Potencjał objętości dla równania
Laplace'a.

Niech $E(x,y)$, $x,y\in \Omega$, jest rozwiązaniem podstawowym dla równania Laplace'a. Wtedy potencjał objętości $\Omega \subset \mathbb{R}^{n}$

$$q(x)=\int\limits_{\Omega }E(x,y)\rho (y)dy E(x,y)=\frac{-1}{ \omega _{n-1}(n-2)\vert x-y\vert^{n-2}}$$ (11.5)

dla wszystkich $x\neq y\in \Omega$. Będziemy dalej stosować taką definicję całki osobliwej.

Definicja 11.6   Niech zadana jest całka

$$I(x):=\int\limits_{y\in \Omega }F(x,y)dy,$$ (11.6)

gdzie $F:\mathbb{R}^{n}\times \Omega \rightarrow \mathbb{R}$ jest funkcją ciągłą przy $\ y\neq x\in \Omega$ i ma osobliwość przy $\ y\neq x\in \Omega$. Wtedy całka (11.6) nazywa się jednostajnie zbieżną w punkcie $x^{\ast }\in \mathbb{R}^{n},$ jeśli dla każdego $\varepsilon >0$ istnieje takie $\delta (\varepsilon )>0$, że

$$\left\vert\, \int\limits_{O_{\delta (\varepsilon )}(x^{\ast })}F(x,y)dy\right\vert <\varepsilon$$ (11.7)

dla każdego otoczenia $O_{\delta (\varepsilon )}(x^{\ast })$ o promieniu $\delta (\varepsilon )>0$ i wszystkich
$x\in O_{\delta (\varepsilon )}(x^{\ast }).$ Zgodnie z tą definicją, całka (11.7) może być przedstawiona w postaci

$$I(x)=\int_{\Omega \backslash O_{\delta (\varepsilon )}(x^{\ast })}F(x,y)dy+\int_{O_{\delta (\varepsilon )}(x^{\ast })}F(x,y)dy$$ (11.8)

gdzie pierwsza całka w (11.8) jako funkcja od $x\in \mathbb{R}^{n}$ jest ciągła w $x^{\ast }\in \mathbb{R}^{n}$, a druga jest niesko ńczenie mała dla $\varepsilon \downarrow 0.$

Zachodzi takie twierdzenie, które podamy bez dowodu.

Twierdzenie 11.7   Całka (11.6) jest zbieżną jednostajnie w każdym punkcie $x^{\ast }\in \Omega$, gdy istnieje takie otoczenie $O_{\delta }(x^{\ast })$ punktu $x^{\ast }\in \Omega$ i stałe $C>0,$ $\alpha >0,$ że

$$\vert F(x,y)\vert\leq \frac{C}{\vert x-y\vert^{n-\alpha }}$$ (11.9)

dla wszystkich $x\neq y\in O_{\delta }(x^{\ast }).$

Na mocy twierdzenia 11.7 stwierdzamy prawdziość takich twierdzeń.

Twierdzenie 11.8   Jeżeli gęstość potencjału obj ętości (11.5) jest kawalkami ciągła i ograniczona w $\Omega ,$ to potencjał (11.5) jest określony i ciągle różniczkowalny w $\bar{\Omega}.$

Twierdzenie 11.9   Jeżeli gęstość potencjału (11.4) dla równania Laplace'a jest ograniczona i kawałkami cią gła na $S,$ to potencjał warstwy prostej (11.4) jest funkcją klasy $C(\mathbb{R}^{n}).$

Zapiszmy teraz potencjał warstwy podwójnej dla równania Laplace'a:

$$v(x)=\frac{1}{\omega _{n}}\int_{s}\nu (y)\frac{\cos \varphi _{xy}dS_{y}}{ \vert x-y\vert^{n-1}},$$ (11.10)

gdzie $x\neq y\in \mathbb{R}^{n}$ i $\varphi _{xy}$ jest kątem między kierunkiem od $x\in \mathbb{R}^{n}$ do $y\in S$ i wektorem normalnym $\vec{n}_{y}$ do $S$ w punkcie $y\in S.$ Rozważmy najpierw tzw. całkę Gauss'a

