Wiadomości wstępne

1. Sprawdż, że poniższe zdania są tautologiami:

   $p\wedge (\sim p)$ - zasada wyłączonego środka

   $(p\Rightarrow q)\Leftrightarrow (\sim q\Rightarrow \sim p)$ - zasada transpozycji

   $\sim (\sim p)\Leftrightarrow p$ - zasada podwójnego zaprzeczenia

   $(p\Rightarrow q)\Leftrightarrow (\sim p)\vee q$

   - prawa de Morgana
   

2. Zaprzecz formy zdaniowe

   (a) $\forall x\in X$ $\phi (x)$ (b) $\exists x \in X \phi (x)$
   

3. Znajdź zbiory:

   (a)

   $\bigcap _{x\in (1,2)}(x^2+1,8-x)$

   (b)

   $\bigcup_{x\in (1,2)}<x^2+1,8-x>$
   

4. Wykaż, że w zbiorze liczb rzeczywistych $M$ jest kresem górnym zbioru $A$ wtedy i tylko wtedy gdy

   1. $\forall x\in A$ $x\leq M$

   2. $\forall x<M$ $\exists y\in A$ $:$ $x<y$.
   Sformułuj odpowiednie warunki dla kresu dolnego.
   

5. Wykaż, że $\sqrt 2$ ( $\sqrt(3), \ \sqrt{5}$) nie jest liczbą wymierną.
   
6. Korzystając z zasady indukcji matematycznej wykaż wzory:
   
   
   $$1+2+...+n=\frac{n(n+1)}{2}$$
   
   
   
   
   $$1^2+2^2+...+n^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$$
   
   
   
   
   $$1^3+2^3+...+n^3=(\frac{n(n+1)}{2})^2$$
   
   
   
   
   $$(1+p)^n\geq 1+np \mbox{, o ile }p>-1$$
   
   

7. Przedstaw w postaci trygonometrycznej liczby zespolone:

   $1$ $-1$ $1+i$ $-i$ $\sqrt3-i$
   

8. Oblicz:

   $(1-i)^7$ $(\frac{1}{2}-\frac{\sqrt 3}{2}i)^5$ $(1-\sqrt 3i)^3$
   

9. Wyraź przy pomocy $\sin \alpha$ i $\cos \alpha$

   (a) $\sin 3\alpha$ (b) $\cos 4\alpha$.
   

10. Podaj interpretację geometryczną zbiorów:
    
    
    $$A=ż\in {\bf C}:\mid z\mid \geq 2\}$$
    
    
    
    
    $$B=ż\in {\bf C}\mid 2<\mid z\mid \leq 3,\mbox{ \ }\frac{\pi}{6}\leq argz\leq \frac{7\pi }{4}\}$$
    
    

11. Oblicz: (a) $\sqrt {1-\sqrt3i}$ (b) $\sqrt [4]{i}$ (c) $\sqrt [3]{-i}$ (d) $\sqrt [6]{1}$
    
12. Rozwiąż równania w ${\bf C}$:
    
    
    $$x^2+x+1=0 \mbox{\ \ \ \ \ } x^2+(1-2i)x-2i=0$$
    
    

13. Niech $l: \ 2x+3y=4$ będzie prostą a $M(2,1)$ punktem płaszczyzny.
    Napisz równanie prostej praechodzącej przez $M$ oraz

    -

    prostopadłej do $l$

    -

    równoległej do $l$.

14. Dane są cztery punkty w przestrzeni: $A(1,1,1), \ B(2,3,0), \ C(1,1,2), \linebreak M(5,3,1)$. Napisz równania:

    -

    płaszczyzny $\pi$ w której leżą $A, \ B$ i $C$,

    -

    prostej prostopadłej do $\pi$ przechodzącej przez $M$.

    -

    płaszczyzny $\pi '$ równoległej do $\pi$ przechodzącej przez $M$,

    -

    sfery o środku w $M$ stycznej do $\pi$.

    Oblicz

    -

    $\cos \alpha$ i $\sin \alpha$, gdzie $\alpha$ jest kątem pomiędzy wektorami $\vec{AB}$ oraz $\vec{AC}$,

    -

    objętość równoległościanu którego krawędziami są odcinki $AB, \ AC$ i $AM$.

    Równania płaszczyzn i prostych należy podać w postaci normalnej i parametrycznej.
15. Wykaż, że dla dowolnej funkcji $f:X\rightarrow Y$, podzbiorów $A_1$, $A_2$ , $A_i$ $(i\in I)$ zbioru $X$ oraz $B_1$, $B_2$ i $B_j$ $(j\in J)$ zbioru $Y$ zachodzą związki:
    (a) $A_1\subset A_2\Rightarrow f[A_1]\subset f[A_2]$
    (b) $f[\bigcup _{i\in I}A_i]=\bigcup _{i\in I}f[A_i]$
    (c) $f[\bigcap _{i\in I}A_i]\subset \bigcap _{i\in I}f[A_i]$
    (d) $B_1\subset B_2\Rightarrow f^{-1}[B_1]\subset f^{-1}[B_2]$
    (e) $f^{-1}[\bigcup _{j\in J}B_j]=\bigcup _{j\in J}f^{-1}[B_j]$
    (f) $f^{-1}[\bigcap _{j\in J}B_j]=\bigcap _{j\in J}f^{-1}[B_j]$
    (g) $f[A_1]-f[A_2]\subset f[A_1-A_2]$ ($\subset$ można zastąpić przez $=$ gdy $f$ jest odwracalna).
    
16. Dla dowolnej funkcji $f:X\rightarrow Y$ wykaż, że
    (i) $f$ jest suriekcją wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje funkcja $g:Y\rightarrow X$, taka że $f\circ g=id_Y$
    (ii) $f$ jest iniekcją wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje funkcja $h:Y\rightarrow X$, taka że $h\circ f=id_X$
    
17. Niech $f:A\rightarrow A$, gdzie $A$ jest zbiorem skonczonym. Wykaż, że następujące zdania są równoważne:
    (i) $f$ jest iniekcją.
    (ii) $f$ jest suriekcją.
    (iii) $f$ jest bijekcją.
    
18. Wykaż prawdziwość wzorów:
    
    $$arcsinx+arccosx=\frac {\pi }{2}$$
    
    
    
    
    $$arctgx+arcctgx=\frac {\pi }{2}$$
    
    
    
    
    $$arcctgx=arctg\frac{1}{x} \mbox { \ dla \ }x>0$$
    
    
    
    
    $$arcctgx=\pi +arctg1/ź \mbox { \ dla \ } x<0$$
    
    

19. Mówimy, że zbiory $A$ i $B$ są równoliczne jezeli istnieje bijekcja $f:A\rightarrow B$. Wykaż, że: (a) Przedziały $(0,1)$ i $(2,8)$ są równoliczne.
    (b) Przedział $(-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2})$ i ${\bf R}$ sa równoliczne.
    Udowodnij, że jeśli $A\subset B$, $A\neq B$, $A$ i $B$ są równoliczne, wtedy $A$ jest zbiorem nieskończonym.