Transformacja Fourier'a dystrybucji.
Równość Parsewala.

Nech $f\in L_{1}(\mathbb{R}^{n});$ wówczas mamy definicję jej transformacji Fourier'a

$$F\cdot f:=\hat{f}(\xi ):=\frac{1}{(2\pi )^{\frac{n}{2}}}\int_{\mathbb{R}^{n}}f(x)\exp (-i<x,\xi >)dx.$$ (1.26)

Odwrotna transformacja Fourier'a ma postać:

$$f(x)=\frac{1}{(2\pi )^{\frac{n}{2}}}\int_{\mathbb{R}^{n}}\hat{f}(x)\exp i<x,\xi >d\xi .$$ (1.27)

Gdy element $u\in \varepsilon ^{\prime }(\mathbb{R}^{n}),$ całka (1.24) nie jest zdefiniowana, przez co rozważmy następującą tożsamość Parsewale'a dla $f\in L_{1}(\mathbb{R}^{n}),\,\varphi \in \varepsilon (\mathbb{R}^{n}):$

$$(\hat{f},\varphi ) = \int_{\mathbb{R}^{n}}\hat{f}(\xi )\varphi (\xi )d\xi$$ (1.28)

$$= \int_{\mathbb{R}^{n}}\varphi (\xi )d\xi \{\frac{1}{(2\pi )^{\frac{n}{2}}}\int_{ \mathbb{R}^{n}}e^{-i<x,\xi >}f(x)dx\}=\text{Tw. Fubinie'go} \notag$$ (1.29)

$$= \int_{\mathbb{R}^{n}}f(x)dx\frac{1}{(2\pi )^{\frac{n}{2}}}\int_{\mathbb{R}^{n}}\varphi (\xi )e^{-i<x,\xi >}d\xi \}=(f,\hat{\varphi}). \notag$$ (1.30)

Tożsamość (1.26) bierzemy za definicję transformacji Fourier'a elementu $u\in \varepsilon ^{\prime }(\mathbb{R}^{n}):$

$$(\hat{u},\varphi ):=(u,\hat{\varphi})$$ (1.31)

dla wszystkich $\varphi \in \varepsilon (\mathbb{R}^{n})$ gdy $\hat{\varphi}\in \varepsilon (\mathbb{R}^{n}).$ Jeżeli $u\notin \varepsilon ^{\prime }(\mathbb{R}^{n}),$ a na przykład $u\in \mathcal{J}^{\prime }\mathcal{(}\mathbb{R}^{n}),$ to definicja (1.27) jest prawdziwa, ponieważ dla $\varphi \in \mathcal{J(}\mathbb{R}^{n})$ również $\hat{\varphi}\in \mathcal{J(}\mathbb{R}^{n})$. Na mocy tego że $F\,:\mathcal{J(}\mathbb{R}^{n})\rightleftarrows \mathcal{J(}\mathbb{R}^{n})$ i jest odwzorowaniem ciągłym, otrzymujemy wniosek.

Wniosek 1.13   $F\,:\mathcal{J}^{\prime }\mathcal{(}\mathbb{R} ^{n})\rightleftarrows \mathcal{J}^{\prime }\mathcal{(}\mathbb{R}^{n})$ wzajemnie jednoznacznie.

Lemat 1.14   Niech $u\in \varepsilon ^{\prime }(\mathbb{R}^{n}).$ Wtedy

$$(D^{\alpha }\hat{u}):=F(D^{\alpha }u)=(i\xi )^{\alpha }F(u)=(i\xi )^{\alpha }\hat{u}.$$ (1.32)

Niech teraz $f\in L_{2}(\mathbb{R}^{n}).$ Oczywiście że na mocy twierdzenia Schwartza-Cauchy'ego całka

$$\int_{\mathbb{R}^{n}}f(x)\varphi (x)dx<\infty$$

istnieje i ciągle zależy od $\varphi \in \mathcal{J(}\mathbb{R} ^{n}).$ Stosując wzór (1.27)

$$(\hat{f},\varphi )=(f,\hat{\varphi})$$ (1.33)

dla $\varphi \in \mathcal{J(}\mathbb{R} ^{n}).$ Z (1.29) wnioskujemy że transformacja Fouriera $\hat{f}$ elementu $f\in L_{2}(\mathbb{R}^{n})\subset\mathcal{J}^{\prime}\mathcal{(}\mathbb{R}^{n})$ jako dystrybucji należy też do $L_{2}(\mathbb{R}^{n})$, tj.

