne funkcje klasy $C_{0}^{\infty }(\mathbb{R}^{n};\mathbb{R}^{1}).$ Poniżej przeliczymy podstawowe przestrzenie funkcyjne, które bedziemy dalej wykorzystywać. We wszystkich tych przestrzeniach będą określone pewne struktury metryczne lub topologiczne. Rozważmy funkcjonały

$$u:\rightarrow \sum_{0\leq \vert\alpha \vert\leq m}\sup_{x\in \bar{\Omega}}\vert D^{\alpha }u(x)\vert,$$ (1.7)

$$u:\rightarrow \max_{0\leq \vert\alpha \vert\leq m}\sup_{x\in \bar{\Omega}}\vert D^{\alpha }u(x)\vert;$$

one oczywiście są normami na przestrzeni liniowej $C^{m}(\bar{\Omega})$. Te normy są równoważne, a przestrzeń $C^{m}(\bar{\Omega};\mathbb{R}^{1})$ jest przestrzenią Banacha względem norm (1.7). Zbieżność $u_{k}\rightarrow u$ w sensie $C^{m}(\bar{\Omega}; \mathbb{R}^{1}),$ gdy $k\rightarrow \infty$, jest zbieżnością jednostajną w $\Omega$ razem z pochodnymi do rzędu $m\in \mathbb{Z}_{+}.$ W przypadku gdy obszar $\Omega \subset \mathbb{R}^{n}$ nie jest ograniczony, normy (1.7) są niewystarczające żeby przestrzen $C^{m}(\bar{\Omega};\mathbb{R}^{1})$ była przestrzenią Banacha. Wtedy zamiast (1.7) wprowadzmy rodzinę funkcjonałów

$$u:\rightarrow \sum_{0\leq \vert\alpha \vert\leq m}\sup_{x\in \omega }\vert D^{\alpha }u(x)\vert=p_{\omega }(u),$$ (1.8)

gdzie $\omega \subset \Omega$ jest zwartym, ograniczonym podzbiorem $\Omega .$ Funkcjonały (1.8) nazywamy quasi-normami w $C^{m}(\Omega)$. Nazwijmy $\ U_{\varepsilon }^{\omega \;}(\bar{u})\, \varepsilon$ -otoczeniem elementu $\bar{u}\in C^{m}(\Omega )$, jeśli istnieje taki zbiór $\omega \subset \Omega$, że

$$U_{\varepsilon }^{\omega \;}(\bar{u}):=\{u\in C^{m}(\Omega ;\mathbb{R}^{1}):p_{\omega }(u-\bar{u})<\varepsilon \}$$ (1.9)

W taki sposób skonstruowaliśmy przestrzeń topologiczną. Zbieżność w tej przestrzeni oznacza, że

$$D^{\alpha }u_{k}\rightarrow D^{\alpha }\bar{u}, 0\leq \vert\alpha \vert\leq m,$$ (1.10)

na każdym zwartym podzbiorze $\omega \subset \Omega .$

Twierdzenie 1.1   Przestrzeń $\ C^{m}(\Omega ;\mathbb{R}^{1})$ jako przestrzeń topologiczna jest zupełną względem zbieżności (1.10), i tym samym jest przestrzenią Frechet'a, tj. metryzowalną.

Następną przestrzenią będzie przestrzeń $\varepsilon (\Omega )$ funkcji klasy $C^{\infty }(\Omega ;\mathbb{R}^{1})$ razem z rodziną quasi-norm

$$p_{\alpha ,\omega }(u):=\max_{x\in \omega }\vert D^{\alpha }u(x)\vert.$$ (1.11)

Przestrzeń $\varepsilon (\Omega )$ jest też przestrzenią Frechet'a. Zbieżność w $\varepsilon (\Omega )$ oznacza oczywiście, zbieżność jednostajną $D^{\alpha }u_{k}\rightarrow D^{\alpha }u$ dla każdego $\vert\alpha \vert\in \mathbb{Z} _{+}$ i na każdym zwartym podzbiorze $\omega \subset \Omega .$ Przestrzeń $\mathcal{J(}\mathbb{R}^{n})$ tworzą funkcje klasy $C^{\infty }(\mathbb{R}^{n})$, wystarczająco szybko malejace przy $\vert x\vert\rightarrow \infty$. To znaczy, że $u\in \mathcal{J(}\mathbb{R}^{n})$ gdy dla wszystkich $\alpha ,\beta \in \mathbb{Z}_{+}^{n}$ wartość

$$p_{\alpha ,\beta }(u):=\sup_{x\in \mathbb{R}^{n}}\vert x^{\alpha }D^{\beta }u(x)\vert$$ (1.12)

jest ograniczona. Na przykład funkcja $u(x):=e^{-\vert x\vert^{2}}\in \mathcal{J}(\mathbb{R}^{n})$. Przestrzeń $\mathcal{J(}\mathbb{R}^{n})$ jest też przestrzenią Frechet'a. Zbieżność $u_{k}(x)\in \mathcal{J(}\mathbb{R}^{n})$ do zera przy $k\rightarrow \infty$ oznacza, że dla wszystkich $\alpha ,\beta \in \mathbb{Z} _{+}^{n}\quad x^{\alpha }D^{\beta }u_{k}(x)\rightarrow 0$ przy $k\rightarrow \infty$ jednostojnie po $x\in \mathbb{R}^{n}$. Zachdzi wlasność: $\mathcal{J(}\mathbb{R}^{n})$ $\subset \varepsilon (\mathbb{R}^{n})$. (*)

