Przykład

Niech będzie dany problem prymalny

$$\left\{ \begin{array}{rcrrll} -x_1 & + & x_2 & \leq & 1\... ...& z & = & x_1 + 2x_2 & \rightarrow \max \end{array} \right.$$ (4.14)

Wykażemy, że $x^*_1=1, x^*_2=2$ jest rozwiązaniem optymalnym problemu ().
Problemem dualnym do () jest

$$\left\{ \begin{array}{rcrrrrll} -y_1 & + & y_2 & + &y_3 ... ...&&w & = & y_1 + 3y_3 & \rightarrow \min \end{array} \right.$$ (4.15)

Oznaczmy przez $y^*_1,y^*_2,y^*_3$ optymalne rozwiązania problemu ().
Zauważmy, że

-

$x^*_1=1, x^*_2=2$ jest rozwiązaniem dopuszczalnym problemu ().

-

Spośród trzech pierwszych nierówności problemu () $x^*_1,x^*_2$ spełnia drugą jako nierówność silną ( $x^*_1-2x^*_2=1-4=-3<0$), a więc, na mocy twierdzenia , $y^*_2=0$.

-

Ponieważ $x^*_1,x^*_2>0$, na mocy twierdzenia obie nierówności w problemie () są równościami, otrzymujemy więc

$$\left\{ \begin{array}{rcrcl} -y^*_1 & + & y^*_3 & = & 1\\ y^*_1 & + & y^*_3 & = & 1 \end{array} \right.$$

i stąd $y^*_1=\frac{3}{2}, y^*_2=0, y^*_3=\frac{1}{2}$. Ponieważ $z^*=x^*_1+2x^*_2=y^*_1+3y^*_3=w^*=5$, $x^*_1,x^*_2$ jest rozwiązaniem optymalnym () zaś $y^*_1,y^*_2,y^*_3$ rozwiązaniem optymalnym ().