Problem na wartości własne

Załóżmy, że obszar $D \subset \mathbb{R}^{n}$ jest ograniczony, a jego granica $\partial D$ jest kawałkami ciągła. Rozważmy następujący problem brzegowy dla równania eliptycznego typu:

$$- div (p \, grad \, f) + qf = \lambda f, \qquad x \in D,$$ (12.1)

$$\alpha \,f + \beta \frac{\partial f}{\partial n} \Big\vert _{\par... ...alpha \,f + \beta \, \frac{\partial f}{\partial n} \Big\vert}_{\partial D} =0,$$ (12.2)

gdzie

$$p \in C^{1}(\bar{D}),\quad q \in C(\bar{D}),\quad p(x)>0, \quad q(x)\geq 0.$$ (12.3)

dla $x \in \bar{D}; \, \alpha \in C(\partial D),\, \beta \in C(\partial D), \, \alpha(x) \geq 0, \, \beta(x) \geq 0,\,$ $\alpha(x)+ \beta(x) \neq 0,$ $\,x\in D.$ Niech $\partial D_{+} \subset \partial D$ jest podzbiór $\partial D$ gdzie $\alpha(x)>0, \, \beta(x)>0, \,$ $x \in \partial D_{+}$ jednostajnie. Problem (12.1) - (12.3) polega w znalezieniu funkcji $f=f(x)$ klasy $C^{2}(D) \cap C^{1}(\bar{D}):=Dom(L)$ Wyrażenie (12.1) definiuje operator

$$L:= -div (p \, grad) + g,$$ (12.4)

dla którego (12.1) jest problemem dla wartości własnych: $Lf=\lambda f,$ gdzie $\lambda \in \mathbb{R}$, oraz połóżmy że $L \,f \in L_{2}(D)$, co równoważne oczywiście $f \in L_{2}(D) \cap Dom(L)$. $Dom (L)=C^{2}(D) \cap C^{1}(\bar{D})$ jest dziedziną operatora $L$.