Problem spektralny dla operatora
Sturma'a-Liouville'a na całej osi.

Rozważmy jednowymiarowy operator Sturm'a-Liouville'a

$$L:=-\frac{{\mathrm{d}}^{2}}{\mathrm{d}x^{2}}+ u(x)$$ (14.30)

na całej osi $x \in \mathbb{R}$, gdzie funkcja $u \in \mathcal{S} (\mathbb{R};\mathbb{R})$ jest rzeczywista, gładka i dążąca do zera przy $\vert x\vert \to \infty$ wystarczająco szybko. Problem spektralny stawimy w przestrzeni $L_{2}(\mathbb{R};C)$

$$Lf=\lambda f, \quad f \in L_{2}(\mathbb{R};C)$$ (14.31)

z parametrem spektralnym $\lambda \in C$. Załóżmy także, że potencjał $u \in(\mathbb{R};\mathbb{R})$ spełnia warunek

$$\int_{\mathbb{R}}\vert u(x)\vert\big( 1+\vert x\vert \big) \mathrm{d}x < \infty$$ (14.32)

Dziedziną operatora $L$ będzie przestrzeń Sobolewa

$$Dom(L)=W_{2}^{1}(\mathbb{R};C) \cap \big\{ f \in L_{2}(\mathbb{R};C): \, Lf \in L_{2}(\mathbb{R};C) \big\}$$ (14.33)

Podobnie jak wyżej sprawdzamy, że operator $L: \, L_{2}(\mathbb{R},C) \rightarrow L_{2}(\mathbb{R},C)$ jest hermitowy i samosprzężony, tj. $L^{*}=L$. To znaczy, że widmo $Spec(L)$ jest rzeczywiste.
Zbadamy teraz własności widma $Spec L:=\sigma(L)$, stosując metodę funkcjij Green'a. W tym celu zapiszmy nasze równanie (14.31) na widmo $\sigma(L)$ przy $\lambda={\mu}^{2} \in \mathbb{R}$ w takiej postaci:

$$- \frac{{\mathrm{d}}^{2}\varphi}{\mathrm{d}x^{2}}- \mu^2 \varphi =-u(x)\varphi$$ (14.34)

gdzie $\varphi \in B(\mathbb{R};C)$ jest ograniczona na osi $\mathbb{R}$, i spełnia takie warunki brzegowe przy $x \to -\infty$:

$${\varphi \big\vert}_{x \to -\infty} \Rightarrow \exp(-i\mu x), \quad {\varphi' \big\vert}_{x \to -\infty} \Rightarrow -i \mu \exp(-i\mu x,)$$ (14.35)

Niech $G(x,y;\mu)$ jest funkcją Green'a dla (14.34)-(14.35). Wtedy dla
rozwiązania $\varphi \in B(\mathbb{R};C)$ mamy wyrażenie

$$\varphi(x;\mu)=e^{-i\mu x}-\int_{\mathbb{R}}G(x,y;\mu)u(y) \varphi(y;\mu) \mathrm{d}y$$ (14.36)

gdzie z definicji $G\in B(\mathbb{R};C)$ oraz

$$\Big( - \frac{{\mathrm{d}}^2}{\mathrm{d}x^2} - \mu^2 \Big)G(x,y;\mu)=\delta(x-y)$$ (14.37)

dla $x,y \in \mathbb{R}$. Z warunków brzegowych (14.35) otrzymujemy dodatkowo, że

$$\lim_{y \to - \infty}G(x,y;\mu)=0.$$ (14.38)

Wszystkie powyżej dane dają jednoznaczne rozwiązanie dla równania (14.37)

$$G(x,y;\mu)= \left\{ \begin{array}{ll} \frac{\sin\mu(y-x)}{\mu}, & x>y\\ 0, & x<y. \end{array} \right.$$ (14.39)

Tak więc znajdujemy z (14.36) i (14.39), że

$$\varphi(x; \mu)=\exp(-i \mu x) - \int_{-\infty}^{x}\frac{\sin \mu(y-x)u(y)\varphi(y;\mu)}{\mu} \mathrm{d}y.$$ (14.40)

W sposób całkiem analogiczny znajdujemy, że równanie

$$-\frac{\mathrm{d}^2 \psi}{\mathrm{d}x^2}- \mu^2\psi= - u(x)\psi$$ (14.41)

gdzie $\psi \in B(\mathbb{R};C), \, \mu^2 \in \mathbb{R}$, oraz

$${\psi \big\vert}_{x \to +\infty} \Rightarrow \exp(-i\mu x), \quad {\psi' \big\vert}_{x \to +\infty} \Rightarrow -i \mu \exp(-i\mu x,)$$ (14.42)

ma takie rozwiązanie:

$$\psi(x; \mu)=\exp(-i \mu x) - \int_{x}^{\infty}\frac{\sin \mu(y-x)u(y)\varphi(y;\mu)}{\mu} \mathrm{d}y.$$ (14.43)

Wyrażenie (14.43) spełnia oczywiście warunki brzegowe (14.42).

