Problem Cauchy'ego w $\mathbb{R}^{2}$ dla równania fal. Metoda redukcji jednej zmiennej
przestrzennej.

Rozważmy problem Cauchy'ego w $\mathbb{R}^{2}$:

$$\frac{\partial ^{2}u}{\partial t^{2}}\,-\,a^{2}\Delta u\,=\,f(x,t), \qquad (x,t)\in \mathbb{R}^{2}\times \mathbb{R}^{1}_{+},$$ (9.22)

gdzie

$$u \Big \vert _{t=0^{+}}\,=\,u_{0}(x), \qquad \frac{\partial u}{\partial t }\Big \vert _{t=0^{+}}\,=\,u_{1}(x).$$ (9.23)

Dla rozwiązania (9.22), (9.23) rozważmy wspomagający problem Cauchy'ego w $\mathbb{R}^{3}$, gdzie funkcje $u_{0},\,u_{1}$ oraz $f$ nie zależą od zmiennej $x_{3}\in \mathbb{R}^{1}$. Wtedy rozwiązanie tego problemu już mamy:

$$u(x,t)\,=\,\frac{\partial}{\partial t}\Big[\frac{1}{4\pi a^{2}t} ... ... \Big]\,+\,\frac{1}{4\pi a^{2} t}\int_{\vert x-y\vert=at}u_{1}(y)\,dS_{y}\,+$$

$$+\,\int^{at}_{0}\frac{d\tau}{4\pi a^{2}(t-\tau)}\int_{ \vert x-y\vert=a(t-\tau)}f(y,\tau)\,dS_{y}.$$ (9.24)

Ponieważ podcałkowe funkcje nie zależą od $x_{3}\in \mathbb{R}^{1}$, to całkowanie po sferze zamienimy całkowaniem po kole o dużej średnicy, które jest przecięciem sfery płaszczyzną $y_{3}=0$.

Rys. 6

Mamy: $dS_{y}\,=\,\cos\gamma\,dy_{1}\,dy_{2}$, $\cos\gamma\,=\,\frac{\sqrt{(at)^{2}\,-\,\vert x-y\vert^{2}}}{at}$, gdzie $x=(x_{1},x_{2})$, $y=(y_{1},y_{2})\in \mathbb{R}^{2}$.
Teraz całka $\int_{\vert x-y\vert=at}u_{0}(y)\,dS_{y}$ w (9.24) będzie się równać całce

$$2\int_{\vert x-y\vert<at}u_{0}\frac{at}{\sqrt{a^{2}t^{2}\,-\,\vert x-y\vert^{2}}}\,dy$$ (9.25)

(współczynnik ,,2'' odpowiada za całkowanie po dwóch połówkach sfery). Wykonajmy analogiczne przekształcenia we wszystkich całkach (9.24), znajdujemy:

$$u(x,t)\,=\,\frac{1}{2\pi a}\,\frac{\partial}{\partial t}\int_{\vert x-y\vert<at}\frac{u_{0}(y)\,dy}{\sqrt{a^{2}t^{2}\,-\,\vert x-y\vert^{2}}}\,+$$

$$\frac{1}{2\pi a}\int_{\vert x-y\vert<at}\frac{u_{1}(y)}{\sqrt{a^{2}t^{2} \,-\, \vert x-y\vert^{2}}} \mathrm{d}y\,+$$ (9.26)

$$+\frac{1}{2\pi a}\int^{t}_{0} d\tau\int_{\vert y-x\vert<a(t-\tau)}\frac{f(y,\tau)\,dy}{\sqrt{a^{2}(t-\tau)^{2}\,-\,\vert x-y\vert^{2}}}.$$

Wzór (9.26) podał Poisson, który wyprowadził go w sposób całkiem podobny jak stosowany powyżej i który ma nazwę metody redukcji po zmiennej przestrzennej.