Przestrzenie !!!!!

Przestrzenie Sobolewa odgrywają ważną rolę w teorii równań o pochodnych cząstkowych. Rozważmy przestrzeń $L_{2}(\Omega ).$ Jest wiadomym, że funkcje z $L_{2}(\Omega )$ na ogół mogą mieć bardzo złe własności ró"rniczkowalne. Na przykład mogą nie mieć żadnej pochodnej w sensie zwyczajnym. Tak więc każdy element $f\in L_{2}(\Omega )$ może być rozpatrywany jako funkcjonał na $\mathcal{D(}\Omega )$ przy pomocy wzoru:

$$f(\varphi ):=\int_{\Omega }f(x)\varphi (x)dx, \qquad \varphi \in \mathcal{D(}\Omega ). \tag{*}$$

Wyrażenie (*) definiuje, oczywiście ciągły, regularny funkcjonał na $\ \mathcal{D(}\Omega ),$ który nazywamy funkcą uogólnioną, których zbiór oznaczamy przez $\mathcal{D}^{\prime }\mathcal{(}\Omega ).$ Przy pomocy całkowania przez części (*) można zdefiniować pochodną uogólnioną rzędu $\mid \alpha \mid \in \mathbb{Z}_{+}$ elementu $f\in L_{2}(\Omega )$ przez wyrażenie:

$$D^{\alpha }f(\varphi ):=(-1)^{(\alpha )}\int_{\Omega }f(x)D^{\alpha }\varphi (x)dx. \tag{**}$$

Niestety, w przypadku ogólnym ciągły funkcjonał $D^{\alpha }f: \mathcal{D(}\Omega )\rightarrow \mathbb{R}^{1}$ nie jest regularnym, to znaczy że nie istnieje funkcja $\ f^{(\alpha )}\in L_{2}(\Omega ),$ taka że zachodzi równość

$$D^{\alpha }f(\varphi ):=\int_{\Omega }f^{(\alpha )}(x)\varphi (x)dx,\text{ \ }\alpha \in \mathbb{Z}_{+}^{n}, \tag{***}$$

dla wszystkich $\varphi \in \mathcal{D(}\Omega ).$ Na przykład $\mathcal{V}(x)\in L_{2}(-1.1)$ jako funkcja Heaviside'a, $(\mathcal{V}(x)=1,$ $x\geq 0,$ $\mathcal{V}(x)=0,$ $x<0),$ lecz $\mathcal{V}^{\prime }(x)=\delta (x)$-delta-funkcja Diraca jest funkcją singularną, tj. nie całkowalną na $(-1,1)!$ Tak więc, musimy rozpatrywać tylko te funkcje z $L_{2}$, które posiadają następującą własność: Wszystkie pochodne uogólnione $f^{(\alpha )}\in$ $\mathcal{D}^{\prime }\mathcal{(}\Omega )$ elementu $f\in L_{2}(\Omega )$ dla $0\leq \vert\alpha \vert\leq m$ są funkcjonałami regularnymi na $\ \mathcal{D(}\Omega ),$ które są przedstawiane przy pomocy funkcij $f^{(\alpha )}\in L_{2}(\Omega ).$ Takie funkcje istnieją. Na przykład, $\$jesli obszar $\Omega$ jest ograniczony, to funkcje z przestrzeni $C^{m}(\bar{\Omega})$ spełniają ten warunek. Oznaczmy przez $W_{2}^{m}(\Omega )$ zbiór wszystkich takich funkcji z $L_{2}(\Omega ).$ Tym samym, oczywiście jest określone wyrażenie

$$\underset{\ 0\leq \mid \alpha \mid \leq m}{\sum }\int_{\Omega }\vert D^{\alpha }u(x)\vert^{2}dx,\,\,u\in L_{2}(\Omega ),$$ (2.1)

gdzie $D^{\alpha }u(x)\in L_{2}(\Omega )$ są odpowiednimi uogólnionymi pochodnymi elementu $u\in L_{2}(\Omega ).$ Jest oczywistym że $W_{2}^{m}(\Omega )$ jest przestrzenią liniową. Gdy całka w (2.1) jest równa zero, to oczywiście $\ u\overset{p.w.}{=}0$ na $\Omega .$ Tak więc wyrażenie (2.1) jest normą na $\ W_{2}^{m}(\Omega ):$

$${\Vert u\Vert} _{2,m}=\underset{\ 0\leq \vert\alpha \vert\leq m}{\Big(\sum }\int_{\Omega }\vert D^{\alpha }u(x)\vert dx\Big)^{\frac{1}{2}},$$ (2.2)

t.j. przestrzeń $W_{2}^{m}(\Omega )$ jest przestrzenią unormowaną.
Prawdziwe ważne twierdzenie.

Twierdzenie 2.1   Przestrzeń $W_{2}^{m}(\Omega )$ jest przestrzenią zupelną.

