Różniczkowe operatory w ramach teorii dystrybucji.

Niech iperator liniowy $T: \, \mathcal{H} \rightarrow \mathcal{H}$ ma dziedzinę $D(T), \, \overline{D(T)}=\mathcal{H}$, gdzie $\mathcal{H}$ jest przestrzenią Hilberta.

Definicja 14.1   Operator $T: \, \mathcal{H} \rightarrow \mathcal{H}$ nazywa się symetrycznym gdy dla dowolnych $f,g \in D(T)$ zachodzi:

$$(f,Tg)=(Tf,g)$$ (14.1)

Zdefiniujemy teraz operator sprzężont do operatora $T: \, \mathcal{H} \rightarrow \mathcal{H}$. Niech $f \in D(T)$ i $g \in \mathcal{H}$ jest taki element, że iloczyn skalarny

$$(Tf,g):=\xi_{g}(f)$$ (14.2)

definiuje dla wszystkich $f \in D(T)$ ograniczony funkcjonał liniowy

$$\xi_{g}: \, D(T) \rightarrow \mathbb{R}$$ (14.3)

to znaczy $\Vert\xi_{g}\Vert < \infty$. Wtedy ten funkcjonał (14.2) może być przedłużony na całość $\overline{D(T)}=\mathcal{H}$, co daje możliwość zastosowania Tw. Riesz'a do funkcjonału (14.2). Mianowicie, istnieje wtedy takie element $g_{T} \in \mathcal{H}$, który spełnia równość

$$\xi_{g}(f)=(f,g_{T})$$ (14.4)

dla wszystkich $f \in D(T)$. Z drugiej strony na mocy (14.4) można zdefiniować dla takich $g \in \mathcal{H}$ odwzorowanie $T^{*}: \, \mathcal{H} \rightarrow \mathcal{H}$, że

$$T^{*}: \, g \rightarrow g_{T}$$ (14.5)

które jest oczywiście liniowym. Ten zbiór elementów $g \in \mathcal{H}$ dla których zachodzi (14.5) nazwiemy dziedziną $D(T^{*})$, a sam operator (14.5) sprzężonym do operatora $T: \, \mathcal{H} \rightarrow \mathcal{H}$. Na ogół dziedzina $D(T^{*})$ może być domknięta w $\mathcal{H}$.

Lemat 14.2   Niech $\overline{D(T^{*})}= \mathcal{H}$; wtedy operator $T^{**}: \, \mathcal{H} \rightarrow \mathcal{H}$ istnieje i zachodzi własność:

$$T^{**} \supseteq T, \quad D(T) \subseteq D(T^{**}).$$

Dowód jest wprost jako ćwiczenie.

Niech teraz operator $T: \, \mathcal{H} \rightarrow \mathcal{H}$ nazywa się samosprzężonym, gdy $T=T^{*},$ $\; D(T)=D(T^{*})$.

Ponieważ na ogół $D(T)\subseteq D(T^{*})$ dla operatora symetrycznego ma sens pojęcie roszerzenia samosprzężonego operatora symetrycznego.

Definicja 14.3   Niech $T: \, \mathcal{H} \rightarrow \mathcal{H}$ oraz $\forall x_{n} \to a, \, n \to \infty$ i $Tx_{n} \to b, \,$ $n \to \infty$ w $\mathcal{H}$, gdzie $x_{n} \in D(T), \, n \in \mathbb{Z}_{+}$. Jeśli wówczas zachodzi $a \in D(T)$ i $Ta=b$ to operator $T: \, \mathcal{H} \rightarrow \mathcal{H}$ nazywa się domnkniętym.

