Równoważne normy w $W_{2}^{m}(\Omega )$ .

Norma w przestrzeni $W_{2}^{m}(\Omega )$ była zdefiniowana w (2.2). Jednak, w przestrzeni $W_{2}^{m}(\Omega )$ mogą istnieć inne normy, równoważne do $\Vert \cdot \Vert _{m}.$ To znaczy że dwie normy $\Vert \cdot \Vert _{m}$ i $\Vert \cdot \Vert _{m}^{^{\prime }}$ są równoważne gdy istnieją takie liczby $\alpha,\beta \in \mathbb{R}_{+}$ że $\Vert \cdot \Vert _{m}^{^{\prime }}\,\leq \alpha$ $\Vert \cdot \Vert _{m}$ oraz $\ \Vert \cdot \Vert _{m}\, \leq \beta$ $\Vert \cdot \Vert _{m}^{^{\prime }}.$ Oczywiście, zbieżność wg jednej normy powoduje zbieżność wg innej. Następne twierdzenie jest przykładem równoważności norm.

Twierdzenie 2.7   W przestrzeni $\overset{o}{W}$ $_{2}^{(1)}(\Omega )$ norma $\Vert \cdot \Vert _{1}$ jest równoważna normie

$$\Vert u\Vert _{1}^{^{\prime }}=\Big(\sum\limits_{i=1}^{n}\int_{\... ...ig(\frac{\partial u}{\partial x_{i}}\big)^{2}\mathrm{d}{x}\Big)^{\frac{1}{2}},$$ (2.10)

gdzie $u\in \overset{o}{W}$ $_{2}^{(1)}(\Omega ).$

$\lhd$ Dowód. Jest oczywistym, że $\Vert u\Vert _{1}\geq \Vert u\Vert _{1}^{^{\prime }}.$ Dla dowodu twierdzenia odwrotnego skorzystamy się z nierówności Friedrichs'a:

$$\int_{\Omega }u^{2}dx\leq \chi \int_{\Omega }\sum_{i=1}^{n}\big(\frac{\partial u }{\partial x_{i}}\big)^{2}\mathrm{d}{x},$$ (2.11)

która ma miejsce dla każdej $u\in \overset{o}{W}$ $_{2}^{(1)}(\Omega ),$ i $\chi \in \mathbb{R}_{+}^{1}$ jest stała niezależna od $u\in \overset{o}{W}$ $_{2}^{(1)}(\Omega ).$ Korzystając z (2.11), otrzymujemy przy $0\leq a\leq 1$

$$\big(\Vert u\Vert _{1}^{^{\prime }}\big)^{2} = (1-a)\sum\limits_{i=1}^{n}\int_{\Omega }\big(\frac{\partial u(x)}... ...{i=1}^{n}\int_{\Omega }\big(\frac{\partial u(x)}{\partial x_{i}}\big)^{2}dx\geq$$

$$\geq (1-a)\int_{\Omega }\sum\limits_{i=1}^{n}\big(\frac{\partial u(x)}... ...frac{a}{\chi }\int_{\Omega }u^{2}(x)\mathrm{d}{x}=\alpha \Vert u\Vert _{1}^{2},$$ (2.12)

gdzie $\alpha :=(1-a)=\frac{a}{\chi} ,$ tj. $\alpha =\frac{1}{(1+x)}.\,\rhd$

Lemat 2.8 (Friedrichs'a)   . Dla $\forall$ $u\in \overset{o}{W}$ $_{2}^{1}(\Omega )$ $\exists \chi >0$

$$\int_{\Omega }u^{2}dx\leq \chi \int_{\Omega }\sum_{i=1}^{n}\big(\frac{\partial u }{\partial x_{i}}\big)^{2}\mathrm{d}{x}.$$

$\lhd$ Dowód. Ponieważ zbiór $C_{0}^{\infty }(\Omega )$ jest gęsty w $\overset{o}{W}$ $_{2}^{1}(\Omega ),$ to wystarczy podać dowód dla funkcji $u\in C_{0}^{\infty }(\Omega ).$ Na początku rozważmy przypadek $\Omega =(0,l).$ Ponieważ $u(0)=0,$ to

$$u(x)=\int_{0}^{x}u^{\prime }(\xi )d\xi \leq \mid x\mid ^{\frac{1... ...\int_{0}^{l}\big(u^{\prime }(\xi )\big)^{2}\mathrm{d}{\xi} \Big)^{\frac{1}{2}}$$ (2.13)

Biorąc wzór (2.13) do kwadratu i ca"lkując po $x\in (0,l),$ otrzymujemy, że

$$\int_{0}^{l}u^{2}\mathrm{d}{x} \leq l^{2}\int_{0}^{l}\big(u^{\prime }(x)\big)^{2}\mathrm{d}{x},$$ (2.14)

co jest dokładnie nierównością Friedrichs'a przy $\chi =l^{2}.$ Jeżeli $\Omega \subset \mathbb{R}^{n},$
to ustalając zmienne $x_{2},x_{3},...x_{n},$ otrzymujemy funkcję
$\tilde{u} (x_{1}):=u(x_{1},x_{2},x_{3},...,x_{n}),$ $x_{1}\in (0,l_{1}),$ gdzie oczywiście $\tilde{u}(0)=0=\tilde{u}(l).$ Wtedy zachodzi nierówność (2.14):

$$\int_{0}^{l_{1}}\tilde{u}^{2}(x_{1})\mathrm{d}{x_{1}}\leq l_{1}^... ...{i=1}^{n}\big(\frac{\partial u(x)}{\partial x_{1}} \big)^{2}\mathrm{d}{x_{1}}.$$ (2.15)

Całkując wzór (2.15) po reszcie zmiennych, znajdujemy:

$$\int_{\Omega }u^{2}(x)dx \leq l_{1}^{2}\int_{0}^{l_{1}}dx_{1}\int_{0}^{l_{2}}dx_{2}\ldots \int_{0}^{l_{n}}dx_{n}u(x)\leq$$ (2.16)

$$\leq \sum_{i=1}^{n}l_{1}^{2}\int_{\Omega }\big(\frac{\partial u(x)}{\p... ...}\sum_{i=1}^{n}\big(\frac{\partial u(x)}{\partial x_{i}}\big)^{2}\mathrm{d}{x},$$

gdzie $\chi =l_{1}^{2}$, co i kończy dowód. $\rhd$ Wykorzystując nierówność Fridrichs'a (2.16) oraz rozumowania indukcyjne, można udowodnić następną nierówność.

Twierdzenie 2.9 (Nierówność Poincare'go.)   Niech $u\in \overset{o}{W}$ $_{2}^{1}(\Omega ).$ Wtedy

$$\underset{\mid \alpha \mid =m}{\sum }\int_{\Omega }(D^{\alpha }u)^{2}dx\geq c\Vert u\Vert _{m}^{2},$$ (2.17)

gdzie $c>0$ jest pewna stałą.

Wniosek 2.10   W przestrzeni $\overset{o}{W}$ $_{2}^{1}(\Omega )$ normy $\Vert \cdot \Vert _{m}^{\prime }$ i $\Vert \cdot \Vert _{m}$ są równoważne.