Równania różniczkowe

1. Wykaż, że funkcja $f$ jest rozwiązaniem odpowiedniego równania różniczkowego:
   (a) $f(x)=x\sqrt{1-x^2}$ $yy'=x-2x^3$
   (b) $f(x)=x\int_0^x{\frac{\sin t}{t}}dt$ $xy'=y+x\sin x$
2. Podaj całki ogólne i szczególne poniższych równań:
   (a) $y'=xe^x\sin x$ $y(0)=\frac12$ (b) $y'=\frac{1}{1+\sqrt{x}}$ $y(0)=0$
3. Rozwiązaniem ogólnym pewnego równania różniczkowego jest funkcja $f(x)=e^x(C_1+C_2x+C_3x^2+x^3)$. Znajdż całkę szczególną spełniającą warunki początkowe $y(1)=0$, $y'(1)=1$, $y''(1)=1$.
4. Znajdź równanie różniczkowe rodziny krzywych (gdzie $k$ jest parametrem):
   (a) $y=kx^2$ (b) $r(\varphi )=\frac{k}{\sin\varphi }$
5. Narysuj pole kierunków równania
   (a) $y'=x^2+2y^2$ (b) $y'=x^2-y^2$.
6. Rozwiąż równania:
   (a) $sin^2x+(y')^2=1$ (b) $xy'+(1+y^2)arctgy=0$
   (c) $1-x^2-xyy'=0$
7. Znajdź całki szczególne równań:
   (a) $(1+e^x)y\frac{dy}{dx}=e^x$, $y(1)=1$
   (b) $\sin{2x}dx - y\cos^3{2x}dy=0, \ \ \ y(0)=2$
   (c) $y' = 2y - e^{2x}sinx + x^2e^{2x}, \ \ \ y(0)=1$
8. Rozwiąż równania
   (a) jednorodne: $y'(x+y)+x-y=0$, $xy'=yln\frac{y}{x}$, $xyy'+x^2+y^2=0$
   (b) sprowadzalne do jednorodnych:
   $(2x-y-1)y'=x-2y+1$, $x+y-2+(x-y+4)y'=0$,
   $x-y+1-(x+2y-1)y'=0$, $x+y+1-(x+y-2)y'=0$
   $(x+y)dx+(3x+3y-4)dy$, $y(1)=0$
9. Rozwiąż równania:
   $\frac{dy}{dx} +y=x^2-3x+2$, $y'-y=xe^{2x}$, $y'+4y=5sin3x$
10. Znajdż całki szczególne równań:
    $\frac{dy}{dx} =5y+e^{5x}$ $y(\frac15 )=e$
    $y'+y=sinx$ $y(\pi)=\frac12$
11. Wyznacz czynnik całkujący i rozwiąż równania różniczkowe wiedząc, że istnieje czynnik całkujący zależny od jednej zmiennej.
    
    $$xy^2+y-xy'=0 \ \ \ \ y^2+(xy-1)y'=0$$
    
    
    
    
    $$x^2-y+xy'=0 \ \ \ \ x^2-3y^2+xyy'=0$$
    
    
    
    
    $$\sin x+e^y+y'x\cos x=0$$
    
    

12. Wykaż, że dla równania
    
    $$P(x,y)+Q(x,y)y'=0$$
    
    
    (gdzie $P$ i $Q$ są funkcjami klasy $C^1$ w $D\subset {\bf R}$) istnieje czynnik całkujący postaci $f(x)g(y)$ jeśli istnieją funkcje $\varphi$ i $\psi$ spełniające równanie
    
    $$\frac{\partial P(x,y)}{\partial y} - \frac{\partial Q(x,y)}{\partial x} =\varphi (x)Q(x,y) - \psi (y)P(x,y)$$
    
    
    i wtedy $f(x)=e^{\int \varphi(x)dx}$ i $g(y)=e^{\int \psi (y)dy}$. Korzystając z powyższego, znajdż czynnik całkujący i rozwiąż równanie
    (a) $3xy^2dx+4x^2ydy=0$
    (b) $(y\cos{xy} + \sin{xy})dx + (x\cos{xy} + 2\sin{xy})dy=0$
13. Rozwiąż równania:
    
    $$y'+\frac{y}{x} =ay^2lnx \ \ \ \ 2xyy'+x=y^2$$
    
    
    
    
    $$\frac{y'}{\sqrt{y}}+4x\sqrt{y}=2xe^{-x^2} \ \ \ \ (\frac{x^2}{y}-y^3)y'=x$$
    
    