Jest oczywistym że operator $T^{*}: \, \mathcal{H} \rightarrow \mathcal{H}$ jest zawsze domniętym. Jeśli operator $T: \, \mathcal{H} \rightarrow \mathcal{H}$ jest symetrycznym, jest możliwość odzyskania jego rozszerzeń samosprzężonych. Takich rozszerzń może być dużo, gdyż istnieje dla symetrzycznego operatora $T: \, \mathcal{H} \rightarrow \mathcal{H}$ tylko jedno rozszerzenie symetryczne, ono nazywa się rozszerzeniem właściwym.
Zbadamy kilka operatorów symetrycznych w przestrzeni Hilberta $\mathcal{H}:=L_{2}(a,b),\,$ $(a,b)\subset \mathbb{R}^1$.
Niech

$$D(T):=\{f \in L_{2}(a,b): \, f' \in L_{2}(a,b), \, f(a)=0=f(b)\}$$ (14.6)

gdzie dla każdego $f \in D(T)$

$$Tf:=- i f',$$ (14.7)

i funkcja $f' \in L_{2}(a,b)$ jest rozumiana jako pochodna w sensie teorii dystrybucji dla każedgo $\varphi \in D_{0}(a,b)$

$$f'(\varphi):=-(f,\varphi')$$ (14.8)

Jest oczywistym, że operator (14.7) jest symetrycznym: dla $f,g \in D(T)$

$$(f,Tg)=(Tf,g)$$ (14.9)

Znajdujemy teraz sprzężony operator $T^{*}, \mathcal{H} \rightarrow \mathcal{H}$ do (14.7). Niech
$\varphi \in \mathcal{D}(a,b)\equiv C_{0}^{\infty}(a,b)$ i obliczamy wyrażenie (14.2) przy $g:=\varphi$:

$$\xi_{\varphi}(f):=(-i f',\varphi):=i \bar{f}(\varphi)=-i \bar{f}(\varphi') \Rightarrow (f,T\varphi)$$ (14.10)

dla wszystkich $f \in D(T)$. Jest oczywistym, że (14.10) jest ograniczonym funkcjinałem dla każdego $\varphi \in \mathcal{D}(a,b)$, tj. istnieje operator sprzężony
$T^{*}: \, \mathcal{D}(a,b) \rightarrow \mathcal{H}$, taki że

$$T^{*}\varphi := T \varphi$$ (14.11)

dla wszystkich $\varphi \in \mathcal{D}(a,b)$. Tak więc, na podstawie (14.11) i wzięcia domknięcia przestrzeni $\overline{\mathcal{D}(a,b)}=L_{2}(a,b)$, wnioskujemy że

$$D(T^{*})=\{ g \in L_{2}(a,b): \, g'\in L_{2}(a,b)\},$$ (14.12)

gdzie, dzięki (14.11)

$$T^{*}g:=-i g'$$ (14.13)

dla wszystkich $g \in D(T^{*})$.

Ponieważ $D(T^{*}) \supset D(T)$, wnioskujemy także że operator różniczkowania (14.7) nie jest samosprzężony w $\mathcal{H}=L_{2}(a,b)$.

Zadania ćwiczeń:

a)

$$D(T_{1})=\{f \in L_{2}(a,b): \, f' \in L_{2}(a,b) , \, f(a)=0\}, \quad T_{1}f=-i f',$$ (14.14)

wtedy

$$D(T_{1}^{*})=\{g \in L_{2}(a,b): \, g' \in L_{2}(a,b) , \, g(b)=0\}, \quad T_{1}^{*}g=-i g';$$ (14.15)

b)

$$D(T_{s})=\{f \in L_{2}(a,b): \, f' \in L_{2}(a,b) , \, f(a)=f(b)\}, \quad T_{s}f=-i f',$$ (14.16)

wtedy

$$D(T_{s}^{*})=D(T_{s}), \quad T_{s}g =-i g'$$ (14.17)

dla $g \in D(T_{s}^{*})=D(T_{s})$, tj. operator $T_{s}: \, L_{2}(a,b) \rightarrow L_{2}(a,b)$ jest samosprzężonym na $L_{2}(a,b)$.

Rozważmy teraz operator Schturm'a-Liouville'a z jednym punktem osobliwym przy $x = \infty$:

$$D(T):=\{f \in \mathcal{H}: \, -f'' + q(x)f \in \mathcal{H}, \quad f(0)\}$$ (14.18)

gdzie $\mathcal{H}:=L_{2}(0, \infty):=L_{2}(\mathbb{R}_{+})$, oraz dla $f \in D(T)$

$$Tj:=-f''+ q(x)f.$$ (14.19)

Funkcja $q:\mathbb{R}_{+} \rightarrow \mathbb{R}_{+}$ jest wybrana tutaj ciągłą i nieujemną, tj. $q \in C( \mathbb{R}_{+}; \mathbb{R}_{+})$.

