Podstawowe rozwiązania operatorów
eliptycznych.

Rozważmy równania Laplace'a

$$\bigtriangleup u=f \bigtriangleup =\underset{j=\overline{1,n }}{\sum }\frac{\partial ^{2}}{\partial x_{j}^{2}} , f\in \mathcal{J}^{^{\prime }}(\mathbb{R}^{n}).$$ (10.22)

Rozwiązanie podstawowe spelnia równanie

$$\bigtriangleup E(x;y)=\delta (x-y),$$ (10.23)

lub stosując transformacje Fourier'a,

$$-\vert\xi \vert^{2}\hat{E}(\xi )=1$$ (10.24)

tj.

$$E(x;y)=\frac{-1}{(2\pi )^{n}}\underset{\mathbb{R}^{n}}{\int }\frac{\exp i<\xi ,x-y>d\xi }{\vert\xi \vert^{2}} ,$$ (10.22)

gdzie potrzeba obliczyć całkę, co jest skoplikowanym zadaniem. Z drugiej strony, jest prosto udowodnić że rozwiązanie
$E(x;y)\Rightarrow E(x-y)\Rightarrow E(r),$ gdzie $r:=\vert x-y\vert,$ tj. posiada symetrię centralną. Wtedy, można łatwo otrzymać że

$$\bigtriangleup E(r) = \frac{d^{2}E(r)}{dr^{2}}+\frac{n-1}{r}\frac{dE(r)}{dr} \notag$$ (10.25)

$$= \frac{1}{r^{n-1}}\frac{d}{dr}\left[ r^{n-1}\frac{dE(r)}{dr}\right] =\delta (x-y)\vert _{\vert x-y\vert=r}$$ (10.26)

Niech teraz $r\neq 0;$ wtedy z (10.23) otrzymujemy że

$$E(r)=\left\{ \begin{array}{ll} \frac{c}{\vert r\vert^{n-2}},&\text{ gdy }n>2; \\ c\ln \vert r\vert,&\text{ gdy \ }n=1, \end{array} \right.$$ (10.27)

gdzie $c\in \mathbb{R}^{1}$ jest liczbą stałą.Żeby wyznaczyć tę liczbę $c\in \mathbb{R}^{1}$, zastosujmy do lewej strony (10.21) działanie na element $\varphi \in \mathcal{D}(\mathbb{R}^{n}):$

$$\bigtriangleup E(\varphi ):=E(\bigtriangleup \varphi )\Rightarrow \varphi (y), y\in \mathbb{R}^{n}.$$ (10.28)

Ponieważ $E\in L_{1}^{loc}(\mathbb{R}^{n})$ jest lokalnie całkowalną (!), to oczywiście dla
$x\in \$supp $\varphi \subset O_{R}(y)$

$$E(\bigtriangleup \varphi ) : =\underset{\mathbb{R}^{n}}{\int } E(x-y)\bigtriangleup \varphi (x)dx=\underset{\vert x\vert<R}{\int } E(x-y)\bigtriangleup \varphi (x)dx$$ (10.29)

$$\notag$$ (10.30)

$$= \underset{\varepsilon \downarrow 0}{\lim }\underset{\varepsilon <\vert x-y\vert<R}{\int }E(x-y)\bigtriangleup \varphi (x)dx \notag$$ (10.31)

$$\notag$$ (10.32)

$$= \underset{\varepsilon \downarrow 0}{\lim }\underset{\varepsilon <\vert x-y\vert<R}{\int }\bigtriangleup E(x-y)\varphi (x)dx \notag$$ (10.33)

$$\notag$$ (10.34)

$$+ \underset{\left\{ \left[ \vert x-y\vert=\varepsilon \right] \cup ... ...}}-\varphi \frac{\partial E(x-y)}{\partial \overrightarrow{n}}\right] dS \notag$$ (10.35)

$$\notag$$ (10.36)

$$\Rightarrow \underset{\vert x-y\vert=\varepsilon }{\int }\left[ E(x-y)\frac{\... ...}-\varphi \frac{\partial E(x-y)}{\partial \overrightarrow{n}}\right] dS, \notag$$ (10.37)

$$\notag$$ (10.38)

gdzie skorzystaliśmy z warunków $\varphi \vert _{\vert x-y\vert=R}=0$ , $\frac{\partial \varphi }{\partial n}\vert _{\vert x-y\vert=R}=0$ dla $\varphi \in \mathcal{D}( \mathbb{R}^{n})$. Pozostała całka w (10.27) może być obliczona w następujący sposób: przy $\vert x-y\vert=\varepsilon$

$$E(x-y)=c\varepsilon ^{2-n}, \frac{\partial E(x-y)}{\partial \overrightarrow{n}}=-\frac{\partial E(r)}{\partial r}=(n-2)\varepsilon ^{1-n}.$$ (10.39)

