Rozwiązanie problemu brzegowego
dla jednowymiarowego równania fal.

Rozważmy na początek jednorodne równanie falowe

$$\frac{\partial^2 u}{\partial t^2}- a^2 \frac{\partial^2 u}{\partial x^2}=0$$ (8.58)

gdzie $x \in (0,l), \, t \in \mathbb{R}_{+}^1$ oraz

$$u\Big\vert _{x=0^{-}}=0=u\Big\vert _{x=l^{+}}, \quad (t \in \mathbb{R}_{+}^1)$$ (8.59)

$$u\Big\vert _{t=0^{+}}=u_{0}, \quad \frac{\partial u}{\partial t}\Big\vert _{t=0^{+}}=u_{1}, \quad x\in(0,l).$$

Będziemy konstruować rozwiązanie równania (8.58) przy pomocy metody rozdzielenia zmiennych. W tym celu znajdziemy szczególne rozwiązanie równania (8.58) w postaci $u(x,t):=X(x)T(t)$ dla $x \in (0,l)$ i $t \in \mathbb{R}^1$. Podstawiając jego w (8.58) otrzymujemy:

$$\frac{T''}{a^2 T}=\frac{X''}{x}:=\lambda$$ (8.60)

gdzie $\lambda \in \mathbb{R}$ jest liczbą stałą ponieważ nie zależy na mocy (8.60) od $x \in (0,l)$ i $t \in \mathbb{R}_{+}^1$. Tak więc mamy równanie

$$X''=\lambda X$$ (8.61)

dla którego stosujemy warunek brzegowy (8.59)

$$X(0)=0=X(l)$$ (8.62)

Rozwiązując (8.61) przy warunkach (8.62) znajdujemy że

$$X \Rightarrow X_{k}(x)= \sqrt{\frac{2}{l}}\sin(\sqrt{\lambda_{k}}x), \quad \lambda_{k}=\frac{k^2 \pi^2}{l^2}$$ (8.63)

dla wszystkich $k\in\mathbb{Z}_{+}$. Analogicznie dla funkcji $T: \, \mathbb{R}_{+}^1 \to \mathbb{R}^1$ znajdujemy równanie

$$T''+ a^2 \lambda T=0$$ (8.64)

które ma takie względem (8.63) rozwiązania:

$$T_{k}(t)=a_{k}\sin(\sqrt{\lambda_{k}}at)+b_{k}\cos(a\sqrt{\lambda_{k}}t)$$ (8.65)

gdzie $a_{k}, b_{k} \in \mathbb{R}, \, k \in \mathbb{Z}_{+}$ są dowolne stałe. Oczywiście teraz, że suma

$$u_{N}(x,t):=\sum_{k=1}^{N}\Big[a_{k}\sin(\sqrt{\lambda_{k}}at)+b_{k}\cos(a\sqrt{\lambda_{k}}t)\Big]\sqrt{\frac{2}{l}}\sin(\sqrt{\lambda_{k}}x)$$ (8.66)

dla każdego $N \in \mathbb{Z}_{+}$ na mocy liniowości równania (8.58) też spełnia to równanie. Problem teraz pozostaje w dobraniu takich liczb $a_{k},b_{k} \in \mathbb{R}$, $k\in\mathbb{Z}_{+}$, (gdy $N \to \infty$), żeby granica

$$u(x,t):=\lim_{N \to \infty}u_{N}(x,t)$$ (8.67)

w pewnym sensie spełniała równanie (8.58) i warunki początkowe (8.59).
To znaczy że przy $t =0^{+}$

$$\sqrt{\frac{2}{l}}\sum_{k=1}^{\infty} b_{k}\sin(\sqrt{\lambda_{k}}x)=u_{0}(x),$$ (8.68)

$$\sqrt{\frac{2}{l}}\sum_{k=1}^{\infty} a_{k}a \sqrt{\lambda_{k}}\sin(\sqrt{\lambda_{k}}x)=u_{1}(x),$$

dla $x \in (0,l).$ Na mocy faktu że funkcja $\sin \sqrt{\lambda_{k}}x$ dla różnych $k\in\mathbb{Z}_{+}$ są ortogonalne wg iloczynu skalarnego w $L_{2}(0,l)$ z (8.68) otrzymujemy takie wyrażenia:

$$a_{k}=\frac{1}{a\sqrt{\lambda_{k}}} \int_{0}^{l} u_{1}(x) \sqrt{\frac{2}{l}}\sin(\sqrt{\lambda_{k}}x) \mathrm{d}x,$$ (8.69)

$$b_{k}=\int_{0}^{1} u_{0}(x) \sqrt{\frac{2}{l}} \sin(\sqrt{\lambda_{k}}x) \mathrm{d}x,$$

dla wszystkich $k\in\mathbb{Z}_{+}$.