$$G_{s}(x)=\frac{1}{\omega _{n}}\int_{s}\frac{\cos \varphi _{xy}dS_{y}}{ \vert x-y\vert^{n-1}}$$ (11.11)

gdzie $x\in \mathbb{R}^{n}\vert S.$ Ponieważ wyrażenie $\frac{\cos \varphi _{xy}dS_{y}}{\vert x-y\vert^{n-1}}$ jest kątem bryłowym, pod którym jest widoczny element $dS_{y}$ powierzchni $S$ z punktu $x\in \mathbb{R}^{n}$ , to będziemy uważać, że ten kąt jest dodatni, gdy $\cos \varphi _{xy}>0$ i ujemnym gdy $\cos \varphi _{xy}<0.$ Wtedy, oczywiście, całka Gauss'a (11.11) równa się kątowi bryłowemu pod którym jest widoczna cała powierzhnia $S,$ podzielonemu na pełny kąt bry"lowy $\omega _{n}.$

Rys. 8

Jak widac z Rys.2 , zachodzi taka własność dla całki (11.11):

$$G_{s}(x)=\left\{ \begin{array}{ll} 1,&x\in \Omega ; \\ \frac{1}{2}&,x\in S; \\ 0,&x\notin \Omega \cap S. \end{array} \right.$$ (11.12)

Własność (11.12) zachodzi dla wszystkich powierzchni $S,$ które mają nazwę Lapunowskie.

Definicja 11.10   Powierzchnia $S\subset \mathbb{R}^{n}$ jest Lapunowską, gdy spełnione są nastepujące warunki:

i)

w każdym punkcie powierzchni $S$ istnieje plaszczyzna styczna;

ii)

dla każdego punktu powierzchni $S$ istnieje taka sfera ze środkiem w tym punkcie, że każda prosta, równoległa do tej powierzchni w środku sfery, przecina powierzchnię wewnątrz sfery tylko jeden raz;

iii)

kąt $\gamma (x,y)$ pomiędzy normalną w punktach $x$ i $y$ $\in S$, jest ciągły wg Hóldera na $\bar{S}$ :

$$\gamma (x,y)\leq c\vert x-y\vert^{\alpha }, 0<\alpha \leq 1.$$

Uwaga 11.11   Można udowodnić (S.Michlin), że wystarczą tylko warunki i) oraz ii), a warunek iii) będzie ich skutkiem.

Teraz można sformułować bez dowodu nastepujące twierdzenie.

Twierdzenie 11.12   Jeżeli gęstość potencjału warstwy podwójnej $\,\nu:\,S \rightarrow \mathbb{R}^{1}$ jest ograniczona i kawałkami ciągła, a $S$ jest powierzchnią lapunowa, to potencjał warstwy podwójnej (11.10) będzie funkcją ciągłą od $x\in \bar{S}$.

Ponieważ twierdzenie (11.11) mówi tylko o ciąglości potencjału warstwy podwójnej (11.10) na $\bar{S}$, to powstaje pytanie o jego ciągłość na zewnątrz $\bar{S}$ przy przejściu przez powierzchnię $S\subset \mathbb{R}^{n}$. Zachodzi takie twierdzenie.

Twierdzenie 11.13   Niech $\nu :$ $S\rightarrow \mathbb{R}$ jest ograniczona, kawalkami ciągła na $S$ oraz ciągła w punkcie $x_{0}\in S.$ Wtedy potencjał warstwy podwójnej (11.10) istnieje dla $x\in \mathbb{R}^{n},$ istnieją wartości graniczne $v_{+}(x_{0})$ oraz $\ v_{-}(x_{0}),$ równe $\underset{x\rightarrow x_{0}^{\pm }}{\lim } v(x)$. Oprócz tego prawdziwe są takie własności:

$$v_{+}(x_{0}) = v(x_{0})+\frac{1}{2}\nu (x_{0}),$$ (11.13)

$$v_{-}(x_{0}) = v(x_{0})-\frac{1}{2}\nu (x_{0}). \notag$$ (11.14)