Zauważmy teraz, że pary funkcji $\psi(x;\mu)$ i $\bar{\psi}(x;\mu)$ oraz $\varphi(x;\mu)$ i $\bar{\varphi}(x;\mu)$ są liniowo niezależnymi bazami rozwiązań równania (14.31). To znaczy, że istnieje liniowa zależność

$$\varphi(x;\mu)=a(\mu)\psi(x; \mu)+b(\mu)\bar{\psi}(x; \mu),$$ (14.44)

gdzi $a(\mu),b(\mu)$ są (niezależne od $x \in \mathbb{R}$) funkcjami zależnymi od $\mu \in \mathbb{R}$. Ponieważ wyznacznik Wrońskiego $w(\varphi,\bar{\varphi})=w(\psi,\bar{\psi})=2i \mu =const$, z (14.44) wyprowadzamy, że

$${\vert a(\mu)\vert}^2-{\vert b(\mu)\vert}^2=1,$$ (14.45)

Zauważmy teraz ,że funkcja $a(\mu)=\frac{w(\varphi,\bar{\psi})}{2 i \mu}$ jako funkcja od $\mu \in C$ jest analityczna w górnej części $C_{+}$ płaszczyzny zespolonej $C$. Niech $\mu_{j} \in i \mathbb{R}_{+} \subset C_{+}$, $\, j \in \mathbb{Z}_{+}$, są pierwiastkami tej funkcji $a(\mu), \, \mu \in C_{+}$:

$$a(\mu_{j})=0, \quad \mu_{j}^{2}=\lambda \in \mathbb{R}_{-}$$ (14.46)

Ponieważ $a(\mu)=\frac{w(\varphi,\bar{\psi})}{2 i \mu}$, z wyrażeń (14.40) i (14.43) przy $\vert\mu\vert \to \infty, \, \mu \in C_{+}$, że:

$$a(\mu)=1 +O\Big(\frac{1}{\mu}\Big), \quad \vert\mu\vert \to \infty$$ (14.47)

To znaczy, że w skończonej części płaszczyzny $C_{+}$ może być tylko skończona ilość pierwiastków funkcji $a(\mu)$, a na reszcie płaszczyzny $C_{+}$ dzięki (14.47) funkcja $a(\mu)$ jest oddzielona od zera. tak więc, zera $\mu_{j} \in C_{+}, \, j \in \mathbb{Z}_{+}$, mogą mieć punkty skupienia tylko w zerze $\mu=0$, ponieważ wszystkie wartości $\mu_{j} \in i\mathbb{R}_{+}, \, j \in \mathbb{Z}_{+}$. Z drugiej strony można pokazać, że dla potencjałów $u \in \mathcal{S} (\mathbb{R};\mathbb{R})$ spełniających warunek (14.32) $\mu=0$ nie może być punktem skupienia dla zer funkcji $a(\mu), \, \mu \in C_{+}$. Tak więc istnieje tylko $N \in \mathbb{Z}_{+}$ zer $\mu_{j} \in i \mathbb{R}_{+}, \, j=\overline{1,N}$ funkcji $a(\mu)$, tj.

$$a(\mu_{j})=0, \, j=\overline{1,N}, \, \mu_{j} \in i \mathbb{R}_{+}$$ (14.48)

które będą dokładnie wartościami własnymi operatora (14.31) w $L_{2}(\mathbb{R};C)$. Rzeczywiście przy $\lambda=\mu_{j}^{2}<0$ funkcje $\varphi(x;\mu_{j})$ i $\bar{\psi}(x;\mu_{j}), \; j=\overline{1,N}$ są ograniczone przy $x=\pm \infty$ i dążące dozera wykładniczo, tj. $\varphi(x;\mu_{j})$ i $\bar{\psi}(x;\mu_{j}) \in L_{2}(\mathbb{R};C)$. Oprócz tego, dla $j=\overline{1,N}$

$$\varphi(x;\mu_{j})=b(\mu_{j}) \bar{\psi}(x,\bar{\mu_{j}})$$ (14.49)

gdzie oczywiście, na mocy (14.45), $b(\mu_{j}) \neq 0, \, j=\overline{1,N}$, oraz

$$L \varphi(x;\mu_{j})=-\mu_{j}^{2}\varphi(x;\mu_{j})$$ (14.50)

