Pojęcie rozwiązania podstawowego.

Rozważmy liniowe wyrażenie różniczkowe w postaci:

$$\mathcal{A} (x;D)=\underset{\vert\alpha \vert\leq m}{\sum }a_{\alpha }(x)D^{\alpha }.$$ (10.1)

ze współczynnikami $a_{\alpha }:\mathbb{R}^{n}\rightarrow \mathbb{R} ^{1}$ , $\vert\alpha \vert\leq m$, które zezwalają na zastosowanie (10.1) do funkcji uogólnionych z klasy na przyklad $\mathcal{D}^{\prime }( \mathbb{R}^{n}).$ W tym celu załóżmy że $a_{\alpha }\in C^{\infty }(\mathbb{R}^{n}),$ $\vert\alpha \vert\leq m.$

Definicja 10.1   Rozwiązaniem podstawowym wyrażenia (10.1) nazywamy dystrybucję $E\in$ $\mathcal{D}^{\prime }(\mathbb{R}^{n})$, taką że

$$\mathcal{A} (x;D)E(x;y)=\delta (x-y)$$ (10.2)

gdzie $\delta _{y}\in \mathcal{D}^{\prime }(\mathbb{R}^{n})$ jest funkcją uogólnioną Dirac'a.

Jest oczywistym, że rozwiązanie podstawowe nie jest jedyne, poniewa ż każda dystrybucja

$$\tilde{E}(x,y)=E(x,y)+\tilde{u}(x,y),$$ (10.3)

gdzie $\tilde{u}:\mathbb{R}^{n}\rightarrow \mathbb{R}$ jest rozwiązaniem równania jednorodnego

$$\mathcal{A} (x;D)\tilde{u}(x;y)=0$$ (10.4)

dla każdego $y\in \mathbb{R}^{n}.$ Nas bedą dalej interesować rozwiązania uogólnione równania rózniczkowego

$$\mathcal{A} (x;D)u=f,$$ (10.5)

gdzie $f\in \mathcal{D}^{\prime }(\mathbb{R}^{n})$ jest zadaną dystrybucją na $\mathcal{D}(\mathbb{R}^{n})$ . Dla przykładu rozważmy proste równania różniczkowe w $\mathcal{D}^{\prime }(\mathbb{R}^{1})$ dla $E(x;y);$ $x,y\in \mathbb{R}%% ^{1}:$

$$\frac{\mathrm{d}{u(x)}}{\mathrm{d}{x}}=\delta _{y}(x).$$ (10.6)

Jest oczywistym (i co było już wczesniej udowodnione), że

$$E(x;y)=\vartheta (x-y):=\left\{ \begin{array}{ll} 1,& \text{ gdy \ }x\geq y; \\ 0,& \text{ gdy \ }y<x. \end{array} \right.$$ (10.7)

jest jednym z rozwiązań (10.6). Ogólnym rozwiązaniem jest

$$\tilde{E}(x;y)=\vartheta (x-y)+const.$$ (10.8)

Rozważmy taraz równanie fal w $\mathbb{R}^{1}:$

$$\frac{\partial ^{2}u}{\partial t^{2}-a^{2}}\frac{\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}=f(x,t),$$ (10.9)

gdzie $f\in \mathcal{D}^{\prime }(\mathbb{R}^{1}).$ Rozwiązaniem podstawowym dla wyrażenia (10.1) będzie funkcja uogólniona.

$$E(x,t;\xi ,s)=\frac{1}{2a}\vartheta (a(t-s)-\vert x-t\vert).$$ (10.10)

Znaczenie rozwiązania podstawowego jest jasne z następującego twierdzenia.

Twierdzenie 10.2   Niech $f\in \mathcal{D}^{\prime }(\mathbb{R}^{n})$ oraz istnieje splot
$\ E\ast f:=\underset{\mathbb{R}^{n}}{\int } E(x,y)f(y)dy$ dla $x\in \mathbb{R}^{n}$, wtedy dystrybucja

$$u:=E\ast f+\tilde{u}$$ (10.11)

jest rozwiązaniem równania $(\ref{sec:10.5}).$

$\lhd$ Dowód. Mamy na mocy definicji:

$$\mathcal{A} (x;D)(E\ast f)(x) = (\mathcal{A} (x;D)E(x;y))\ast f=\delta \ast f \notag$$ (10.12)

$$\Longrightarrow \underset{\mathbb{R}^{n}}{\int }\delta (x-y)f(y)dy=f(x),$$ (10.13)

co i kończy dowód. $\rhd$

Definicja 10.3   Splot rozwiązania podstawowego z funkcją ugolnioną gdy istnieje ma nazwę potencjału.