Analogiczna własność zachodzi dla pochodnych potencjału warstwy prostej (11.4) dla równania Laplace'a w punkcie $x_{0}\in S.$ Mianowicie

$$(\frac{\partial u}{\partial \vec{n}})_{+}(x_{0}) = (\frac{\partial u}{\partial \vec{n}} )(\frac{x_{0}???)-1}{2\mu (x_{0}}),$$ (11.15)

$$(\frac{\partial u}{\partial \vec{n}})_{-}(x_{0}) = (\frac{\partial u}{\partial \vec{n}} )(x_{0})+\frac{1}{2}\mu (x_{0}), \notag$$ (11.16)

gdzie, z definicji

$$\underset{x\rightarrow x_{0}^{\pm }}{\lim }\big(\frac{\partial u... ...ial \vec{n}}\big)=\big(\frac{\partial u(x_{0})}{\partial \vec{n}}\big)_{\pm }.$$ (11.17)

Rozważmy teraz równanie Laplace'a w postaci

$$\bigtriangleup u=\rho (x),$$ (11.18)

gdzie $x\in \Omega ,$ $\rho :\Omega \rightarrow \mathbb{R}^{1}$ jest funkcją ograniczoną, kawałkami ciągłą oraz są zadane warunki brzegowe

$$u\big\vert _{s_{1}}=\mu \quad \frac{\partial u}{\partial n}\big\vert _{s_{2}}=\nu$$ (11.19)

gdzie $\mu :S_{1}\rightarrow \mathbb{R}$ i $\nu :S_{1}\rightarrow \mathbb{R }$ są też ograniczone i kawa"lkami ciągłe na $S_{1}\mathbb{\ }$i $\ S_{2}$, odpowiednio. Wtedy zachodzi takie twierdzenie.

Twierdzenie 11.14   Wyrażenie

$$u=E\ast \rho +E\ast \mu \delta _{s_{1}}+E\ast \nu \delta _{s_{2}}$$ (11.20)

spełnia równanie (11.16) oraz warunki brzegowe (11.17).

Zastosujemy teraz pojęcie potencjału dla równań typu parabolicznego. Rozważmy takie równanie paraboliczne:

$$\frac{\partial u}{\partial t}-a^{2}\bigtriangleup u=f, \quad t\in \mathbb{R}_{+}^{1},$$ (11.21)

którego rozwiązanie $u\in \mathcal{D}^{\prime }(\mathbb{R} ^{n}\times \mathbb{R}_{+})$ spełnia warunek brzegowy na powierzchni Lapunowa $S\subset \mathbb{R}^{n}$:

$$u\big\vert _{s}=\mu u\big\vert _{t=t_{0}}=\rho$$ (11.22)

i gdzie $\rho :\Omega \rightarrow \mathbb{R}^{1}$, $\mu :S\rightarrow\mathbb{R}^{1}$ są to funkcje ograniczone i kawałkami ciągłe, a $f:\mathbb{R}\times \mathbb{R}_{+}^{1}\rightarrow \mathbb{R}$ jest lokalnie całkowalną. Wtedy zachodzi takie twierdzenie.

Twierdzenie 11.15   Wyrażenie

$$u=E\ast \rho +E\ast (\rho \otimes \delta (t-t_{0}))+E\ast (\mu \delta _{s}\times \delta (t-t_{0})).$$ (11.23)

spełnia równanie przepływu ciepła (11.19) oraz warunki brzegowe (11.20).

$\lhd$ Dowód twierdzenia jest wprost, wykorzystując własności $E\in \mathcal{D}^{\prime }(\mathbb{\Omega }\times \mathbb{R} _{+}^{^{\prime }})$.$\rhd$ Rozpisując wyrażenie (11.21) w postaci jawnej przy $n=3$ znajdujemy, że

$$u(x,t) = \int_{t_{0}}^{t}\int_{\Omega }\frac{\rho (y,\tau )dyd\tau }{[2a \sqrt{\pi (t-\tau )}]^{n}}\exp (-\frac{\vert x-y\vert^{2}}{4a^{2}(t-\tau )}$$ (11.24)