14. Rozwiąż równania:
    
    $$y''=\frac{y'}{x}+xsinx \ \ \ \ (1+x^2)y''+2xy'=x^3$$
    
    
    
    
    $$y''^2-4y'=0 \ \ \ \ (1+x^2)y''+y'^2=-1$$
    
    
    
    
    $$y^3y''+1=0 \ \ \ \ y''(y-1)=2y'^2$$
    
    
    
    
    $$yy''-y'^2=6xy^2 \ \ \ \ (y'+2y)y''=y'^2$$
    
    
    
    
    $$y''(1+y^2)=yy'^2$$
    
    

15. Sprawdż, że jeśli $p^2-4q=0$ wtedy $e^{\lambda x}$ oraz $xe^{\lambda x}$ są dwoma liniowo niezależnymi rozwiązaniami równania
    
    $$y''+py'+qy=0$$
    
    
    (gdzie $\lambda$ jest jedynym rozwiązaniem równania charakterystycznego).
16. Podaj rozwiązania ogólne równań różniczkowych:
    
    $$y''+3y'-y=0 \ \ \ \ y''+4y'+3y=0$$
    
    
    
    
    $$y''+6y'+5y=0 \ \ \ \ y''-5y'+y=0$$
    
    
    
    
    $$y''-y'+3y=0 \ \ \ \ y''+2y'+10y$$
    
    

17. Dla równań z zadania poprzedniego znajdż rozwiązania spełniające warunki początkowe
    
    $$(a)\ \ y(0)=y'(0)=0\ \ \ \ \ (b)\ \ y(0)=0,\ \ y'(0)=1$$
    
    

18. Wykaż, że jeśli $\phi$ jest całką szczególną równania
    
    $$y''+p(x)y'+q(x)y=f(x)$$
    
    
    zaś $\psi$ równania
    
    $$y''+p(x)y'+q(x)y=g(x)$$
    
    
    wówczas $\phi + \psi$ jest całką szczególną równania
    
    $$y''+p(x)y'+q(x)y=f(x)+g(x)$$
    
    

19. Wykaż, że jeśli są różnymi pierwiastkami równania
    
    $$y^{(n)}+p_{n-1}y^{(n-1)}+...+a_0y=0$$
    
    
    wtedy funkcje $e^{\lambda_1x}, ... ,e^{\lambda_nx}$ tworzą układ podstawowy tego równania.
20. Rowiąż (jeśli się da, to zarówno metodą wariacji stałych jak i metodą przewidywania) równania:
    
    $$y''-8y'+16y=xe^{2x} \ \ \ \ y''-2y'+y=\frac{e^x}{x}$$
    
    
    
    
    $$y''-2y'+2y=e^xcosx \ \ \ \ y''+y'+y=e^{\frac{x}{2}}sin\frac{\sqrt{3}x}{2}$$
    
    
    
    
    $$y''-4y'+4y=x^2-x \ \ \ \ y''+4y=4cosx +3sinx +sin2x-8$$
    
    
    
    
    $$y''+4y=cos^2x \ \ \ \ y'''-y''+y'-y=xe^x-e^{-x}+7$$
    
    
    
    
    $$y'''-3y''-3y'-y=e^x-x+16 \ \ \ \ 16y^{(4)}-y=e^{x//2}$$
    
    
    
    
    $$y''-3y'+2y=e^{3x}//(1+e^x)$$
    
    

21. Rozwiąż w przedziale $(0,+\infty )$ równanie
    
    $$x^2y''-xy'+y=4lnx$$
    
    
    wiedząc, że $y_1=x$ oraz $y_2=xlnx$ tworzą układ fundamentalny rozwiązań równania $x^2y''-xy'+y=0$
22. Rozwiąż:
    
    $$y''+y=8cos2x-4\sin x \ \ \ \ y(\pi //2)=-1, \ \ y'(\pi //2)=0$$
    
    
    
    
    $$y^{(4)}-y'''=x+e^x \ \ \ y(0)=0, \ \ y'(0)=0 \ \ y'''(0)=0 \ \ y'''(0)=0$$
    
    