$$\hat{f}\in L_{2}(\mathbb{R}^{n}),$$ oraz $$\Vert f\Vert _{L_{2}(\mathbb{R}^{n})}=\Vert \hat{f}\Vert_{L_{2}(\mathbb{R}^{n})}.$$

Ten sam wniosek otrzymujemy bazując na następującym lemacie:

Lemat 1.15   Przestrzeń $\mathcal{J(}\mathbb{R}^{n})$ jest gęstą w $L_{2}(\mathbb{R}^{n});$ tj. $\mathcal{J}{(\mathbb{R} )}^{n}=L_{2}(\mathbb{R}^{n}).$ (w normie $L_{2}(\mathbb{R}^{n})).$

$\lhd$ Dowód. Niech $f\in L_{2}(\mathbb{R}^{n}).$ Wtedy istnieje zbiór $\Omega _{\varepsilon }\subset \mathbb{R}^{n}$ dla $\forall$ $\varepsilon >0$ taki że

$$\Vert f-f_{\varepsilon }\Vert _{2}<\varepsilon ,$$ gdzie $$f_{\varepsilon }:=\left\{ \begin{array}{cc} f, & x\in \Om... ... & x\in \mathbb{R}^{n}\backslash \Omega \end{array} \right.$$

Oczywiście $f_{\varepsilon }\in L_{2}(\mathbb{R}^{n})$ i $f_{\varepsilon }\rightarrow f$ gdy $\varepsilon \rightarrow 0.$ Weźmy teraz funkcję ,,czapeczkę'' $\omega _{\delta }\in C_{0}^{\infty }(\mathbb{R}^{n}),$ i utworzymy funkcję

$$j_{\delta }f:=\int_{\mathbb{R}^{n}}\omega _{\delta }(x-y)f(y)dy,\quad \int_{\mathbb{R}^{n}}\omega _{\delta }(x)dx=1.$$

która istnieje dla wszystkich $\delta >0.$ Mamy też że $j_{\delta }f_{\varepsilon } \in C_{0}^{\infty }(\mathbb{R}^{n}),$ dla każdego $\delta >0,$ oraz na mocy równości Parsewala ${\Vert j_{\delta }f_{\varepsilon }\Vert} _{2}\leq {\Vert f_{\varepsilon }\Vert} _{2}\leq {\Vert f\Vert} _{2}.$ Stąd mamy: ${\Vert j_{\delta }f_{\varepsilon }-j_{\delta }f\Vert} _{2}<\varepsilon$ dla zadanych $\varepsilon ,\delta >0,$ tj.

$$\begin{tabular}{l} ${\Vert f-j_{\delta }f\Vert} _{2}={\Vert f-f_... ... \varepsilon +\varepsilon +\varepsilon =3\varepsilon \,\rhd $ \end{tabular}$$

WNIOSKI SCHWARZA.

a)

Dystrybucja $f:\,\mathcal{J(}\mathbb{R}^{n})\rightarrow \mathbb{R}^{1}$ będzie umiarkowanie rosnąca wtedy i tylko wtedy, kiedy jej aproksymacja $j_{\delta }f:=\int_{\mathbb{R}^{n}}\omega _{\delta }(x-y)f(y)dy,$ jest funkcją umiarkowanego wzrostu przy każdym $\delta >0.$

b)

Dystrybucja $f:\,\mathcal{J(}\mathbb{R}^{n})\rightarrow \mathbb{R}^{1}$ będzie umiarkowanie rosnąca wtedy i tylko wtedy, kiedy jest ona (uogólnioną) pochodną pewnej ciągłej funkcji umiarkowanego wzrostu.