$$+\frac{\vartheta (t-t_{0})}{(2a\sqrt{\pi (t-t_{0})})^{n}}\int_{\Omega }f(y)e^{-\frac{\vert x-y\vert^{2}}{4a^{2}(t-t_{0})}}dy \notag$$ (11.25)

$$+ \frac{\vartheta (t-t_{0})}{(2a\sqrt{\pi (t-t_{0})})^{n}}\int_{S}\mu (y)e^{-\frac{\vert x-y\vert^{2}}{4a^{2}(t-t_{0})}}dS_{y} \notag$$ (11.26)

dla wszystkich $(x,t)\in (\mathbb{\Omega }\times \mathbb{R}_{+}^{1}).$

Definicja 11.16   Wyrażenie (11.22) nosi nazwę potencjału cieplnego.

Rozważmy na koniec potencjały dla równań typu hiperbolicznego na przykład wyrażenie

$$u:=E\ast f \lim\limits_f=\mathbb{R}^{1}\times \mathbb{R}_{t_{0}}^{1}$$ (11.27)

gdzie $f:\mathbb{\Omega }\times \mathbb{R}_{t_{0}}^{1}\rightarrow \mathbb{R }^{1}$ jest lokalnie całkowalną funkcją, spełnia równanie

$$\frac{\partial ^{2}u}{\partial t^{2}}-a^{2}\bigtriangleup u=f,$$ (11.28)

jeśli $E:(\mathbb{R}^{n}\times \mathbb{R}^{n})\times (\mathbb{R}^{1}\times \mathbb{R}^{1})\rightarrow \mathbb{R}$ jest jego rozwiązaniem podstawowym. Założmy także, że rozwiązanie równania (11.24) spełnia takie warunki

$$u\big\vert _{t=t_{0}}=u_{1} \frac{\partial u}{\partial t}\big\vert _{t=t_{0}}=u_{0}$$ (11.29)

przy dowolnym $t_{0}\in \mathbb{R}^{1}.$ Wtedy rozwiązanie (11.24) będzie mieć postać

$$u=E\ast f+E\ast (u_{1}\times \delta (t-t_{0}))+E\ast (u_{0}\times \delta ^{\prime }(t-t_{0})),$$ (11.30)

lub w postaci jawnej przy $n=3$ i $(x,t)\in \mathbb{R}^{3}\times \mathbb{R}^{1}$

$$u(x,t) =\frac{1}{4\pi a^{2}}\underset{\vert x-\xi \vert<a(t-t_{0}... ...nt }\frac{ f(\xi ,t-t_{0}-\frac{\vert x-\xi \vert}{a})d\xi }{\vert x-\xi \vert}$$ (11.31)

$$+ \frac{\vartheta (t-t_{0})}{4\pi a^{2}(t-t_{0})}\underset{\vert y-x\vert=a(t-t_{0}) }{\int }u_{1}(y)dS_{y} \notag$$ (11.32)

$$+ \frac{\vartheta (t-t_{0})}{4\pi a^{2}}\frac{\partial }{\partial t}\frac{1 }{(t-t_{0})}\underset{\vert x-y\vert=a(t-t_{0})}{\int }u_{0}(y)dS_{y}.$$ (11.33)

Dla przypadku $n=2$ otrzymujemy w sposób analogiczny:

$$u(x,t) = \frac{1}{2\pi a}\underset{\vert x-\xi \vert<a(t-t_{0})}{\int }\fr... ...frac{\vert x-\xi \vert}{a})d\xi }{\sqrt{a^{2}(t-t_{0})^{2}-\vert x-y\vert^{2}}}$$ (11.34)

$$\notag$$ (11.35)

$$+ \frac{\vartheta (t-t_{0})}{2\pi a}\underset{\vert y-x\vert\leq a(... ...}{\int } \frac{u_{1}(y)dy}{\sqrt{a^{2}(t-t_{0})^{2}-\vert x-y\vert^{2}}} \notag$$ (11.36)

$$\notag$$ (11.37)

$$+ \frac{\vartheta (t-t_{0})}{2\pi a}\frac{\partial }{\partial t}\fr... ...}{\int }\frac{u_{0}(y)dy}{\sqrt{ a^{2}(t-t_{0})^{2}-\vert x-y\vert^{2}}} \notag$$ (11.38)

$$\notag$$ (11.39)