23. Sprowadż poniższe układy równań liniowych do równań liniowych odpowiedniego rzędu:
    
    $$\left\{ \begin{array}{cccccc} y' & + & 2z & & = x\\ z' & - & 2y & + z & = & \cos x \end{array} \right .$$
    
    
    
    
    $$\left\{ \begin{array}{ccccccccc} x' & - & x & + & y & - & z ... ... & - & 2x & + & y & - & z & = & \cos t \end{array} \right .$$
    
    

24. Niech $D:(a,b) \rightarrow {\bf R^{n\times n}}$,
    
    $$D= \left( \begin{array}{cccc} y^{(1)}_1 & y^{(1)}_2 & ... &... ... y^{(n)}_1 & y^{(n)}_2 & ...& y^{(n)}_n \end{array} \right)$$
    
    
    Wykaż, że jeżeli $(i=1,...,n)$, są rozwiązaniami układu równań liniowych jednorodnych:
    
    $$(J) \ \left\{ \begin{array}{ccc} y_1'+a_{11}y_1+ & ... & a_... ...'_n+a_{n1}y_1+ & ... & a_{nn}y_n = 0 \end{array} \right.$$
    
    
    i $detD(x_0)\neq 0$ dla pewnego $x_0 \in (a,b)$, wtedy $detD(x)\neq 0$ dla każdego $x\in (a,b)$.
25. Sprawdź, że funkcje
    (a) $f,g,h:{\bf R} \rightarrow {\bf R}$ (b) $f,g:{\bf R} \rightarrow {\bf R}$
    są liniowo niezależnymi rozwiązaniami ukladu $x'=Ax$, gdzie
    (a) $A=\left[ \begin{array}{ccc} 2 & 0 & 1\\ 1 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{array} \right]$ (b) $A = \left[ \begin{array}{cc} 1 & 0\\ 1 & 1 \end{array} \right]$
26. Rozwiąż układy równań:
    (a) $x'=-x+y+z$, $y'=x-y+z$, $z'=x+y-z$
    (b) $x' = -y, \ \ \ y'= 2x - 3y$
    (c) $x' = z, \ \ \ y'=3x+7y-9z, \ \ ż'=2y-z$
    (d) $x'=-4x+y, \ \ \ y' = -x-y$
    (e) $x'=5x-6y-6z, \ \ \ y'=-x+4y+2z,\ \ ż' = 3x - 6y-4z$
    (f) $x'=-2x-5y, \ \ \ y' = x + 2y$
    (g) $x'=y+z, \ \ \ y'=-x+z, \ \ ż = -x - y$
    (h) $x'=y, \ \ \ y'=-9x+6y,\ \ \ x(0)=1,\ y(0)=4$
    (i) $x'=\left[ \begin{array}{cc} 1 & 0\\ 1 & 1 \end{array} \right] x + \left[ \begin{array}{c} 2 \\ 3 \end{array} \right]$
    (j) $x'=\left[ \begin{array}{ccc} -9 & 2 & 6\\ 5 & 0 & -3\\ -16 & 4 & 11 \end{array} \right] x + \left[ \begin{array}{c} 2 \\ 2 \\ 3 \end{array} \right]$
    (k) $x'=\left[ \begin{array}{cc} 0 & 1\\ 2 & 1 \end{array} \right] x + \left[ \... ...ay} \right] , \ \ \ x(0)=\left[ \begin{array}{c} -1\\ 1,7 \end{array} \right]$
    (l) $x'=\left[ \begin{array}{cc} -2 & -5\\ 1 & 0 \end{array} \right] x + \left[ \begin{array}{c} 3 \\ -2 \end{array} \right]$
    (m) $x'+x+y=t^2$, $y'+y+z=2t$, $z'+z=t$
    (n) $tx'-x-3y=t$ $ty'-x+y=0$
    (o) $tx'+6x-y-3z=0$ $ty'+23x-6y-9z=0$ $tz'+x+y-2z=0$
    (p) $x'+5x+y=e^t$ $y'+3y-x=e^{2t}$