Stosując teraz (10.28) do (10.27), na podstawie twierdzenia o wartości średniej dla całek, otrzymujemy:

$$\underset{\vert x-y\vert=\varepsilon }{\int }E(x-y)\frac{\partial \varphi (x)}{\partial \overrightarrow{n}}dx = c\varepsilon ^{2-n}\varepsilon^{n-1}\omega _{n}\frac{\partial \va... ...{\prime })}{\partial r},\text{ } \vert x^{\prime }-y\vert=\varepsilon \text{ };$$ (10.40)

$$\underset{\vert x-y\vert=\varepsilon }{\int }\frac{\partial E(x-y)}{\partial \overrightarrow{n}}\varphi (x)dx = c(n-2)\varepsilon ^{1-n}\varepsilon ^{n-1}\omega _{n}\varphi (x^{\prime \prime }), \vert x^{\prime \prime }-y\vert=\varepsilon , \notag$$ (10.41)

gdzie $\omega _{n}=vol$ $S^{n-1}$ jest powierzchnią sfery $S^{n-1}$ o promieniu 1. Tak więc, na mocy dowolności parametra $\varepsilon \downarrow 0$

$$E(\bigtriangleup \varphi ) = \underset{\varepsilon \downarrow 0}{\lim } c\omega _{n}\left[ \va... ...l \varphi (x^{\prime })}{\partial r}-(n-2)\varphi (x^{\prime \prime })\right] =$$ (10.42)

$$c\omega _{n}(2-n)\varphi (y) \Rightarrow \varphi (y) \notag$$ (10.43)

dla wszystkich $y\in \mathbb{R}^{n}$ i $\varphi \in \mathcal{D}(\mathbb{R} ^{n}).$ Jako wniosek z (10.30) otrzymujemy, że stała

$$c=\frac{1}{(2-n)\omega _{n}}.$$ (10.44)

Tak więc, rezultat dla $E=\mathcal{D}^{\prime }(\mathbb{R}^{n})$ dla $n>2$ jest taki :

$$E(x;y)=\frac{1}{(2-n)\omega _{n}\vert x-y\vert^{n-2}},$$ (10.45)

gdzie $x,y\in \mathbb{R}^{n}.$ W sposób analogiczny znajdujemy że dla $n=2$

$$E(x;y)=\frac{1}{2\pi }\ln \vert x-y\vert,$$ (10.46)

gdzie $x,y\in \mathbb{R}^{2}.$ Stosując taki sam schemat wyprowadzenia, znajdujemy, że rozwią zanie podstawowe dla równania

$$\bigtriangleup ^{m}E(x;y)=\delta (x-y)$$ (10.47)

ma postać:

$$E(x;y)=\frac{c_{m,n}}{(n-2)\omega _{n}}\vert x-y\vert^{2m-n},$$

gdzie

$$c_{m,n}=\frac{1}{2\times 4\times (2m-2)(2m-n)...(4-n)}.$$ (10.48)

Jeśli $\ n=2k\in \mathbb{Z}_{+}$ i $n\leq 2m,$ to

$$E(x;y)=-\frac{c_{n-2,n}b_{m,n}\vert x-y\vert^{2m-n}\ln \vert x-y\vert}{(2-n)^{2}\omega _{n}},$$ (10.49)

gdzie

$$b_{m,n}=\frac{1}{2\times 4\times ...(2m-n)n(n+2)...(2m-2)}.$$ (10.50)

Dla równania

$$\bigtriangleup u+k^{2}u+f , f\in \mathcal{D}^{\prime }(\mathbb{R}^{n})$$ (10.51)

rozwiązanie podstawowe ma postać:

$$E(x;y)=-\exp (ik\vert x-y\vert/(4\pi \vert x-y\vert).???$$ (10.52)