Zastosowania

Żeby wykorzystać jądra (14.78) dla rozwiązania równania całkowego (14.78), musimy mieć więcej informacji o funkcji $a(\mu), \, \mu \in C_{+}$, spełniającej równość (14.75) dla $\mu \in \mathbb{R}=\partial C_{+}$, które można także przepisać w postaci

$${\big\vert\frac{1}{a(\mu)}\big\vert}^2=1-{\vert r(\mu)\vert}^2$$ (14.82)

ponieważ $r(\mu):=\frac{b(\mu)}{a(\mu)}, \, \mu \in \mathbb{R}$.

Teraz przyjmijmy do uwagi że funkcja $a(\mu), \, \mu \in C_{+}$, jest analityczna w $C_{+}$ i ma tam skończoną ilość zer. Rozważmy wyrażenie

$$\tilde{a}(\mu):= a(\mu) \prod_{j=1}^{N}\frac{\mu - \bar{\mu_j}}{\mu -\mu_{j}},$$ (14.83)

gdzie $\mu \in C_{+}$. Oczywiście, że funkcja $\tilde{a}(\mu), \, \mu \in C_{+}$ jest analityczna na $C_{+}$ i nie ma tam żednego zera; oprócz tego dla $\mu \in \mathbb{R}$

$$\vert\tilde{a}(\mu)\vert= \vert a(\mu)\vert = {\Big(1 -{\vert r(\mu)\vert}^2 \Big)}^{-1}$$ (14.84)

Rozważmy teraz funkcję $\ln \tilde{a}(\mu), \, \mu \in C_{+}$, która jest analityczna na $C_{+}$ i spełnia warunki twierdzenia Jordana. To znaczy, że sprawiedliwa reprezentacja $\ln \tilde{a}(\mu)$ w takiej postaci:

$$\ln \tilde{a}(\mu)= \frac{1}{\pi i}v.p \int_{\mathbb{R}}\frac{\ln \tilde{a}(s)\mathrm{d}s}{s -\mu},$$ (14.85)

gdzie $\mu \in \mathbb{R}$. Ponieważ dla $\mu \in \mathbb{R}$

$$\ln \tilde{a}(\mu)=\ln \vert\tilde{a}(\mu)\vert +i \arg \tilde{a}(\mu)$$ (14.86)

stosując (14.85) znajdujemy, że

$$\arg \tilde{a}(\mu)= \frac{1}{\pi}v.p\int_{\mathbb{R}}\frac{\ln (1 -{\vert r(s)\vert}^{2}) \mathrm{d}s}{s-\mu}$$ (14.87)

dla wszystkich $\mu \in \mathbb{R}$. Tak więc, na mocy wyrażenia (14.87) i reprezentacji (14.83), znajdujemy że

$$\arg a(\mu)= - \arg \prod_{j=1}^{N}\frac{(\mu -\bar{\mu_{j}})}{(\mu -\mu_{j})} + \arg \tilde{a}(\mu)=$$

$$=\frac{1}{i} \sum_{j=1}^{N}\ln \frac{(\mu -\mu_{j})}{(\mu +\mu_{... ...\mathbb{R}} \frac{\ln \Big(1-{\vert r(s)\vert}^{2} \Big) \mathrm{d}s}{s - \mu}$$ (14.88)

Rozważmy teraz przypadek, gdy parametr ,,rozpraszania'' $r(\mu)\equiv 0$ dla wszystkich $\mu \in \mathbb{R}$. Wtedy oczywiście jądro

$$F(z)= \sum_{j=1}^{N}\frac{b(\mu_{j})e^{i \mu_{j}z}}{i a'(\mu_{j})}:= \sum_{n=1}^{N} \beta_{j}e^{i \mu_{j}z}=\sum_{n=1}^{N}\beta_{j}e^{-k_{j}z},$$ (14.89)

gdzie $z \in \mathbb{R}$, oraz położyliśmy $\beta_{j}:=\frac{b(\mu_{j})}{i a'(\mu_{j})}>0$, $\mu_{j}:=i k_{j} \in \mathbb{R}_{+}, \, j=\overline{1,N}$. Wtedy równanie (14.78) ma rozwiązania w postaci rozdzielonej:

$$K(x,y)= \sum_{j=1}^{N}K_{j}(x)e^{-k_{j}y}$$ (14.90)

gdzie dla $j=\overline{1,N}$

$$K_{j}(x)= \det\Big[\frac{A^{(j)}(x)}{A(x)}\Big]$$ (14.91)

a macierz $A(x)$ i $A^{(j)}(x)$ są równe

$$A(x):= \Big\{ \delta_{mn}+ \frac{\beta_{n}}{k_{n}+k_{m}}e^{-(k_{n}+ k_{m})x} : \, m,n= \overline{1,N}\Big\},$$

$$A^{(j)}(x):= \Big\{ A_{mn}(x)\big\vert _{n \neq j}: \, A_{mj}(x)= -\beta_{m}e^{-k_{m}x}: \, m,n \neq j=\overline{1,N}\Big\}$$ (14.92)

Podstawiając (14.92) w (14.90) przy $x=y \in \mathbb{R}$, znajdujemy, że

$$K(x,y)=\frac{1}{\det A(x)}\sum_{j=1}^{N}\det A^{(j)}(x)e^{-k_{n}x} \equiv \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\det A(x)$$ (14.93)

Tak więc na podstawie wzoru (14.81) z (14.93) otrzymujemy że

$$u(x)=-2\frac{\mathrm{d}^2}{\mathrm{d}x^2}\ln \det A(x)$$ (14.94)

dla $x \in \mathbb{R}$. W przypadku $n=1$ od razu odzyskujemy takie wyrażenie

$$u(x)=-\frac{2k_{1}^2}{ch^2 k_{1}(x-x_{0})}$$ (14.95)

gdzie my położyliśmy $x_{0}=\frac{1}{2} k \ln \big(\frac{\beta_{1}}{2k} \big)=\frac{1}{2} k_{1} \ln b(k_{1})$. Jako wniosek z wyrażenia (14.95) otrzymujemy, że operator Sturm'a-Liouville'a

$$L:=-\frac{\mathrm{d}^2}{\mathrm{d}x^2}-\frac{2k_{1}^2}{ch^2 k_{1}(x-x_{0})}$$ (14.96)

w przestrzeni $L_{2}(\mathbb{R};C)$ posiada tylko jedną wartość własną $\lambda_{1}=-k_{1}^2 \in \mathbb{R}_{-}$. LITERATURA. 1. Marcinkowska H. Wstęp do teorii równań różniczkowych cząstkowych. Warszawa, PWN, tom 43, 1986. 2. Władimirow W.S. Równania fizyki matematycznej. Moskwa, 1981. 3. Władimirow W.S.(red.) Zbiór zadań z teorii równania fizyki matematycznej, Warszawa, 1979. 4. Gonczarenko W.M. Podstawy teorii równań różniczkowych
cząstkowych. Kijów, Wyższa szkoła, 1985. 5. Mizochata S. Teoria równań o pochodnych cząstkowych. Springer, NY. 1970 (in English).