Stosując wyrażenie (14.44) do wzorów (14.40) i (14.43) można znaleźć, że zera $\mu_{j} \in i \mathbb{R}_{+}, \, j=\overline{1,N}$ funkcji $a(\mu) \, \mu \in C_{+}$, są proste, tj. $a'(\mu_{j})\neq 0$ dla wszystkich $j=\overline{1,N}$. Ten fakt można wyprowadzić też wprost z równania (14.34) w postaci

$$L \varphi(x;\mu)=\mu^{2}\varphi(x;\mu)$$ (14.51)

gdzie $\mu \in C_{+}$. Różniczkując (14.51) po $\mu \in C_{+}$ znajdziemy

$$(L- \mu^2) \varphi'_{\mu}(x;\mu)=2\mu\varphi(x;\mu)$$ (14.52)

Biorąc teraz iloczyn skalarny wyrażenia (14.52) przy $\mu=\mu_{j}; \, j \in \{\overline{1,N}\}$, z funkcją $\varphi(x;\mu_{j})$, otrzymujemy:

$$\big(\varphi(x,\mu_{j}),(L-\mu^2)\varphi'_{\mu}(x;\mu_{j})\big)=2 \mu_{j}{\Vert\varphi(x;\mu_{j})\Vert}^{2},$$ (14.53)

albo wykorzystując tożsamość

$$\big(\varphi(x,\mu_{j}),(L-\mu^2)\varphi'_{\mu}(x;\mu_{j})\big)=\big((L-\mu^2) \varphi(x,\mu_{j}),\varphi'_{\mu}(x;\mu_{j})\big)=$$

$$=2i \mu_{j}b(\mu_{j})a'(\mu_{j}),$$ (14.54)

z (14.53) znajdujemy, że

$$i b(\mu_{j})a'(\mu_{j})={\Vert\varphi(x;\mu_{j})\Vert}^{2}>0,$$ (14.55)

tj. $a'(\mu_{j})\neq 0$ dla każdego $j=\overline{1,N}$, ponieważ $b(\mu_{j}) \neq 0$ dla wszystkich $j=\overline{1,N}$. Tak więc można sformułować następujące

Twierdzenie 14.4   Widmo $\sigma(L)$ operatora (14.30) w $L_{2}(\mathbb{R},C)$ z warunkiem (14.32) jest sumą $\sigma(L)=\sigma_{p}(L) \cup \sigma_{c}(L)$, gdzie $\sigma_{p}(L)=\{\mu_{j}^{2} \in \mathbb{R}_{-}: \, j=\overline{1,N}\}$ jest widmo punktowe, $\sigma_{c}(L)=\{\lambda \in \mathbb{R}_{+}\}$ jest widmo ciągłe , dwukrotnie zdegenerowane, ponieważ $\lambda=\mu^2$, gdzie $\mu \in \mathbb{R}$

Stosownie $\sigma_{p}(L)$ twierdzenie było udowodnione wyżej gdy badaliśmy własności funkcji $a(\mu), \, \mu \in C_{+}$. Ponieważ funkcja $\varphi(x, \mu), \, \mu \in C$ jest analityczna przy $\mu \in C_{+}$ i asymptotycznie przy $x \to \pm \infty$ dla wszystkich $\mu \in C_{+}\textrm{/} \mathbb{R}$ dąży do zera wystarcająco szybko (wykładniczo), otrzymujemy że $\varphi(x;\mu) \in L_{2}(\mathbb{R};C)$ przy $\mu \in C_{+}begin{tex2html_wrap}\mathbb{R}$. Osobny fakt daje możliwość twierdzić że wszystkich wartości $\mu \in \mathbb{R}$ należą do widma ciągłego $\sigma_{c}(L)$, ponieważ odpowiednie uogólnione funkcje własne $\varphi(x;\mu)$ przy $\mu \in \mathbb{R}$ są słabo aproksymowane elementami z przestrzeni Hilberta $L_{2}(\mathbb{R};X)$, tj. dla $\mu \in \mathbb{R}$

$$\varphi(x;\mu):= \lim_{\epsilon \to 0}\varphi(x; \mu+ i \epsilon),$$ (14.56)

gdzie $\varphi(x;\mu+ i \epsilon) \in L_{2}(\mathbb{R},C)$ dla wszystkich $\epsilon >0$