Problem Gaursat'a. Istnienie i jedyność funkcji Riemann'a

Zauważmy że problem

$$\mathcal{A}u=2 \frac{\partial^2 u}{\partial x \partial y} + a \frac{\partial u}{\partial x} +b \frac{\partial u}{\partial y} + cu=0,$$ (8.53)

gdzie

$$\big(\frac{\partial u}{\partial \eta}+au \big)\Big\vert _{[P,N]}=0, \quad \big(\frac{\partial u}{\partial \xi}+bu \big)\Big\vert _{[N,Q]}=0$$

oraz

$$u\Big\vert _{N}=1$$ (8.54)

który definiuje funkcję Riemann'a NIE jest problemem Cauchy'ego. Rzeczywiście krzywa PNQ jest złożona z segmentów $[P,N]$ i $[N,Q]$ charakterystyk $\xi=xl=(const)$ oraz $\eta=y=(const)$, gdy problem Cauchy'ego polega na tym żeby odzyskać rozwiązanie równania hiperbolicznego w otoczeniu krzywej $\Gamma \subset \mathbb{R}^2$ z warunkami Cauchy'ego na niej, która nie jest krzywą styczną do charakterystyk w każdym punkcie obszaru $D \subset \mathbb{R}^2$.

Definicja 8.3   Problem odzyskania rozwiązania równania hiperbolicznego
biorąc przedpisane wartości na charakterystykach wychodzących z tego samego punktu jest nazywany problemem Gaursat'a.

Tak więc problem Gaursat'a polega na znalezieniu funkcji $u: \, D^2 \times D^2 \rightarrow \mathbb{R}$ wewnątrz obszaru $D_{\xi,\eta}^{*}:=\{(x,y) \in \mathbb{R}^2: \, x>\xi, \,y> \eta\}$ dla $(\xi,\eta) \in \mathbb{R}^2$, takiej że

$$\mathcal{A}u:=2 \frac{\partial^2 u}{\partial x \partial y}+ a\frac{\partial u}{\partial x}+ b\frac{\partial u}{\partial y} +cu=f$$ (8.55)

oraz $f\in C(\mathbb{R}^2)$ i

$$u(\xi +0,s;\xi,\eta)=\varphi(\xi,s;\xi,\eta), \quad s \in [\eta,y]$$ (8.56)

$$u(s,\eta +0;\xi,\eta)=\psi(s,\eta;\xi,\eta), \quad s \in [\xi,x]$$

gdzie $\varphi,\psi: \, \mathbb{R}^2 \times \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}^1$ są ciągłe, różniczkowalne i

$$\varphi(\xi,\eta;\xi,\eta)=\psi(\xi,\eta;\xi,\eta)$$ (8.57)

Zachodzi takie twierdzenie o rozwiązaniu problemu Garusat'a

Twierdzenie 8.4   Jeśli współczynniki $a,b,c$ i $f \in BC(D_{\xi,\eta}^{*};\mathbb{R}^1)$ oraz są spełnione warunki (8.56) i (8.57), wtedy istnieje rozwiązanie globalne problemu Garusat'a (8.55)-(8.57) i jest jedyne

Dowód tego twierdzenia przeprowadzamy przy pomocy metody rozwinięcia rozwiązania w szereg wartości iterowanych (metoda Picarda) i dokonanie jego zbieżności.