Dla przypadku $n=1$ wyrażenie (11.26) przyjmuje taką postać dla $(x,t)\in \mathbb{R}^{1}\times \mathbb{R}^{1}$:

$$u(x,t) = \frac{1}{2a}\underset{\vert x-\xi \vert\leq a(t-t_{0})}{\int }f(\xi ,t-t_{0}-\frac{\vert x-\xi \vert}{a})d\xi \text{ \ }$$ (11.40)

$$\notag$$ (11.41)

$$+ \frac{\vartheta(t-t_{0})}{2a}\underset{x-a(t-t_{0})}{\overset{ x+a(t-t_{0})}{\int }}u_{1}(y)dy\text{ \ \ } \notag$$ (11.42)

$$\notag$$ (11.43)

$$+ \frac{\vartheta (t-t_{0})}{2}[u_{0}(x+a(t-t_{0}))+u_{0}(x-a(t-t_{0}))]. \notag$$ (11.44)

$$\notag$$ (11.45)

Uwaga 11.17   Rozważmy problem brzegowy dla hipoeliptycznego operatora $\mathcal{A}:\mathcal{D}$ $(\Omega )\rightarrow \mathcal{D} ^{\prime }(\Omega ):$

$$\mathcal{A}u=f, \alpha _{s}(u)\big\vert _{\partial \Omega }=\varphi _{s} s=\overline{1,m_{\mathcal{A}}}$$ (11.46)

gdzie $\Omega \in \mathbb{R}^{n}$ jest to obszar w $\mathbb{R}^{n}$ i $\alpha _{s}:\mathcal{D}$ $(\Omega )\rightarrow \mathbb{R}^{1},$ $\overline{1,m_{ \mathcal{A}}}$, są to liniowe funkcjonały na $\mathcal{D}$ $(\Omega )$ i $f\in L_{1}^{loc}(\Omega ).$ Niech teraz funkcja $G^{\ast }:\Omega \times \Omega \rightarrow$ $\mathbb{R}^{1}$ spełnia równanie sprzężone do (11.31):

$$\mathcal{A}^{\ast }(y)G^{\ast }(y,x)=\delta (x,y), \alpha _{s}^{\ast }(G^{\ast })\vert _{y\in \partial \Omega }=0$$ (11.47)

z jednorodnymi warunkami brzegowymi. Wtedy na mocy tożsamości Green'a zachodzi takie wyrażenie dla rozwiązania (11.31):

$$u(x)=\underset{\Omega }{\int }f(y)G^{\ast }(x,y)dy-\underset{\pa... ...nderset{i=1}{\text{ }\overset{n}{\sum }}P_{i}(u;G^{\ast })\cos (n,y_{i})dS_{y}$$ (11.48)

gdzie $P_{i}:\mathcal{D}$ $(\Omega )\times \mathcal{D}$ $(\Omega )\rightarrow \mathbb{R}$, $i=\overline{1,n}$, są to wyrażenia różniczkowe względem $u\in \mathcal{D}$ $(\Omega )\mathcal{\ }$ nie wyższego rzędu niż $(m_{\mathcal{A}}-1).$ Ponieważ drugi człon wyrażenia (11.33) w rzeczywistości nie zawiera w sobie niewiadomych funkcji $(!)$, a różne pochodne od $u\in \mathcal{D}$ $(\Omega )$ są wyznaczone przy pomocy warunków brzegowych (11.31). Tak więc, wyrażenie (11.33) daje dokładne rozwiązanie równania (11.31), gdy wiadoma jest jego sprzężona funkcja $G^{\ast }:\Omega \times \Omega \rightarrow \mathbb{R}^{1}$, która nosi nazwę funkcji Green'a. To znaczy, że funkcja Green'a $G^{\ast }:\Omega \times \Omega \rightarrow \mathbb{R}^{1}$ dla problemu (11.31) jest szczególnym rozwiązaniem podstawowym problemu sprzężonego (11.32). Metoda odzyskania rozwiązania problemu (11.31) ma odpowiednią nazwę metody funkcji Green'a.