$\lhd$ Dowód. Niech $f_{k},$ $k\in \mathbb{Z}_{+},$ będzie ciągiem podstawowym elementów z $\ W_{2}^{m}(\Omega ).$ Wtedy ciąg $\ D^{\alpha }f_{k}$ przy $\vert\alpha \vert\leq m$ jest ciągiem podstawowym przestrzeni $L_{2}(\Omega ).$ Na mocy tego że $L_{2}(\Omega )$ jest zupełną, istnieją funkcje $f^{(\alpha )}\in L_{2}(\Omega )$, $\vert\alpha \vert\leq m$ takie, że

$$\underset{k\rightarrow \infty }{\lim }\int_{\Omega }\vert D^{\alpha }f_{k}(x)-f^{(\alpha )}(x)\vert^{2}dx\rightarrow 0.$$

W szczególności funkja $f^{(0)}$ jest granicą w $L_{2}(\Omega )$ przy $k\rightarrow \infty$ ciągu $f_{k}\in L_{2}(\Omega)$. Jednocześnie, funkcje $f^{(\alpha )}\in L_{2}(\Omega )$ są pochodnymi uogólnionymi od $f^{(0)}\in L_{2}(\Omega ).$ Rzeczywiście, niech $\varphi \in \mathcal{D(}\Omega );$ wtedy

$$\lim_{k\rightarrow \infty }D^{\alpha }f_{k}(\varphi )=f^{(0)}\bi... ...1)^{\vert\alpha \vert}D^{\alpha }\varphi \big)=D^{\alpha }f^{(0)}(\varphi ),$$

oraz, na mocy definicji $f^{(\alpha )}\in L_{2}(\Omega )\subset \mathcal{D}^{\prime }\mathcal{(}\Omega )$

$$\underset{k\rightarrow \infty }{\lim }D^{\alpha }f_{k}(\varphi )=f^{(\alpha )}(\varphi ).$$

Stąd zachodzi, że ${\Vert f_{k}-f\Vert} _{W_{2}^{m}(\Omega )}\rightarrow 0$ gdy $k\rightarrow \infty ,$ tj. ciąg $f_{k}\in L_{2}(\Omega)$, $k\rightarrow \infty$, jest zbie"rny, a przestrzeń $W_{2}^{m}(\Omega )$ jest zupełną. $\rhd$

Wniosek 2.2   Przestrzeń $W_{2}^{m}(\Omega )$ jest przestrzenią Banacha. Ponieważ norma (2.2) jest generowana przy pomocy iloczynu skalarnego

$$(u,v)_{m}:=\underset{\ 0\leq \mid \alpha \mid \leq m}{\sum }\int_{\Omega }D^{\alpha }u(x)D^{\alpha }v(x)dx,$$ (2.3)

tj. $\Vert u\Vert _{m}^{2}=(u,u)_{m},$ to oczywiście, przestrzeń $W_{2}^{m}(\Omega )$ jest przestrzenią Hilberta.

Definicja 2.3   Przestrzeń Banacha (Hilberta) $W_{2}^{m}(\Omega )$ jest nazywana przestrzenią Sobolewa.

Jest oczywistym, że $W_{2}^{m}(\Omega )\subset L_{2}(\Omega ),$ przy czym norma $\Vert \cdot \Vert _{m}$ w $W_{2}^{m}(\Omega )$ jest bardziej silna niż $\Vert \cdot \Vert _{0}$ w $L_{2}(\Omega ).$ To znaczy, że ciąg $u_{k}\in$ $W_{2}^{m}(\Omega ),$ $k\in \mathbb{Z}_{+},$ zbieżny w $W_{2}^{m}(\Omega )$ jest też $\$zbieżny w $L_{2}(\Omega )$, tj. $W_{2}^{m}(\Omega )\hookrightarrow L_{2}(\Omega )$, gdzie zanurzenie jest ciągłe. Mamy łancuch przestrzeni ciągle zanurzonych:

$$L_{2}(\Omega )\hookleftarrow W_{2}^{1}(\Omega )\hookleftarrow W_{2}^{2}(\Omega )\hookleftarrow ...$$

Jest wiadomym faktem z analizy funkcjonalnej, że przestrzeń $C_{0}^{\infty }(\Omega )$ jest gęsta w $L_{2}(\Omega ),$ tj. $\overline{C_{0}^{\infty }(\Omega )}=L_{2}(\Omega )$ w sensie normy w $L_{2}(\Omega )$. Tym nie mniej, $\overline{C_{0}^{\infty }(\Omega )}\neq W_{2}^{m}(\Omega )$ w sensie normy $\Vert \cdot \Vert _{m}.$

Definicja 2.4   Domknięcie $\overline{C_{0}^{\infty }(\Omega )}:=$ $\overset{o}{W}$ $_{2}^{m}(\Omega )$ w normie $\Vert \cdot \Vert _{m}.$

Wniosek 2.5   $\overset{o}{W}$ $_{2}^{m}(\Omega )\subset W_{2}^{m}(\Omega )\subset L_{2}(\Omega ),$ przy wystarczająco gładkim brzegu $\partial \Omega$ obszaru $\Omega .$

Niech teraz $\Omega =\mathbb{R}^{n}.$ W tym przypadku stosując transformacje Fourier'a można podać równoważną definicje przestrzeni $W_{2}^{m}(\mathbb{R}^{n}),$ ważną dla zastosowań.

