Uwagi ogólne.

Niech $A=\underset{\vert\alpha \vert\in m}{ \sum }a_{\alpha }D^{2}$ jest wyrażeniem różniczkowym i $E(x,y) \, x,y\in \mathbb{R}^{n}$, jest jego rozwiązaniem podstawowym.

Definicja 11.1   Potencjałami dla tego wyrażenia różniczkowego nazywamy sploty $E\ast f$ z różnymi funkcjami uogólnionymi $f\in$ $\mathcal{D}^{\prime }( \mathbb{R}^{n}).$

W zależności od struktury funkji uogólnionej $f\in \mathcal{D}^{\prime }(\mathbb{R}^{n})$ otrzymujemy różne potencjały fizyki matematycznej, mające fizyczny sens. Niech $\Omega \subset \mathbb{R}^{n}$ jest obszarem ograniczonym w $\mathbb{R}^{n}$ i $\rho :\Omega \rightarrow \mathbb{R}^{1}$ jest lokalnie całkowalną funkcją w $\mathbb{R}^{n}$, tj. $\rho \in L_{1}^{loc}(\Omega ;\mathbb{R}^{1}).$ Zdefiniujmy funkcję

$$\tilde{\rho}(x):=\left\{ \begin{array}{ll} \rho (x),& x\in \bar{\Omega} \\ 0, & x\notin \bar{\Omega}. \end{array} \right.$$ (11.1)

jest oczywistym teraz, że $\tilde{\rho}\in \mathcal{D}^{\prime }( \mathbb{R}^{n}).$ Rozważmy teraz splot $E\ast \tilde{\rho}\in \mathcal{D}^{\prime }(\mathbb{R}^{n}).$

Definicja 11.2   Splot $E\ast \tilde{\rho}$, gdzie $\tilde{\rho}\in \mathcal{D}^{\prime }(\mathbb{R}^{n})$ jest zdefiniowana przez (11.1), nazywamy potencjałem objętości $\Omega \subset \mathbb{R}^{n}$ (obszaru $\Omega \subset \mathbb{R}^{n}$) dla operatora $\mathcal{A}:\mathcal{D}(\mathbb{R}^{n})\rightarrow \mathcal{D}^{\prime }( \mathbb{R}^{n}).$

Niech teraz $S\subset \Omega ^{n}$ jest wystarczająco gładką, ograniczoną obu-stronną powierzchnią w $\mathbb{R}^{n}$, a $\mu \delta _{s}\in \mathcal{D}^{\prime }(\mathbb{R}^{n})$ jest warstwą prostą z gęstością
$\mu :\mathbb{S\rightarrow R}^{1}$ i z nośnikiem supp $\mu \delta _{s}\subset S.$ Oczywiście, że $\mu \delta _{s}\in \mathcal{D}^{\prime }(\mathbb{R}^{n})$ jest dystrybucją i działanie jej na $\varphi \in \mathcal{D}( \mathbb{R}^{n})$ oznaczone jako

$$\mu \delta _{s}(\varphi ):=\int\limits_{s}\mu (x)\varphi (x)ds.$$ (11.2)

Definicja 11.3   Splot $E\ast \mu \delta _{s}\in \mathcal{D} ^{\prime }(\mathbb{R}^{n})$ ma nazwę potencjału warstwy prostej.

Definicja 11.4   Splot $E\ast \left[ -\frac{\partial }{ \partial \vec{n}}(\nu \delta _{s})\right]$, gdzie $-\frac{\partial }{ \partial \vec{n}}$ ( $\nu \delta _{s})\in \mathcal{D}^{\prime }(\mathbb{R} ^{n})$ jest warstwą podwójną, nazywamy potencjałem warstwy podwójnej z gęstością $\nu :S\rightarrow \mathbb{R}^{1}$.

Potencjały są ważnymi środkami dla konstruowania rozwiązań różnych problemów brzegowych dla równań liniowych z operatorem $\mathcal{A}:\mathcal{D}(\mathbb{R}^{n})\rightarrow \mathcal{D}^{\prime }(\mathbb{R}^{n})$.

Ponieważ splot funkcji uogólnionych nie zawsze istnieje, to jest ważnym wyjaśnienie tego problemu dla szczególnych klas operatorów różniczkowych $\mathcal{A}$.