next up previous contents
Next: Funkcje zmiennej zespolonej Up: Zadania z matematyki dla Previous: Ca�ki powierzchniowe   Contents

Szeregi

  1. Wyka� �e je�li $X$ jest przestrzeni� unormowan� nad cia�em K, wtedy:
    $\Vert *\Vert :x\rightarrow \Vert x \Vert$ $+:(x,y)\rightarrow x+y$ $\lambda :x\rightarrow \lambda x$
    s� funkcjami ci�g�ymi.
  2. Zbadaj zbie�no��, bezwzgl�dn� zbie�no�� i ew. obliczy� sumy szereg�w:
    (a)
    $1 - 1//2 + 1//4- 1//8 + ...$
    (b)
    $1//2 +1//3 +1//4 +1//9 + ... +1//2^n + 1//3^n + ...$
    (c)
    $\sum \frac1{(3n-2)(3n+1)}$
    (d)
    $\sum (\sqrt{n+2}-2\sqrt{n + 1}+ \sqrt{n})$
  3. Zbadaj zbie�no�� szereg�w:
    (a)
    $0,001 + \sqrt{0,001} + \sqrt[3]{0,001} + ...$
    (b)
    $1//1! + 1//2! + ... +1/�! + ...$
    (c)
    $1//1001 +1//2001 + 1//3001 + ...$
    (d)
    $1//\sqrt2 + 1//2\sqrt3 + ... + 1/�\sqrt{n + 1} + ...$
    (e)
    $\sum{\frac{n}{\sqrt{(2n-1)(2n+1)}}}.$
  4. Ile wyraz�w szeregu $\sum_{n=1}^{+\infty}a_n$ nale�y zsumowa�, by obliczy� jego sum� z dok�adno�ci� do $0,001$ je�eli:
    (a) $a_n=\frac{(-1)^n}{n^3}$ (b) $a_n=\frac{(-1)^n}{n!}$
  5. Wyka�, �e je�li zbie�ne s� szeregi $\sum{a_n^2}$ i $\sum{b_n^2}$, wtedy tak�e szeregi $\sum{\Vert a_n b_n \Vert}$ oraz $\sum{(a_n +b_n )^2}$ s� zbie�ne.
  6. Zbadaj zbie�no�� szereg�w o wyrazie og�lnym:
    (a) $1000^n/�! $ (b) $(n!)^2//(2n)!$ (c) $ 2^nn!/�^n$
    (d) $3^nn!/�^n$ (e) $n^{n-1}//(2n^2+n+1)^{(n+1)//2}$
    (f) $\left( \frac{n-1}{n+1}\right) ^{n//(n-1)}$ (g) $\left( \sqrt{n+2}-\sqrt{n-2}\right) /�^{\alpha}$ (h) $ (-1)^n\left( \frac{2n+100}{3n+1} \right) ^n$
  7. Okre�l charakter zbie�no�ci poni�szych szereg�w funkcyjnych:
    (a)
    $\sum^{\infty }_{n=0}x^n$ w przedziale (i) $\mid x \mid \leq q,$ $q < 1$ (ii) $\mid x \mid \leq 1$.
    (b)
    $\sum^{\infty}_{n=1}\left( \frac{x^n}n -\frac{x^{n+1}}{n+1}\right)$ $-1\leq x \leq 1$
    (c)
    $\sum^{\infty}_{n=1}\frac{1}{(x+n)(x+n+1)}$ $0<x<+\infty $
  8. Wyka� jednostajn� zbie�no�� szereg�w we wskazanych zbiorach:
    (a)
    $\sum^{\infty}_1 \frac{1}{x^2+n^2}$ $-\infty < x <+\infty$
    (b)
    $\sum^{\infty}_{n=1}\frac{(-1)^n}{x+2^n}$ $x\in {\bf R}^+$
    (c)
    $\sum^{\infty}_{n=1}\frac{n^2}{\sqrt{n!}}(x^n+x^{-n})$ $\frac12\leq \mid x \mid \leq 2$
    (d)
    $\sum^{\infty}_{n=1}\frac{\sin nx}{n\sqrt{n}}$ $\mid x\mid <+{\infty}$
  9. Wyka�, �e je�li szereg $\sum^{\infty}_{n=1}\mid f_n(x)\mid $ jest zbie�ny jednostajnie w przedziale $<a,b>$, to tak�e szereg $\sum^{\infty}_{n=1}f_n(x)$ jest jednostajnie zbie�ny w $<a,b>$.
  10. (a)
    Wyka�, �e ci�g $f_n(x)=x^2+\frac1n\sin n(x+\frac{\pi}2)$ jest zbie�ny jednostajnie w ${\bf R}$, a mimo to

