Wzory Green'a.

Jeśli $f \in C^{2}(D) \cap C^{1}(\bar{D})$ i $v \in C^{1}(\bar{D})$, to jest prawdziwy pierwszy wzór Green'a:

$$\int_{D}fLg \mathrm{d}x=\int_{D}p \, \langle grad \, f, grad \, p \rangle \mathrm{d}x -$$

$$\int_{\partial D}p \, g \frac{\partial f}{\partial n} \mathrm{d}S + \int_{D}qfg \, \mathrm{d}x, \quad(n \perp \partial D).$$ (12.5)

Niech $D' \subset D$ jest dowolny obszar wewnątrz $D$ z brzegiem $\partial D'$ też kawałkami gładkim. Wtedy oczywiście z warunku $f \in C^{2}(D)$ wynika, że $f \in C^{2}(D')$, tak więc całka

$$\int_{D'}gLf \, \mathrm{d}x= \int_{D'}g \big[-div (p \, grad\, f)+qf \big] \mathrm{d}x=$$

$$=-\int_{D'}div(p\, g \,grad \,f) \mathrm{d}x + \int_{D'}p \langle grad\, f, grad\, g \rangle \mathrm{d}x+ \int_{D'}qfg \mathrm{d}x.$$

Stosując teraz wyrażenie Gauss'a-Ostrogradskiego, otrzymujemy:

$$\int_{D'}gLf \, \mathrm{d}x= \int_{D'}p \langle grad\, f, grad\, ... ..._{D'}pg\frac{\partial f}{\partial n}\mathrm{d}S' + \int_{D'}qfg \mathrm{d}x.$$

Biorąc teraz granice, gdy $D' \rightarrow D$ i korzystając z tego, że $f,g \in C^{1}(\bar{D})$, znajdujemy że granica $\lim_{D' \to D} \int_{D'}gLf \mathrm{d}x$ istnieje i zachodzi równość (12.5). Niech teraz $f,g \in C^{2}(D)\cap C^{1}(\bar{D})$ wtedy prawdziwy jest drugi wzór Green'a:

$$\int_{D}\big(gLf -fLg \big) \mathrm{d}x= \int_{\partial D}p \, \b... ...ac{\partial g}{\partial n} -g \frac{\partial f}{\partial n} \big) \mathrm{d}S.$$ (12.6)

Dowód jest na mocy wzoru (12.5) przy $u\rightleftharpoons v$ i dalszego ich odejmowania.