Funkcje uogólnione.

Pojęcie funkcji uogólnionej było wprowadzone przez S.L.Sobolewa (1935) i L.Schwarza (1950), którzy zdefiniowali funkcję uogolnioną jako liniowy ciągły funkcjonał nad pewną liniową przestrzenią topologiczną tzw. ,,podstawowych'' lub ,,próbnych'' funkcji. Jako przestrzeń funkcji podstawowych wybierają $\mathcal{D(}\Omega )$. Niech $\varphi \in \mathcal{D(}\Omega )$ i $f\in L_{1}^{loc}(\Omega ).$ Całka Lebesgue'a $\int_{\Omega }f(x)\varphi (x)dx$ istnieje i ciągle zależy od $\varphi \in \mathcal{D(}\Omega )$ wg zbieżności w $\mathcal{D(}\Omega ):$ jeśli $\varphi_{k}\rightarrow \varphi,\,\,k\rightarrow \infty ,$ w sensie $\ \mathcal{D(}\Omega ),$ to $\int_{\Omega} f\varphi _{k}dx\, \rightarrow \,\int_{\Omega }f\varphi dx$. Tak więc, odwzorowanie

$$\varphi :\rightarrow \int_{\Omega }f(x)\varphi (x)dx\$$ (1.18)

definiuje liniowy ciagły funkcjonał na $\mathcal{D(}\Omega )$. Oznaczamy funkcjonał (1.16) jako $T_{f}$: $\mathcal{D(}\Omega )$ $\rightarrow \mathbb{R}^{1}.$ Oczywiście $T_{f}\in \mathcal{D} ^{\prime }\mathcal{(}\Omega )$, sprzężonej z $\mathcal{D(}\Omega )$. Mamy więc

$$\ T_{f}(\varphi ):=\int_{\Omega }f(x)\varphi (x)dx\ .$$ (1.19)

Gdy $f(x)\overset{p.w.}{=}g(x)$ na $\Omega \ni x$ wg miary Lebesgue'a, to oczywiście $T_{f}$ $=Tg$ na $\mathcal{D(}\Omega ):$

$$T_{f}(\varphi )=Tg(\varphi ),\quad \varphi \in \mathcal{D(}\Omega ).$$

Ma miejsce twierdzene odwrotne:

Lemat 1.2 (Dubois-Reimond'a.)   Jeśli $T_{f}$ $=Tg$ $\in \,\mathcal{D}^{\prime }\mathcal{(}\Omega ),$ to $f\overset{p.w.}{=}g$ na $\Omega ,$ jeśli $f,g\in L_{1}^{loc}(\Omega ).$

$\lhd$Ponieważ $T_{f}$ $=Tg$ na $\ \mathcal{D(}\Omega ),$ otrzymujemy że $T_{f-g}=0$ na $\ \mathcal{D(}\Omega ),$ i wystarczy teraz udowodnić że $f-g\overset{p.w.}{=}0$ na $\Omega .$ Tak więc mamy udowodnić że $T_{h}=0$ wtedy i tylko wtedy, kiedy $\ h\overset{p.w.}{=}0$ na $\mathcal{D(}\Omega ).$ Niech $a\in \Omega$ jest dowolnym punktem w $\Omega$ i $\bar{U}_{\varepsilon }(a)$ będzie domkniętą kulą całkiem zawartą w $\Omega .$ Teraz dla dowolnego $k\in \mathbb{R}^{n}$ funkcja

$$\varphi _{k}(x):=\exp \frac{i}{\varepsilon }<k,x>\omega _{\varepsilon }(x-a),$$ (1.20)

gdzie $\omega _{\varepsilon }:\mathbb{R}^{n}\rightarrow \mathbb{R}$ jest ,,czapeczką'', należy oczywiście do przestrzeni $\ \mathcal{D(}\Omega;\mathbb{C}),$ i można stosować funkcjonał $T_{h}:$

$$0=T_{h}(\varphi _{k})=\int_{\Omega }f(x)\omega _{\varepsilon }(x-a)\exp (\frac{i}{\varepsilon }<k,x>)dx.$$ (1.21)