Jest oczywistym że rozwiązanie (8.67) jest ,,formalnym'', ponieważ nie ustalone pojęcia zbieżności po $N \to \infty$. Oprócz tego stosowaliśmy róźniczkowanie całego szeregu (8.67) po $t \in \mathbb{R}_{+}^1$, co też nie jest uzasadnione.

Niech teraz równanie (8.58) jest uogólnione do postaci

$$\frac{\partial^2 u}{\partial t^2} - a^2\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}= f(x,t)$$ (8.70)

gdzie $x \in (0,l), \, t \in \mathbb{R}_{+}$ oraz

$$u\Big\vert _{x=0^{-}}=0=u\Big\vert _{x=l^{+}}, \quad (t \in \mathbb{R}_{+}^1)$$ (8.71)

$$u\Big\vert _{t=0^{+}}=u_{0}, \quad \frac{\partial u}{\partial t}\Big\vert _{t=0^{+}}=u_{1}, \quad x\in(0,l).$$

W sposób całkiem analogiczny stosując metodę rozdzielenia zmiennych otrzymujemy, że dla $(x,t) \in (0,l) \times \mathbb{R}_{+}^1$

$$u(x,t):=\lim_{N \to \infty}u_{N}(x,t)$$ (8.72)

gdzie

$$u_{N}(x,t):=\sum_{k=1}^{N}\sqrt{\frac{2}{l}}\sin(\sqrt{\lambda_{k}}x)T_{k}(x)$$

dla $t \in \mathbb{R}_{+}^1, \, k \in \mathbb{Z}_{+}$

$$T_{k}(t)=\frac{1}{a\sqrt{\lambda_{k}}}\int_{0}^{t}f_{k}(t)\sin[a\sqrt{\lambda_{k}}(t- \tau)] \mathrm{d}\tau$$ (8.73)

$$f_{k}(t):=\sqrt{\frac{2}{l}} \int_{0}^{l}f(x,t) \sin(\sqrt{\lambda_{k}}x) \mathrm{d}x$$

Zajmijmy się teraz uzadadnieniem tej metody Fourier'a dla problemu (8.59) nakładając na funkcje $u_{0},u_{1}: \,(0,l) \times \mathbb{R}_{+}^1 \rightarrow \mathbb{R}^1$ pewne ograniczenia. Niech $Q_{T}:=(0,l) \times (0,T)$ jest cylindrem w $\mathbb{R}^1 \times \mathbb{R}_{+}^1$. Rozwiązanie klasyczne powinno z definicji należeć do przestrzeni $C^2(Q_{T})\cap C^1(\bar{Q_{T}})$. Wtedy oczywiście

$$u_{0}(0)=\lim_{x \to 0}u_{0}(x)=\lim_{x \to 0}u(x,0)=\lim_{t \to 0}u(0,t)=0,$$ (8.74)

$$u_{1}(0)=\lim_{x \to 0}u_{1}(x)=\lim_{x \to 0}\frac{\partial u(x,0)}{\partial t}=\lim_{t \to 0}\frac{\partial u(0,t)}{\partial t}=0,$$

Podobne warunki sę też przy $x \to l$. To znaczy, że muszą być spełnione warunki zgodności

$$u_{0}(0)=u_{0}(l)=0, \quad u_{1}(0)=u_{1}(l)=0,$$ (8.75)

Można teraz dla $u \in C^2(Q_{T})\cap C^1(\bar{Q_{T}})$ sformułować następujące twierdzenie

Twierdzenie 8.5   Jeżeli

$$u_{0}\in C^2([0,l]),\,u_{1}\in C^1([0,l]), \quad u''_{0}\in L^2(0,l),\,u''_{1}\in L_{2}(0,l),$$ (8.76)

oraz spełnione są warunki zgodności (8.75), to suma (8.67) jest rozwiązaniem klasycznym równania (8.58) z klasą $C^2(\bar{Q_{T}})$ dla każdego $T \in \mathbb{R}_{+}^1$.