Naszym zadaniem będzie odzyskanie operatora sprzężonego do (14.19). Dość prosto sprawdzić że operator (14.19) jest symetrycznym, tj.

$$(Tf,g)=(f,Tg)$$ (14.20)

dla wszystkich $f,g \in \mathcal{D}(T)$.

Zbadamy własności operatora (14.19) na przestrzeni $\mathcal{H}_{b}:=L_{2}(0,b)$. Ponieważ $f,Tf \in \mathcal{H}_{b}$ dla każdego $b \in \mathbb{R}_{+}$, oraz $qf \in \mathcal{H}_{b}$, to $f'' \in \mathcal{H}_{b}$ także dla każdego $b \in \mathbb{R}_{+}$. Z tego wynika, że funkcje $f$ oraz $f'$ są ciągłe na półosi $\mathbb{R}_{+}$, tj. $f,f' \in C(\mathbb{R}_{+})$. Warunek brzegowy $f(0)=0$ jest oczywiście ważny, ponieważ $f \in L_{2}(\mathbb{R}_{+})$.

POnieważ $f'' \in \mathcal{H}_{b}, \, b \in \mathcal{R}_{+}$, całkowaniem przez części znajdujemy:

$$(f,-f''+qf):= \int_{\mathbb{R}_{+}}\bar{f}(x)\big[ -f''(x)+ q(x)f(x)\big] \mathrm{d}x=$$ (14.21)

$$\lim_{b \to \infty}\int_{0}^{b}\bar{f}(x)\big[ -f''(x)+ q(x)f(x)\big] \mathrm{d}x=$$

$$\lim_{b \to \infty}\Big\{ - \bar{f}(x)f'(x) \big\vert _{0}^{b} + ... ...g( {\vert f'(x)\vert}^{2} + q(x){\vert f(x)\vert}^{2}\big) \mathrm{d}x \Big \}=$$

$$\lim_{b \to \infty}\Big\{ - \bar{f}(b)f'(b) + \int_{0}^{b}\big( {\vert f'(x)\vert}^{2} + q(x){\vert f(x)\vert}^{2}\big) \mathrm{d}x \Big \}$$

Ostatnia całka w (14.21) może dążyć przy $b \to \infty$ do liczby dodatniej lub nieskończoności. W drugim przypadku, oczywiście $Re \bar{f}f'(b) \to + \infty$, co powoduje do $\frac{\mathrm{d}{\vert f\vert}{2}}{\mathrm{d}x} \to \infty$, co przeczy cakowalności z kwadratem funkcji $f \in L_{2}(\mathbb{R}_{+})$. Tak więc, z (14.21) otrzymujemy, że $f' \in L_{2}(\mathbb{R}_{+})$ oraz $\sqrt{q}f \in L_{2}(\mathbb{R}_{+})$.

Przejdziemy teraz do znalezienia $D(T^{*}) \subset \mathcal{H}$ dla symetrycznego operatora $T^{*} \supset T$. Jak wyżej, niech $\varphi \in \mathcal{D}(\mathbb{R}_{+})=C_{0}^{\infty}(\mathbb{R}_{+})$ i rozważmy następne wyrażenie dla $f \in D(T)$:

$$\xi_{g}(f):=(Tf)(\varphi):=(f, -\varphi'' + q \varphi) \Rightarrow (f,\varphi_{T})$$ (14.22)

gdzie oczywiście funkcjonał (14.22) jest ograniczony na $D(T)$. Wtedy można zdefiniować operator sprzężony $T^{*}: \, \mathcal{H} \rightarrow \mathcal{H}$ jako

$$T^{*}\varphi= \varphi_{T}:= -\varphi'' + q \varphi$$ (14.23)

dla wszystkich $\varphi \in \mathcal{D}(\mathbb{R}_{+})$. Niech teraz $g \in D(T)$ tj. na mocy (14.23)

$$T^{*}g= -g'' + q g$$ (14.24)

