Całki powierzchniowe

1. Oblicz całki powierzchniowe niezorientowane:

   (a)

   $\int \int_S xyzdS$, gdzie $S$ jest wycinkiem kuli $x^2+y^2+z^2=4, \ \ x\geq 0, \linebreak y \geq 0, \ \ z \geq 0$.

   (b)

   $\int \int_S xy^2z^2dS$, gdzie $S$ jest cęścią stożka $z=\sqrt{x^2+y^2}$ położoną nad podzbiorem płaszczyzny $Oxy$ ograniczonym nierównościami:
   $x^2+y^2 \leq 1, \ \ x\geq 0, \ \ y \geq 0$.

   (c)

   $\int \int_S cos zdS$, gdzie $S$ jest wycinkiem płaszczyzny $2z+3y+4x=2$ której rzutem na płaszczyzne $Oxy$ jest $0 \leq x \leq 1,\ \ -1 \leq y \leq 3$.

   (d)

   $\int \int_S e^{x^2+y^2} dS$, gdzie $S$ jet częścią stożka $z^2=x^2+y^2$ ponad kołem
   $x^2+y^2 \leq 1$ dla $x \geq 0$ i $y \geq 0$.

   (e)

   $\int \int_S ln(x^2+y^2+z^2)dS$, gdzie $S$ jest częścią sfery $x^2+y^2+z^2=5$ ponad kołem $x^2+y^2 \leq 1$.

   (f)

   $\int \int_S zdS$, gdzie $S$ jest czworościanem ograniczonym płaszczyznami układu współrzędnych i $x+y+z=1$.

   (g)

   $\int \int_S (x^2+y^2)dS$, gdzie $S$ jest powierzchnią ograniczoną zamkniętym walcem: $x^2+y^2=1$, $0 \leq z \leq 1$.

2. Oblicz strumień cieczy przepływającej ku górze przez północną sferę $x^2+y^2+z^2=1$ przy szybkości przepływu $G(x,y,z)= (-y,x,z)$.
3. Oblicz całki powierzchniowe zorientowane wiedząc, że w każdym z przykładów powierzchnia $S$ jest zorientowana ku górze:

   (a)

   $\int \int_S xdydz + ydzdx + zdxdy$, gdy

   (i)

   $S$ jest zadane przez: $x+y+z=3,\ x\geq 0, \ y \geq 0, \ z \geq 0$,

   (ii)

   $S$ jest zadane przez:
   $x^2+y^2+z^2=1, \ z \geq 0$.

   (b)

   $\int \int_S ydydz - xdzdx + xydxdy$, gdy $S$ jest zadana przez:
   $z=(x^2+y^2)^{1//2}, \ x^2+y^2 \leq 1$

4. Znajdź strumień wypływający na zewnątrz powierzchni zamkniętej $S$ gdy

   (a)

   $S$ jest czworościanem ograniczonym przez płaszczyznę $2x+3y+z=1$ i płaszczyznami układu współrzędnych a prędkość przepływu $G(x,y,z)=(0,x,y)$.

   (b)

   $S$ jest ograniczona przez stożek $x^2+y^2=z^2$ i płaszczyznę $z=1$
   a prędkość przepływu $G(x,y,z)=(y,-x,xy)$.

5. Korzystając z twierdzenia Gaussa-Ostrogradzkiego oblicz te z całek zadań i w których $S$ jest powierzchnią zamkniętą.
6. Oblicz strumień cieczy wypływający na zawnątrz powierzchni $S$ z prędkością $G$.

   (a)

   $G(x,y,z)=(8xyz,2yz,6xz)$, $S: \ x^2 + y^2 =4, \ z=3, \ z = 5$

   (b)

   $G(x,y,z)=(z^3,x^2,xz\cos^2y)$, $S: \ x = 0$, $x=\sin y, \ y=0, \ y=\pi, \ z=0, \ z=x\sin y$.

   (c)

   $G(x,y,z)=(x^2,xy,xz)$, $S: \ z+3x+3y=6, \ x=0, \ y=0, \ z=0$.

7. Poniższe całki oblicz

   (a)

   korzystając ze wzoru na zamianę całki krzywoliniowej na oznaczoną (bez korzystania z twierdzenia Stokesa),

   (b)

   korzystając z twierdzenia Stokesa.

   (W każdym z przykładów wybierz jednż z dwóch możliwych orientacji krzywej $C$.)

   (i)

   $\oint_C (x+y)dx+xdy + (x+y)dz$, $C: \ x=\cos t, \ y=\sin t, \ z=1, \ 0 \leq t \leq 2\pi$

   (ii)

   $\oint_C (x+z)dx + (y+z)dy +sinzdz$, $C: \ x^2+y^2 = 4, \ z=2$

8. Korzystając z twierdzenia Stokesa oblicz ($C$ zorientuj jakkolwiek):

   (a)

   $\oint_C ydx+zdy+xdz$, $C: \$trójkąt o wierzchołkach $(0,0,1), \ (0,1,1), \ (1,0,0)$.

   (b)

   $\oint_C zdx + xdy + ydz$, gdzie $C$ jest przecięciem powierzchni o równaniu $z=xy$ z walcem $x^2+y^2=9$.

   (c)

   $\oint_C (z^2-xy-y^2)dx + y^2lnydy + (x+y)sin5zdz$, gdzie $C$ jest przecięciem płaszczyzny $x+y+z=4$ z płaszczyznami układu.