Szeregi

1. Wykaż że jeśli $X$ jest przestrzenią unormowaną nad ciałem K, wtedy:
   
   $\Vert *\Vert :x\rightarrow \Vert x \Vert$ $+:(x,y)\rightarrow x+y$ $\lambda :x\rightarrow \lambda x$
   są funkcjami ciągłymi.
2. Zbadaj zbieżność, bezwzględną zbieżność i ew. obliczyć sumy szeregów:

   (a)

   $1 - 1//2 + 1//4- 1//8 + ...$

   (b)

   $1//2 +1//3 +1//4 +1//9 + ... +1//2^n + 1//3^n + ...$

   (c)

   $\sum \frac1{(3n-2)(3n+1)}$

   (d)

   $\sum (\sqrt{n+2}-2\sqrt{n + 1}+ \sqrt{n})$

3. Zbadaj zbieżność szeregów:

   (a)

   $0,001 + \sqrt{0,001} + \sqrt[3]{0,001} + ...$

   (b)

   $1//1! + 1//2! + ... +1/ń! + ...$

   (c)

   $1//1001 +1//2001 + 1//3001 + ...$

   (d)

   $1//\sqrt2 + 1//2\sqrt3 + ... + 1/ń\sqrt{n + 1} + ...$

   (e)

   $\sum{\frac{n}{\sqrt{(2n-1)(2n+1)}}}.$

4. Ile wyrazów szeregu $\sum_{n=1}^{+\infty}a_n$ należy zsumować, by obliczyć jego sumę z dokładnością do $0,001$ jeżeli:
   (a) $a_n=\frac{(-1)^n}{n^3}$ (b) $a_n=\frac{(-1)^n}{n!}$
   
5. Wykaż, że jeśli zbieżne są szeregi $\sum{a_n^2}$ i $\sum{b_n^2}$, wtedy także szeregi $\sum{\Vert a_n b_n \Vert}$ oraz $\sum{(a_n +b_n )^2}$ są zbieżne.
6. Zbadaj zbieżność szeregów o wyrazie ogólnym:
   (a) $1000^n/ń!$ (b) $(n!)^2//(2n)!$ (c) $2^nn!/ń^n$
   (d) $3^nn!/ń^n$ (e) $n^{n-1}//(2n^2+n+1)^{(n+1)//2}$
   (f) $\left( \frac{n-1}{n+1}\right) ^{n//(n-1)}$ (g) $\left( \sqrt{n+2}-\sqrt{n-2}\right) /ń^{\alpha}$ (h) $(-1)^n\left( \frac{2n+100}{3n+1} \right) ^n$
   
7. Określ charakter zbieżności poniższych szeregów funkcyjnych:

   (a)

   $\sum^{\infty }_{n=0}x^n$ w przedziale (i) $\mid x \mid \leq q,$ $q < 1$ (ii) $\mid x \mid \leq 1$.

   (b)

   $\sum^{\infty}_{n=1}\left( \frac{x^n}n -\frac{x^{n+1}}{n+1}\right)$ $-1\leq x \leq 1$

   (c)

   $\sum^{\infty}_{n=1}\frac{1}{(x+n)(x+n+1)}$ $0<x<+\infty$

8. Wykaż jednostajną zbieżność szeregów we wskazanych zbiorach:
   

   (a)

   $\sum^{\infty}_1 \frac{1}{x^2+n^2}$ $-\infty < x <+\infty$

   (b)

   $\sum^{\infty}_{n=1}\frac{(-1)^n}{x+2^n}$ $x\in {\bf R}^+$
   

   (c)

   $\sum^{\infty}_{n=1}\frac{n^2}{\sqrt{n!}}(x^n+x^{-n})$ $\frac12\leq \mid x \mid \leq 2$

   (d)

   $\sum^{\infty}_{n=1}\frac{\sin nx}{n\sqrt{n}}$ $\mid x\mid <+{\infty}$

9. Wykaż, że jeśli szereg $\sum^{\infty}_{n=1}\mid f_n(x)\mid$ jest zbieżny jednostajnie w przedziale $<a,b>$, to także szereg $\sum^{\infty}_{n=1}f_n(x)$ jest jednostajnie zbieżny w $<a,b>$.
   

10. (a)

    Wykaż, że ciąg $f_n(x)=x^2+\frac1n\sin n(x+\frac{\pi}2)$ jest zbieżny jednostajnie w ${\bf R}$, a mimo to
    

    $$(\lim_{n\rightarrow +\infty}f_n(x))' \neq \lim_{n\rightarrow +\infty}f'_n(x)$$

    
    

    (b)

    Wykaż, że ciąg $f_n(x)=nxe^{nx^2}$ jest zbieżny w $<0,1>$, lecz
    

    $$\int_0^1(\lim_{n\rightarrow +\infty}f_n(x))dx \neq \lim_{n+\infty}\int_0^1f_n(x)dx.$$

    
    

    Skomentuj!

11. Całkując w przedziale $<0,1>$ szereg $\sum_{n=0}^{+\infty}(-1)^nx^{3n}$ oblicz $\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{(-1)^n}{3n+1}$.
    Podobnie, wykorzystaj rozwinięcie

    $\frac1{1+x}$ do obliczenia $\sum_{n=1}^{+\infty}(-1)^{n-1}\frac{x^n}n$ dla $x \in (-1,1)$ oraz $\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{(-1)^{n-1}}{n}$,

    $\frac1{1+x^2}$ do obliczenia $\sum_{n=1}^{+\infty}(-1)^{n-1}\frac{x^{2n-1}}{2n-1}$ dla $x \in (-1,1)$ oraz $\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{(-1)^{n-1}}{2n-1}$.

12. Przedstaw w postaci szeregów całki niewłaściwe:
    
    $$\int_0^x \frac{sinx}xdx \ \ \ \ \ \int_0^1\frac{arctgx}xdx$$
    
    
    Ile wyrazów odpowiedniego szeregu należy zsumować, by otrzymać wartość całki z dokładnością co najmniej 0,01 ?
13. Zbadaj zbiór określoności i różniczkowalności funkcji $f$ zdefiniowanej wzorem:
    
    $$(a) \ \ \ f(x)=\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{(-1)^nx}{n+x} \ \ \ (b) \ \ \ f(x)=\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{\mid x \mid}{n^2+x^2}$$
    
    

14. Znajdź promień zbieżności szeregów potęgowych

    
    
    		 $\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{(n!)^2}{(2n)!}x^n$ 
    $\sum_{n=1}^{+\infty}\left( 1+\frac1n\right)^{n^2}x^n$ 
    
    
    		 $\sum_{n=1}^{+\infty}(1+\frac12 +...+\frac1n )x^n$ 
    		 $\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{(2n)!!}{(2n+1)!!}x^n$
    

15. Rozłóż w szereg Taylora funkcje:

    
    
    (a) $f(x)=e^{-x^2}$  ($x \rightarrow 0$) 		
    (b) $f(x)=\frac{x^{10}}{1-x}$  ($x \rightarrow 0$) 		
    (c) $f(x)=\frac1{(1-x)^2}$  ($x \rightarrow 0$)