Twierdzenie Cauchy'ego-Kowalewskiej

Rozwaźmy układ równań różniczkowych wg. niewiadomych funkcji
$u_{i}=u_{i}:\mathbb{R}^{n}\times \mathbb{R}^{1}\longrightarrow \mathbb{R},\,i=\overline{1,m}$. Nazywamy go normalnym względem zmiennej $t\in \mathbb{R}^{1}$ jeśli te równania mogą być rozwiązane wg. największych pochodnych po $t\in \mathbb{R}^{1}$. Szczególnym przypadkiem jest quasi-liniowy układ:

$$\sum_{\vert\alpha\vert=m}A_{\alpha}D^{\alpha}u\,=\,B,$$ (9.27)

gdzie $A_{\alpha},\,\alpha \in \mathbb{Z}^{n}_{+}$ są macierzami kwadratowymi, $B$ jest wektorem - kolumną, zaleźne na ogół od $x\in \mathbb{R}^{n}$, i $D^{\alpha}u,\,\vert\beta\vert<m$.
Niech $S_{\omega}$ będzie powierzchnią w $\mathbb{R}^{n}$, zadaną przy pomocy równania $\omega(x)=0$, $\,x\in \mathbb{R}^{n}$.

Problem Cauchy'ego polega teraz na tym, że musimy znaleźć wektor-funkcję $u=u(x)$, spełniającej równanie (9.27) oraz warunki Cauchy'ego:

$$u \Big \vert _{S_{\omega}}\,=\,u_{0}(x),\quad \frac{\partial u }... ...1}}{\partial \overrightarrow{n}}\Big \vert _{S_{\omega}}\,=\,\varphi_{m-1}(x),$$ (9.28)

gdzie $\varphi_{i},\,i=\overline{0,m-1}$ są zadanymi wektorami-funkcji na $S_{\omega}$.
Rozważmy teraz wielomian

$$A(x,\xi)\,:\,=\,det\{\sum_{\vert\alpha\vert=m}A_{\alpha}(x)\xi^{\alpha}\},$$ (9.29)

gdzie $\xi \in \mathbb{R}^{n}$.

Definicja 9.2   Powierzchnia $S_{\omega},\,\omega(x)=0,\,x\in \mathbb{R}^{n}$, nazywamy charakterystyczną w punkcie $x\in \mathcal{S}_{\omega}$, jeśli $A(x,grad\,S(x))=0$. W przypadku przeciwnym powierzchnia nazywa się swobodną.

Twierdzenie 9.3 (Cauchy'ego-Kowalewskiej)   Niech $A_{\alpha},B,\omega(x)$ oraz $\varphi_{i}(x)$,
$i=\overline{0,m-1}$, $x\in \mathbb{R}^{n}$, są funkcjami analitycznymi swoich argumentów. Wówczas w wystarczająco małym otoczeniu punktu $x_{0}\in S_{\omega}$, gdzie $S_{\omega}$ jest swobodna, istnieje jedyne rozwiązanie analityczne problemu Cauchy'ego (9.27)
i (9.28).

Dowód twierdzenia polega na rozwinięciu rozwiązania w szereg i dowodzie jego zbieżności