Tak więc, wszystkie współczynniki wg układu trygonometrycznego $\{\exp \frac{i}{\varepsilon }<k,x>:k\in \mathbb{R}^{n}\}$ dla funkcji $f(x)\omega _{\varepsilon }(x-a)$ na kuli $U_{\varepsilon }(a)$ są równe zero. Stąd wnioskujemy, że ta funkcja, tj. $f(x)\omega _{\varepsilon }(x-a)$ jest pw. równa zero na $U_{\varepsilon }(a),$ co jest równoważne temu, że $f(x)=0$ pw. na $U_{\varepsilon }(a).$ Ponieważ punkt $a\in \Omega$ jest dowolny, to udowodniliśmy, że $f\overset{p.w.}{=}0$ na $\Omega .\rhd$

Wniosek 1.3   Każda lokalno całkowalna funkcja $f\in L_{1}^{loc}(\Omega )$ definiuje liniowy i ciągły funkcjonał na $\mathcal{D(}\Omega )$ przy pomocy (1.17), i na odwrót, funkcjonał na $\mathcal{D(}\Omega )$ w postaci (1.17) jednoznacznie definiuje lokalnie całkowalną funkcję $f\in L_{1}^{loc}(\Omega ).$ ( $T_{f}\in \mathcal{D} ^{\prime }\mathcal{(}\Omega )$ ma nazwę regularnego).

Niech teraz $u\in \mathcal{D}^{\prime }\mathcal{(}\Omega )$ jest dowolnym niekoniecznie regularnym funkcjonałem na $\mathcal{D(}\Omega ).$

Definicja 1.4   Pochodna uogólniona $D^{2}u\in \mathcal{D}^{\prime }\mathcal{(}\Omega )$ istnieje dla wszystkich $\alpha \in \mathbb{Z}_{+}^{n}$ jako funkcjonał na $\mathcal{D(}\Omega ):$

$$D^{\alpha }u(\varphi ):=(-1)^{\alpha }\cdot u(D^{\alpha }\varphi )$$ (1.22)

dla każdego $\varphi \in \mathcal{D(}\Omega ).$

Oczywiście, gdy dla $u\in L_{1}^{loc}(\Omega )$ istnieje funkcja $\ u^{(\alpha )}\in L_{1}^{loc}(\Omega ),$ taka że

$$\int_{\Omega }u^{(\alpha )}(x)\varphi (x)dx=(-1)^{\alpha }\int_{\Omega }u(x)D^{\alpha }\varphi (x)dx$$ (1.23)

dla wszystkich $\varphi \in \mathcal{D(}\Omega ),$ to $u^{(\alpha )}\in L_{1}^{loc}(\Omega )$ nazywa się odpowiednią uogolnioną pochodną rzędu $\vert\alpha \vert\in \mathbb{Z} _{+}$ od funkcji $u\in L_{1}^{loc}(\Omega ).$ Na mocy lematu (1.2) Dubois-Reimond'a pochodna $u^{(\alpha )}\in L_{1}^{loc}(\Omega )$ jest jedyna.

Definicja 1.5   1Wszystkie funkcjonały $u\in \mathcal{D}^{\prime }\mathcal{(}\Omega )$ które nie są regularne nazywamy funkcjonałami osobliwymi.