Przestrzeń $\mathcal{D(}\mathbb{R}^{n})\subset \mathcal{J(}\mathbb{R} ^{n})$ jest zbiórem funkcji klasy $C_{0}^{\infty }(\mathbb{R}^{n})$, tj.
$\mathcal{D(}\mathbb{R}^{n})\equiv C_{0}^{\infty }(\mathbb{R}^{n})$.

Przestrzeń $\mathcal{D(}\mathbb{\Omega })\equiv C_{0}^{\infty }( \mathbb{\Omega })$ z topologią granicy indukcyjnej wszystkich topologii (1.11) z różnymi $\alpha \in \mathbb{Z}_{+}^{n}$ i $\omega \in \Omega$. Mówimy, że ciąg $u_{k}\in \mathcal{D(}\Omega ),k\in \mathbb{Z}_{+}$ dąży do zera gdy $k\rightarrow \infty$, w sensie $\ \mathcal{D(}\Omega ),$ jeśli spełnione dwa warunki:

i)

istnieje zwarty podzbiór $\omega \subset \Omega ,$ taki że $supp$ $u_{k}\subset \omega$ dla wszystkich $k\in\mathbb{Z}_{+}$;

ii)

ciąg $D^{\alpha }u_{k}(x)\rightarrow 0$ jednostajnie po $x\in \omega$ dla wszystkich $\alpha \in \mathbb{Z}_{+}^{n}$.

Zbieżność w $\mathcal{D(}\Omega )$ i odpowiednia topologia była wprowadzona przez L.Schwarz'a w 1951r. Przestrzeń $\mathcal{D(}\Omega )$ nie jest Frechetowską i nie jest metryzowalną. Oprócz przestrzeni wymienionych wyżej będziemy wykorzystywać przestrzenie funkcji $\ L_{p}(\Omega ),$ $p\geq 1$ z normą

$$\parallel u\parallel _{p}:=(\int_{\Omega }\vert u(x)\vert^{p}dx)^{1/p}.$$ (1.13)

Przestrzeń $L_{2}(\Omega )$ jest także przestrzenią Hilberta względem iloczynu skalarnego

$$(u,v):=\int_{\Omega }u(x)v(x)dx.$$ (1.14)

Funkcje z $\ L_{p}(\Omega )$ mają ważną własność lokalnej całkowalności: dla każdego $u\in L_{p}(\Omega )$ i każdego zwartego podzbioru $\omega \subset \Omega$ istnieje całka $\int_{\omega }udx$. Rzeczywiście, na mocy twierdzenia Holder'a:

$$\int_{\omega }\vert u(x)\vert\cdot 1 \mathrm{d}{x} \leq \Big(\int_{\omega }\vert u(x)\vert^{p}dx \Big)^{\frac{1}{p}}\cdot \Big(\int_{\omega }dx\Big)^{\frac{1}{q}} \notag$$ (1.15)

$$\leq C_{\omega }\Big(\int_{\Omega }\vert u(x)\vert^{p}dx\Big)^{\frac{1}{p}}<\infty , \notag$$ (1.16)

$$C_{\omega } = \big(vol\vert\omega \vert\big)^{\frac{1}{q}}, \qquad \frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1$$ (1.17)

ponieważ $\parallel u\parallel _{p}<\infty$, i zbiór $\omega \subset \Omega$ jest ograniczony w $\mathbb{R}^{n}$. Uwaga. Będziemy stosować takie nierówności:

a)

Nierówność Holdera: Niech $p,q>1$ i $\frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1.$ Wtedy

$$\vert\sum_{k=1}^{m}a_{k}b_{k}\vert\leq \big(\sum_{k=1}^{m}\vert ... ...big)^{\frac{1}{p}}\big(\sum_{k=1}^{m}\vert b_{k}\vert^{q}\big)^{\frac{1}{q}}.$$

b)

Nierówność Young'a : Niech $n\in N,$ $\ y_{k}>0,$ $p_{k}\,>0,\,k=\overline{1,n}$;
$\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{p}=1$, to

$$\prod_{k=1}^{n}y_{k}\leq \sum_{k=1}^{n}\frac{y_{k}^{p_{k}}}{p_{k}}.$$

c)

Nierówność Minkowskiego: $p>1,\,n\in \mathbb{Z }_{+},\,a_{k}\in \mathbb{C},\, b_{k}\in \mathbb{C},\, k=\overline{1,n}$ :

$$\big(\sum_{k=1}^{n}\vert a_{k}+b_{k}\vert^{p}\big)^{\frac{1}{p}}\... ...ig)^{\frac{1}{p}}+\big(\sum_{k=1}^{n}\vert b_{k}\vert^{p}\big)^{\frac{1}{p}}.$$