Twierdzenie 2.6   Przestrzeń $W_{2}^{m}(\mathbb{R}^{n})$ jest zbiorem funkcji uogólnionych wolno rosnących, takich że

$$\big(1+\vert\xi \vert^{2}\big)^{\frac{m}{2}}\hat{u}\in L_{2}(\mathbb{R}^{m}),$$

przy czym norma ${\Vert \cdot \Vert} _{m}$ jest równoważna normie

$${\Vert u\Vert} _{m}^{^{\prime }}:={\Big\Vert \big(1+\vert\xi \vert^{2}\big)^{\frac{m}{2}}\hat{u}\Big\Vert} _{0}.$$ (2.4)

$\lhd$ Dowód. Niech $u\in W_{2}^{m}(\mathbb{R}^{n}).$ Wtedy dla $u\in \varepsilon ^{\prime }(\mathbb{R}^{n})$

$$u(x) = \big(\frac{1}{2\pi} \big)^{\frac{n}{2}}\int_{\mathbb{R}^{n}}\hat{u}(\xi )\exp i<x,\xi >d\xi ,$$

$$D^{\alpha }u(x) = \big(\frac{1}{2\pi} \big)^{\frac{n}{2}}\int_{\mathbb{R}^{n}}\hat{u}(\xi )(i\xi )^{\alpha }\exp i<x,\xi >d\xi ;$$ (2.5)

ponieważ exp $i<\xi ,x>\in \varepsilon (\mathbb{R}^{n};\mathbb{C)}.$ Z (2.2) otrzymujemy, że

$$(\widehat{D^{\alpha }u})=\hat{u}(\xi )(i\xi )^{\alpha }, \xi \in \mathbb{R}^{n}.$$ (2.6)

Skorzystamy z twierdzenia Parsewale'a że normy $\Vert f\Vert _{2}=\Vert \hat{f}\Vert _{2}$ dla $f\in L_{2}(\mathbb{R}^{n})$ jednocześnie $\hat{f}\in L_{2}(\mathbb{R}^{n}).$ Korzystając z definicji normy (2.2) , znajdujemy:

$$\Vert D^{\alpha }u\Vert _{m}^{2}=\underset{0\leq \mid \alpha \mid... ... m}{\sum }\int_{\mathbb{R}^{n}}\xi ^{2\alpha }\vert\hat{u}(\xi )\vert^{2}d\xi.$$ (2.7)

Ponieważ dla wszystkich $\xi \in \mathbb{R}^{n}$ zachodzą nier"owności

$$\big(1+\mid \xi \mid ^{2}\big)^{m}\leq \underset{0\leq \mid \alpha \mid \leq m}{\sum }\xi ^{2\alpha }\leq c\big(1+\vert\xi \vert^{2}\big)^{m}$$ (2.8)

dla pewnej stałej $\ c>0,$ znajdujemy z (2.7) i (2.8) nierówności

$${\Big\Vert \big(1+\vert\xi \vert^{2}\big)^{\frac{m}{2}}\hat{u}\Bi... ...ert\xi \vert^{2}\big)^{\frac{m}{2}}\hat{u}\Big\Vert} _{L_{2}( \mathbb{R}^{n})}$$ (2.9)

co znaczy że normy $\Vert \cdot \Vert _{m}^{\prime }$ i $\Vert \cdot \Vert _{m}$ są równoważne. $\rhd$ UWAGA. Przestrzeń $W_{2}^{m}(\Omega ),$ jeśli $\Omega \subset \mathbb{R}^{n}$ jest ograniczonym obszarem, może być zdefiniowana jako domknięcie zbioru $\ C^{\infty }(\bar{\Omega};\mathbb{R}^{1})$ wg normy $\Vert \cdot \Vert _{m},$ przy dodatkowym założeniu że brzeg $\partial \Omega \in C^{m},$ albo $\Omega \subset \mathbb{R}^{n}$ jest obszarem gwia"zdzistym. W tym przypadku, jesli $f\in W_{2}^{m}(\Omega ),$ to albo $f\in \ C^{\infty }(\bar{\Omega}),$ albo $f=\underset{k\rightarrow \infty }{\lim }f_{k}$ wg normy $\Vert \cdot \Vert _{m}$ gdzie $f_{k}\in C^{\infty }(\bar{\Omega})$ dla wszystkich $k\in \mathbb{Z}_{+}.$ W drugim przypadku ciągi $\{D^{\alpha }f_{k}:$ $k\in \mathbb{Z} _{+}\},\vert\alpha \vert\leq m,$ są zbieżne w $L_{2}(\Omega )$ do niektórych funkcji $f^{(\alpha )}\in L_{2}(\Omega ).$ Te funkcje mogą być interpretowane jako uogolnione pochodne $D^{\alpha }f.$ Z dowodu twierdzenia o zupełności przestrzeni $W_{2}^{m}(\Omega )$ zachodzi równość $f^{(\alpha )}=D^{\alpha }f$ dla $0\leq \vert\alpha \vert\leq m$ prawie wszędzie w sensie zbieżności w $\mathcal{D}^{\prime }\mathcal{(}\Omega ).$