Klasycznym przykładem funkcjonału osobliwego na $\mathcal{D(}\Omega )$ jest tzw. $\delta$-funkcja Diraca :

$$\delta _{a}(\varphi ):=\varphi (a),$$ (1.24)

gdzie $\varphi \in \mathcal{D(}\Omega ).$ Nośnikiem $supp$ $\delta _{a}(x)$ jest jeden punkt $a\in \Omega .$

Definicja 1.6   Nośnikiem funkcjonału $u\in \mathcal{D}^{\prime }\mathcal{(}\Omega )$ jest domknięcie zbioru punktów $y\in \mathcal{D(}\Omega ),$ takich że $u(\varphi _{y})\neq 0$ dla wszystkich $\varphi _{y}\in \mathcal{D(}\Omega )$ spełniających taki warunek: $supp\varphi _{y}\ni y$ .

Zachodzą twierdzenia.

Twierdzenie 1.7 (L.Schwarz.)   Funkcja uogólniona $f\in \mathcal{ D}^{\prime }\mathcal{(}\Omega )$ przedłuża się do funkcjonału $\ \varepsilon ^{\prime }(\Omega )$ wtedy i tylko wtedy kiedy $supp$ $f$ jest zwartym podzbiorem w $\Omega .$

Zachodzi twierdzenie, które podamy bez dowodu.

Twierdzenie 1.8 (L.Szhwarz.)   Uogólniona funkcja z nośnikiem w jednym punkcie $a\in \Omega$ jest skończoną kombinacją liniowa $\delta$-funkcji i jej pochodnych.

Teraz wprowadźmy pojęcie rzędu funkcji uogólnionej. Dla tego weźmy przestrzeń $\mathcal{D}^{m}\mathcal{(}\Omega ),\,m\in \mathbb{Z}_{+},$ gdzie $\mathcal{D}^{m}\mathcal{(}\Omega )=\{u\in C_{0}^{m}(\Omega ):\,\, p_{\alpha ,\omega }(u)<\infty ,\,\, 0\leq \vert\alpha \vert\leq m,$ $\omega \subset \Omega \}.$

Lemat 1.9   Mają miejsce następujące gęste i ciągłe zanurzenia:

$$\ \mathcal{D}^{0}\mathcal{(}\Omega )\supset \ \mathcal{D}^{1}\ma... ...supset \ldots \mathcal{D}^{\infty }\mathcal{(}\Omega )=\ \mathcal{D(}\Omega ).$$ (1.25)

$\lhd$Dowód na zadanie do domu$\rhd$. Jeśli $u\in \,\mathcal{D}^{^{\prime }}\mathcal{(}\Omega )$ można rozszerzyć do funkcjonału liniowego na $\mathcal{D}^{m}\mathcal{(}\Omega )\supset\,\mathcal{D(}\Omega )$, gdzie $m=\,$minimalną z możliwych liczb, to mówimy, że funkcja uogólniona $u\in \,\mathcal{D(}\Omega )\subset \,\mathcal{D}^{m}\mathcal{(}\Omega )$ ma rząd $m\in \mathbb{Z}_{+}.$

Uwaga 1.10   Liniowe ciągłe funkcjonały na $\mathcal{D}^{0}\mathcal{(}\Omega )$ nazywają się miarami Radona i odgrywają ważną role w teorii całkowania.

Zachodzi następne twierdzenie.

Twierdzenie 1.11 (L.Schwarz)   Każda funkcja uogólniona (tj. ,,dystrybucja'') ze zwartym nośnikiem ma skończony rząd.

W sposób analogiczny można zdefiniować dystrybucje $u\in \mathcal{J}^{\prime }\mathcal{(}\mathbb{R}^{n}),$ które nazywamy funkcjami uogólnionymi umiarkowanymi. Zachodzi następne twierdzenie.

Twierdzenie 1.12   Jeśli $u\in \mathcal{J}^{\prime }\mathcal{(}\mathbb{R}^{n}),$ to istnieje ciągła funkcja $f:\mathbb{R}^{n}\mathcal{\rightarrow }\mathbb{R}^{1},$ rosnąca potęgowo i taka że $u=D^{\alpha }f$ przy pewnym $\alpha \in \mathbb{Z}_{+}^{n}.$