Funkcje zmiennej zespolonej

1. Dwiema metodami oblicz pochodną funkcji $f$ jeśli
   a) $f(z)=z^3+2z$ b) $f(z)=\frac{2z}{z^3-1}$
2. Wykaż, że $f(z)=Rez$ nie ma pochodnej w żadnym punkcie płaszczyzny.
3. Sprawdź, czy funkcja
   (a) $f(z)=x-y+i(y-x)$
   (b) $f(z) = x - y + i(x + y)$
   jest różniczkowalna?
4. Oblicz promień zbieżności szeregu $\sum{\frac{z^{2n}}{3^n}}$. W obliczeniach wykorzystywany jest wzór $r = \frac{1}{\lambda}$, gdzie $\lambda = \lim sup{\sqrt[n]{\mid a_n \mid }}$. Wskaż, w którym miejscu rozumowania interweniuje fakt, że w definicji $\lambda$ występuje granica górna, a nie zwykła granica ciągu?
5. Który z szeregów:
   
   $$\sum{\frac{z^n}{2^n}} \ \ \ \sum{\frac{z^n}{n^n}}$$
   
   
   definiuje funkcję całkowitą?
6. Znajdź funkcję holomorficzną $f$, taką że $Ref(z)=x^3-3xy^2$ dwiema metodami:
   a) odgadując jedyne możliwe rozwiązanie
   b) korzystając z odpowiedniego wzoru.
7. Wykaż, że
   (a) funkcje $\sin$ i $\cos$ nie są ograniczone w ${\bf C}$
   (b) $e^z \neq 0$ dla każdego $z \in {bf C}$
   (c) $\cos z = \frac{e^{iz} + e^{-iz}}{2}$
   Z tego ostatniego wzoru wywnioskuj o okresowości funkcji $\cos$ i $\sin$, wzory redukcyjne (formalnie identyczne z wzorami redukcyjnymi rzeczywistych funkcji $\cos$ i $\sin$, wzory na kosinus i sinus sumi oraz $\sin^2z + \cos^2z = 1$ (dla $z \in {\bf C}$.
8. Oblicz całki:
   a) $\oint_{K(0;1)}z^3dz$ b) $\oint_{K(0,1)}\mid z-1\mid dz$
   c) $\int_{AB}\mid z-1\mid dz$ oraz $\int_{AB}(z-1)^5dz$ po odcinku łączącym $A(1,0)$ z $B(0,1)$
   d) $\oint_{K(-1;1)}\frac{z^2}{z+1}dz$
   e) $\oint_K \frac{cos3z}{z^2-4}dz$ gdzie $K=K(2;1)$, $K=K(0;1)$, $K=(-2;1)$.