Z (14.24) analogicznie do (14.21) zachodzi że $g' \in \mathcal{H}, \quad \sqrt{q}g \in \mathcal{H}$. Teraz dla każdego $f \in D(T)$ oraz $q \in D(T^{*})$ znajdujemy że

$$(f, -\varphi'' + q \varphi) = \lim_{b \to \infty}\Big[ -\bar{f'}g \big\vert _{0}^{b} + \int_{0}^{b}(\bar{f'}g'+ q \bar{f}g) \mathrm{d}x \Big]$$ (14.25)

Całka w (14.25) jest skończona, ponieważ $f',g',\sqrt{q}f$ oraz $\sqrt{q}g \in \mathcal{H}$. Wobec granicy $\lim_{b \to \infty}\big[ \bar{f'(0)}g(0)-\bar{f'(b)}g(b) \big]=0$ można przewidzieć że granica $\lim_{b \to \infty }\bar{f}(b)g(b)=0$, ponieważ całka $\int_{\mathbb{R}_{+}}f'(x)g(x) \mathrm{d}x < \infty$. Całkując (14.25) przez części, otrzymujemy teraz wyrażenie

$$(-f'' +qf,g)=\bar{f'}(0)g(0)+ \lim_{b \to \infty}\Big[ \bar{f}g' \big\vert _{0}^{b}+ \int_{0}^{b}\bar{f}(-g''+qg)\mathrm{d}x \Big]$$ (14.26)

Na mocy (14.24) całka (14.26) istnieje, tj. istnieje granica $\lim_{b \to \infty}\bar{f}(b)g'(b)=0$, ponieważ $\bar{f}g' \in \mathcal{H}$. Tak więc, z warunku $f(0)=0$ otrzymujemy z (14.26) że

$$(-f'' +qf,g)=\bar{f'}(0)g(0)+ (f,-g''+qg)$$ (14.27)

Ponieważ $(Tf,g)=(f,T^{*}g)$ na mocy definicji operatora sprzężonego $T^{*} \supset T$, z (14.27) otrzymujemy że $\bar{f'}(0)g(0)=0$, tj. $g(0)=0$. Stąd widzimy że $D(T^{*})= \{g \in \mathcal{H}: \, T^{*}g \in \mathcal{H}, \, g(0)=0 \}$, tj, $D(T^{*})=D(T)$ z czego wnioskujemy, że operator $T^{**} \supset T$, tj, jest samosprzężony.
Wniosek W przypadku gdy

$$D(T)=\{ f \in \mathcal{H}: \, Tf \in =\mathcal{H} =L_{2}(\mathbb{R}) \}$$ (14.28)

operator liniowy

$$Tf: =- f''+qf$$ (14.29)

na całej osi $\mathbb{R}$ będzi też samosprzężony bez żadnego warunku brzegowego, tj. $T^{*}=T$.
Dowód jako ćwiczenie.

Jak juz mówiliśmy wcześniej, są operatory domknięte na $D(T) \subset \mathcal{H}$. W przypadku gdy operator nie jest domknięty on może mieć domknięte rozszerzenie $T' \supset T$ z dziedziną $D(T') \supset D(T)$. W przypadku gdy takie domknięte rozszerzenie ma $T' \supset T$ ma najmniejszą dziedzinę $D(T')$ z możliwych, to operator $T' \supset T$ nazywamy domknięciem operatora $T: \, \mathcal{H} \rightarrow \mathcal{H}$.

Z samej definicji zachodzi, że operator $T: \, \mathcal{H} \rightarrow \mathcal{H}$ ma domknięcie wtedy i tylko wtedy kiedy zachodzi taka własność: jeśli dla każdego ciągu
$D(T) \ni f_{n} \to 0, \quad n \to \infty$ istnieje granica $Tf_{n} \rightarrow g, \quad n \to \infty$ to $g=0$. Tak więc $D(T')=D(T) \cup \{f \in \overline{D(T)}: \, \forall f_{n} \in D(T), n \in \mathbb{Z}_{+}, \textrm{ że } \lim_{n \to \infty}f_{n}=f$ oraz $\lim_{n \to \infty} Tf_{n} \rightarrow g, \quad Tf:=g \}$.