Problem Cauchy'ego w $\mathbb{R}^{n}$ dla równania fal.

Rozważmy równanie

$$\frac{\partial^{2}u}{\partial t^{2}}\,-\,a^{2}\Delta u\,=\,0, \qquad (x,t)\in \mathbb{R}^{3}\times \mathbb{R}^{1}_{+},$$ (9.9)

gdzie

$$u \Big \vert _{t=0^{+}}\,=\,u_{0}(x), \qquad \frac{\partial u}{\partial t }\Big \vert _{t=0^{+}}\,=\,u_{1}(x).$$ (9.10)

Żeby rozwiązać równanie (9.9) z warunkami (9.10) stosujemy uśrednienie kuliste do równania (9.9), ($n=3$):

$$\frac{\partial^{2}\overline{u}}{\partial t^{2}}\,-\,a^{2}\Big[ \... ... r^{2}}\,+\,\frac{2}{r}\,\frac{\partial \overline{u}}{\partial r} \Big]\,=\,0.$$ (9.11)

Mnożąc (9.11) przez $r \in \mathbb{R}^{1}_{+}$ sprowadzamy (9.11) do postaci

$$\frac{\partial^{2}(r\overline{u})}{\partial t^{2}}\,-\,a^{2}\,\frac{\partial^{2}(r\overline{u})}{\partial r^{2}}\,=\,0.$$ (9.12)

Równanie (9.12) jest już jednowymiarowym równaniem falowym dla funkcji $\nu=r\overline{u}:\mathbb{R}^{1}_{+}\longrightarrow \mathbb{R}^{1}$. Odpowiednie u"srednienie warunków początkowych (9.10) daje:

$$\nu \big\vert _{t=0^{+}}\,=\,\nu_{0}(x,r)\,=\,\overline{u_{0}}(x... ...+}}\,=\,\nu_{1}(x,r)\,=\,\overline{u_{1}}(x,r)r,\quad r\in \mathbb{R}^{1}_{+}.$$ (9.13)

Ponieważ funkcja $\nu(x,r,t)\Big \vert _{r=0^{+}}=0$, rozwiązanie równania (9.12) może być przedłużone na całą oś $\mathbb{R}^{1}_{r}$ nieparzystym sposobem. To znaczy, że warunki początkowe $\overline{u_{0}}$ i $\overline{u_{1}}:\mathbb{R}^{1}_{+}\longrightarrow \mathbb{R}$ mają być przedłuźone na ujemną oś $\mathbb{R}^{1}_{-}$ parzystym sposobem. Wtedy oczywiście stosując wzór d'Alemberta (8.9) znajdujemy, że

$$\overline{u}(x,r,t)\,=\,\frac{\nu_{0}(x,r+at)\,+\,\nu_{0}(x,r-at)}{2r}\,+$$

$$+\,\frac{1}{2ar}\int^{r+at}_{r-at}\nu_{1}(x,\xi)\,d\xi.$$ (9.14)

Żeby znaleźć $u(x,t)$ obliczymy granicę (9.14) przy $r\longrightarrow 0^{+}$. Ponieważ funkcje $\nu_{i}$, $i=0,1$ są nieparzyste wg zmiennej $r \in \mathbb{R}^{1}$, to mamy nieokreśloność $\frac{0}{0}$. Stosując prawo de l'Hospitala znajdujemy:

$$u(x,t)\,=\,\frac{\nu_{0}^{'}(x,at)\,+\,\nu_{0}^{'}(x,-at)}{2}\,+\,\frac{1}{2a} \big[\nu_{1}(x,at)\,-\,\nu_{1}(x,-at)\big].$$ (9.15)

Ponieważ funkcja $\nu_{0}$ jest nieparzysta to funkcja $\nu_{0}^{'}$ jest parzysta. Wówczas otrzymujemy:

$$u(x,t)\,=\,\nu_{0}^{'}(x,at)\,+\,\frac{1}{a}\nu_{1}(x,at),$$

albo

$$u(x,t)\,=\,\frac{\partial}{\partial t}\Big[ \frac{1}{4\pi a^{2}t... ...dS_{y}\Big]\,+\,\frac{1}{4\pi a^{2}t}\int_{\vert y-x\vert=at}u_{1}(y)\,dS_{y}.$$ (9.16)

Wzór (9.16) ma nazwę wzoru Kirchoff'a. Żeby rozwiązanie (9.16) było klasycznym dla problemu Cauchy'ego (9.9), (9.10), jest koniecznym żeby funkcje $u_{0},\,u_{1}:\mathbb{R}^{n}\longrightarrow \mathbb{R}^{1}$ spełniały następujące warunki: $u_{0}\in C^{3}(\mathbb{R}^{3};\mathbb{R}^{1}),\,\\ u_{1}\in C^{2}(\mathbb{R}^{3};\mathbb{R}^{1})$. Jest oczywistym, że rozwiązanie klasyczne jest jedyne, oraz istnieje ciągła zależność rozwiązania od warunków początkowych.

Rozważmy teraz problem Cauchy'ego dla równania niejednorodnego

$$\frac{\partial^{2}u}{\partial t^{2}}\,-\,a^{2}\Delta u\,=\,f, \qquad (x,t)\in \mathbb{R}^{3}\times \mathbb{R}^{1}_{+},$$ (9.17)

gdzie

$$u \Big\vert _{t=0^{+}}\,=\,0,\qquad \frac{\partial u}{\partial t}\Big\vert _{t=0^{+}}\,=\,0.$$ (9.18)

Dla rozwiązania skorzystamy z taj samej metody co wyżej dla równania (8.10). Tak więc dla rozwiązania (9.17) i (9.18) mamy zgodnie z (9.16) następujące wyrażenie:

$$u(x,t)\,=\,\sum^{n}_{i=0}\frac{1}{4\pi a^{2}(t-\tau_{i})}\,\int_... ...au_{*i})\,dS_{y}\,\Delta\tau_{i}\,+\, O(max_{i=\overline{0,n}}\Delta\tau_{i}),$$ (9.19)

gdzie $\tau_{i}-\Delta\tau_{i}<\tau_{*i}<\tau_{i},\,i=\overline{0,n}$.

Biorąc granicę gdy $n\longrightarrow\infty$ oraz $max_{i=\overline{0,n}}(\Delta\tau_{i})\longrightarrow 0$, z (9.19) otrzymujemy, że

$$u(x,t)\,=\,\int^{t}_{0}\frac{d\tau}{4\pi a^{2}(t-\tau)}\,\int_{\vert x-y\vert=a(t-\tau)}f(y,\tau)\,dS_{y}.$$ (9.20)

Wyrażenie (9.20) ma nazwę potencjału opóźniającego. Żeby ten termin uzasadnić wykonamy następujące przekształcenia : $a(t-\tau)=r$,

$$u(x,t)\,=\,\int^{at}_{0}\frac{1}{4\pi a^{2}r}\int_{\vert x-y\vert=r}f(y,t-\frac{r}{a})\,dS_{y}\,dr\,=$$

$$=\,\frac{1}{4\pi a^{2}}\int_{\vert x-y\vert<at}\frac{f(y,t-\frac{\vert x-y\vert}{a}) \,dy}{\vert x-y\vert}.$$ (9.21)

W zwykły sposób sumując rozwiązania (9.20) oraz (9.16) otrzymujemy rozwiązanie problemu Cauchy'ego dla równania (9.17) z warunkami początkowymi (9.10).