Schemat Gefllanda-Levitana-
-Marczenki.

Zauważmy teraz że wyrażenie (14.59) może być przepisane w uwikłanej postaci jako

$$\chi_{-}(x;\mu)=1+\int_{0}^{\infty}A(x,y)e^{-i \mu y} \mathrm{d}y$$ (14.73)

gdzie $\mu \in C_{-}$ i $A: \mathbb{R} \times \mathbb{R}_{+} \rightarrow C$ jest pewne jądro transformacji Fourier'a dla analitycznej w $C_{-}$ funkcji $\chi_{-}(x;\mu), \, \mu \in C_{-}$. Ponieważ $\chi_{-}(x;\mu)=\psi(x;\mu)e^{i\mu x}$, $\, \mu \in C_{-}$, z (14.73) otrzymujemy, że

$$\psi(x;\mu)=e^{-i \mu x}+\int_{x}^{\infty}K(x,y)e^{-i \mu y} \mathrm{d}y$$ (14.74)

gdzie oczywiście $K(x,y):=A(x;y-x), \, x,y \in \mathbb{R}$. Wykorzystuj"ac teraz reprezentację (14.74) w wyrażeniu (14.44) pomnożonemu przez $\frac{e^{i \mu y}}{y}$ i zcałkowaniu po wszystkich $\mu \in \mathbb{R}$, znajdujemy:

$$\frac{1}{2 \pi i} \int_{\mathbb{R}}\Big(\frac{\varphi(x;\mu)e^{i \mu y}}{a(\mu)}- e^{i \mu (x-y)} \Big) \mathrm{d}\mu$$

$$=\frac{1}{2 \pi i} \int_{\mathbb{R}}\mathrm{d}\mu e^{i \mu y}\Big[\psi(x;\mu)- e^{-i \mu x} + r(\mu) \bar{\psi}(x;\mu)\Big]$$ (14.75)

Caka po lewej stronie (14.75) może być wyliczona przy pomocy reszt Cauchy'ego i wzorów (14.49):

$$\sum_{n=1}^{N}\frac{\varphi(x;\mu_{n})e^{i \mu_{n}y}}{a'(\mu_{n})}=\sum_{n=1}^{N}\frac{b(\mu_{n})e^{ \mu_{n}(x+y)}}{a'(\mu_{n})}+$$

$$+ \int_{x}^{\infty}K(x,z)\sum_{n=1}^{N}\frac{b(\mu_{n})e^{ i\mu_{n}(z+y)}}{a'(\mu_{n})} \mathrm{d}z$$ (14.76)

gdzie $\mu_{n}^2 \in \mathbb{R}_{-}, \, n=\overline{1,N}$ jak wyżej są wartościami własnymi operatora (14.30). Odpowiednio lewa strona (14.75) po podstawieniu (14.74) sprowadza się do takiego wyrażenia:

$$\frac{1}{2 \pi i} \int_{\mathbb{R}}\mathrm{d}\mu z(\mu)e^{i \mu (... ... \pi i}\int_{\mathbb{R}} \mathrm{d}\mu z(\mu)e^{i \mu (y+z)}+\frac{1}{i}K(x,y)$$ (14.77)

Przyrównując teraz (14.76) i (14.77) otrzymujemy takie równanie całkowe:

$$K(x,y)+ F(x+y)+\int_{x}^{\infty}K(x,z)F(z+y) \mathrm{d}z=0,$$ (14.78)

gdzie jądro

$$F(x,y):=\sum_{n=1}^{N}\frac{b(\mu_{n})e^{i \mu_{n}(x+y)}}{i a'(\mu_{n})}+ \frac{1}{2 \pi} \int_{\mathbb{R}}r(\mu)e^{i \mu (x+y)} \mathrm{d}\mu$$ (14.79)

zależy tylko od danych spektralnych $S[r(L)]$.

Przypominając wyrażenia (14.60) i (14.74) znajdujemy że przy $\mu \in C_{-}$, $\vert\mu\vert \to \infty$

$$\chi_{-}(x;\mu)=1 +\frac{1}{i \mu}K(x,x)+ O\big(\frac{1}{\mu^2}\big)$$ (14.80)

oraz

$$u(x)=-2\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}K(x,x).$$ (14.81)

Tak więc, rozwiązując liniowe równanie całkowe (14.78) przy zadanym a priori jądrze (14.79) względem jądra $K(x,y), \, x,y \in \mathbb{R}$, przy pomocy wzoru (14.81) znajdujemy dokładne wyrażenie dla potencjału $u \in \mathcal{S} (\mathbb{R};\mathbb{R})$ w operatorze Sturm'a-Liouville'a (14.30) na osi $\mathbb{R}$. Ostatnie zdanie oznacza dokładnie fakt rozwiązania przez nas tutaj odwrotnego zagadnienia problemu spektralnego dla operatora (14.30).