Średnie kuliste

Niech $f:\mathbb{R}^{n}\longrightarrow \mathbb{R}^{1}$ jest klasy $C^{2}(\mathbb{R}^{n})$.

Definicja 9.1   Funkcja

$$\overline{f}(x,r)\,:\,=\,\frac{1}{\omega_{n}r^{n-1}}\int_{\vert x-y\vert=r}f(y)dS_{y},$$ (9.1)

gdzie $r>0$, $\omega_{n}=\frac{2\pi^{\frac{n}{2}}}{\Gamma(\frac{n}{2})}$ jest polem kuli jednostkowej w $\mathbb{R}^{n}$. Wartość $\omega_{n}r^{n-1}$ równa się dokładnie polu kuli o promieniu $r>0$.

Połóżmy $y=x+r\alpha$, gdzie $\alpha \in \mathbb{R}^{n}$. Wtedy

$$\overline{f}(x,r)\,:\,=\,\frac{1}{\omega_{n}}\int_{\vert\alpha\vert=1}f(x+r\alpha)dS_{\alpha},$$ (9.2)

gdzie $dS_{\alpha}$ jest elementem elementarnym pola kuli o promieniu $\vert\alpha\vert=1$. Jest oczywistym, że $\omega_{n}\,=\,\int_{\vert\alpha\vert=1}dS_{\alpha}$. Teraz z (9.2) otrzymujemy różniczkując po $r \in \mathbb{R}^{1}_{+}$:

$$\frac{\partial \overline{f}}{\partial r}\,=\,\frac{1}{\omega_{n}}\int_{\vert\alpha\vert=1}<grad\,f(x+r\alpha),\alpha>\,dS_{\alpha}\,=$$

$$=\,\frac{1}{\omega_{n}r^{n-1}}\int_{\vert y-x\vert=r}\Big(\sum^{n}_{i=1}\frac{\partial f}{\partial x_{i}}\,\alpha_{i}\Big)\,dS_{y}\,=$$

$$=\frac{1} {\omega_{n}r^{n-1}}\int_{\vert y-x\vert=r}\Big(\sum^{n... ...rtial f}{\partial x_{i}}\,\cos\,(\overrightarrow{n},x_{i})\Big)\, dS_{y}\,=$$

$$=\,\frac{1}{\omega_{n}r^{n-1}}\int_{\vert y-x\vert=r}\frac{\partial f}{\partial \overrightarrow{n}}\,dS_{y}.$$ (9.3)

Stosując wzór Ostrogradskiego-Gauss'a do (9.3) otrzymujemy:

$$\frac{\partial \overline{f}}{\partial r}\,=\,\frac{1}{\omega_{n}... ...lta f(y)\,dy,\qquad \Delta=<\overrightarrow{\nabla},\overrightarrow{\nabla}>.$$ (9.4)

Teraz na mocy twierdzenia o średniej przy $r\longrightarrow 0$ dostajemy z (9.2) i (9.4) że

$$\lim_{r\longrightarrow 0^{+}}\overrightarrow{f}(x,r)\,=\,f(x),\q... ...ngrightarrow 0^{+} } \frac{\partial \overrightarrow{f}(x,r)}{\partial r}\,=\,0$$ (9.5)

różniczkując po $r \in \mathbb{R}^{1}_{+}$ otrzymujemy:

$$\frac{\partial^{2}\overline{f}}{\partial r^{2}}\,=\,-\frac{(n-1)... ...\,\frac{1}{\omega_{n}r^{n-1}} \int_{\vert y-x\vert=r}\Delta\,f(y)\,dS_{y}\,=$$

$$=\,-\frac{(n-1)}{r}\,\frac{\partial \overline{f}}{\partial r}\,+\,\overline{\Delta f}.$$ (9.6)

Oprócz tego mamy

$$\Delta_{x}\overline{f}\,=\,\Delta_{x}\frac{1}{\omega_{n}}\int_{\vert\alpha\vert=1}f(x+r\alpha)\,dS_{\alpha}\,=$$

$$=\,\frac{1}{\omega_{n}}\int_{\vert\alpha\vert=1}\Delta f(x+r\alpha)\,dS_{\alpha}\,=\,\overline{\Delta f}$$ (9.7)

Porównując (9.6) i (9.7) otrzymujemy wyrażenie Darboux:

$$\Delta_{x}\overline{f}\,=\,\frac{\partial^{2}\overline{f}}{\partial r^{2}}\,+\,\frac{n-1}{r}\,\frac{\partial \overline{f}}{\partial r}.$$ (9.8)