    \begin{displaymath}(\lim_{n\rightarrow +\infty}f_n(x))' \neq \lim_{n\rightarrow +\infty}f'_n(x)\end{displaymath}

    (b)
    Wyka�, �e ci�g $f_n(x)=nxe^{nx^2}$ jest zbie�ny w $<0,1>$, lecz

    \begin{displaymath}\int_0^1(\lim_{n\rightarrow +\infty}f_n(x))dx \neq \lim_{n+\infty}\int_0^1f_n(x)dx.\end{displaymath}

    Skomentuj!
  11. Ca�kuj�c w przedziale $<0,1>$ szereg $\sum_{n=0}^{+\infty}(-1)^nx^{3n}$ oblicz $\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{(-1)^n}{3n+1}$.
    Podobnie, wykorzystaj rozwini�cie

    $\frac1{1+x}$ do obliczenia $\sum_{n=1}^{+\infty}(-1)^{n-1}\frac{x^n}n$ dla $x \in (-1,1)$ oraz $\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{(-1)^{n-1}}{n}$,

    $\frac1{1+x^2}$ do obliczenia $\sum_{n=1}^{+\infty}(-1)^{n-1}\frac{x^{2n-1}}{2n-1}$ dla $x \in (-1,1)$ oraz $\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{(-1)^{n-1}}{2n-1}$.

  12. Przedstaw w postaci szereg�w ca�ki niew�a�ciwe:

    \begin{displaymath}\int_0^x \frac{sinx}xdx \ \ \ \ \ \int_0^1\frac{arctgx}xdx\end{displaymath}

    Ile wyraz�w odpowiedniego szeregu nale�y zsumowa�, by otrzyma� warto�� ca�ki z dok�adno�ci� co najmniej 0,01 ?
  13. Zbadaj zbi�r okre�lono�ci i r�niczkowalno�ci funkcji $f$ zdefiniowanej wzorem:

    \begin{displaymath}(a) \ \ \ f(x)=\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{(-1)^nx}{n+x} \ \ \ (b) \ \ \ f(x)=\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{\mid x \mid}{n^2+x^2}\end{displaymath}

  14. Znajd� promie� zbie�no�ci szereg�w pot�gowych 
    

		 $\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{(n!)^2}{(2n)!}x^n$ 
$\sum_{n=1}^{+\infty}\left( 1+\frac1n\right)^{n^2}x^n$ 

    
		 $\sum_{n=1}^{+\infty}(1+\frac12 +...+\frac1n )x^n$ 
		 $\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{(2n)!!}{(2n+1)!!}x^n$
  15. Roz�� w szereg Taylora funkcje: 
    

(a) $f(x)=e^{-x^2}$  ($x \rightarrow 0$) 		
(b) $f(x)=\frac{x^{10}}{1-x}$  ($x \rightarrow 0$) 		
(c) $f(x)=\frac1{(1-x)^2}$  ($x \rightarrow 0$)
next up previous contents
Next: Funkcje zmiennej zespolonej Up: Zadania z matematyki dla Previous: Ca�ki powierzchniowe   Contents