Rozważmy szczególny przypadek gdy $x \in \mathbb{R}^{1}$ i

$$\mathcal{A} (x;D)=\underset{J=0}{\overset{m-1}{\sum }} a_{j}(x)u^{(j)}+u^{(m)}.$$ (10.14)

Wtedy zachodzi twierdzenie.

Twierdzenie 10.4   Podstawowe rozwiązanie wyrażenia (10.13) ma wzór:

$$E(x;y)=\vartheta (x-y)v(x;y)+\tilde{u}(x),$$ (10.15)

gdzie

$$\mathcal{A}v(x;y) =0$$

$$v(y;y) =0, \quad v^{\prime }(y;y)=0,\quad{ },\ldots,v^{(m-1)}(y;y)=1$$ (10.16)

dla wszystkich $y\in \mathbb{R}^{1},$ oraz $\mathcal{A}$ $\tilde{u}=0$ dla $x \in \mathbb{R}^{1}$ .

$\lhd$ Dowód. Stosując prawo różniczkowania funkcji uogólnionych, znajdujemy że

$$(\vartheta (x-y)v(x;y))_{x}^{^{\prime }} = \vartheta ^{\prime }(x-y)v(x;y)+\vartheta (x-y)v(x;y)=$$

$$\delta (x-y)v(x;y)+\vartheta (x-y)v(x;y) = \vartheta (x-y)v(x;y),$$

ponieważ $v(y;y)=0.$ W sposób analogiczny mamy:

$$(\vartheta v)^{(j)} = \vartheta v^{(j)} , j=\overline{ 0,m-1},$$ (10.17)

$$(\vartheta v)^{(m)} = \vartheta v^{(m)}+\delta (x-y)v^{(m-1)}(x;y)=\vartheta v^{(m)}+\delta (x-y),$$ (10.18)

ponieważ supp $\delta (x-y)=\{y\}\in \mathbb{R}^{1}$ jest jednopunktowym. Ze wzorów (10.16) otrzymujemy że

$$\mathcal{A} (x;D)E(x;y)=\vartheta (x-y)\mathcal{A} v+\delta (x-y)=\delta (x-y),$$ (10.19)

ponieważ $\mathcal{A}$ $v\equiv 0,$ co i dowodzi twierdzenie. $\rhd$

Przykład 10.5   dla operatora na $\mathbb{R}^{1}$

$$\mathcal{A}u=u^{\prime }+au\Rightarrow E(x;y)=\vartheta (x-y)e^{-a(x-y)};$$

dla operatora

$$\mathcal{A}u=u^{\prime \prime }+a^{2}u\Rightarrow E(x;y)=\vartheta (x-y) \frac{1}{a}\sin [a(x-y)].$$

Uwaga 10.6   Hans Lewi w 1957 r. pokazał że równanie

$$\mathcal{A}u = f \mathcal{A}=\frac{\partial ^{2}}{\partial x_{1}\partial x_{3}}+i\... ...x_{2}\partial x_{3}} +2i(x_{1}+ix_{2})\frac{\partial ^{2}}{\partial x_{3}^{2}}=$$ (10.20)

$$= \frac{\partial }{\partial x_{3}}\left[ \frac{\partial }{\partial ... ...rtial }{\partial x_{2}}+2i(x_{1}+ix_{2})\frac{\partial }{\partial x_{3}}\right]$$ (10.21)

nie posiada dla żadnej funkcji $\ f\in \mathcal{J}(\mathbb{R}^{3})$ rozwiązania z klasy $\mathcal{D}^{\prime }$ $(\Omega )$ dla wszystkich obszarów $\Omega \subset \mathbb{R}^{3}.$ Tym nie mniej dla operatoró w różniczkowych (10.1) ze stałymi wspólczynnikami posiada zawsze rozwiązanie podstawowe (Twierdzenie Malgrange'a i Erenpreise'a) z klasy $\mathcal{D}^{\prime }( \mathbb{R}^{n}).$ W przypadku klasy funkcji $f\in \mathcal{J}(\mathbb{R}^{n})$ było udowodnione takie twierdzenie.

Twierdzenie 10.7 (L.Hormander i S.Lajasiewicz (UJ))   .
Każde wyra żenie (10.1) ze wspólczynnikami stałymi posiada rozwiązanie podstawowe $E\in \mathcal{J}^{\prime }(\mathbb{R}^{n}).$