next up previous contents
Next: Rachunek r�niczkowy funkcji jednej Up: Zadania z matematyki dla Previous: Wiadomo�ci wst�pne   Contents

Granice i ci�g�o�� funkcji

  1. Podaj definicje Heinego i Cauchy'ego granicy \(\lim_{x\rightarrow
{a}}f(x)=b\), gdzie \(a,b\in{\bf\bar{R}}\).
  2. Wyka� r�wnowa�no�� definicji Heinego i Cauchy'ego granicy funkcji (tak�e w przypadku granic niew�a�ciwych).
  3. Znajd� granic� \(\lim_{x\rightarrow{0}}\)\(x^{a}\), \(a>0\).
  4. Korzystaj�c z definicji Heinego granicy funkcji wyka�, �e
    (a) \(\lim_{x\rightarrow{1}}(x^2-2x+3)=2\)
    (b) \(\lim_{x\rightarrow{2}}\frac{x\stackrel{2}{ }-4}{x-2}=4\)
    (c) \(\lim_{x\rightarrow{0}}\sin (1/�)\) nie istnieje.
  5. Korzystaj�c z definicji Cauchy'ego granicy, wyka�, �e

    \begin{displaymath}\lim_{x\rightarrow{0}}(2^x-1)=0\end{displaymath}

    .
  6. Oblicz granice: \(\lim_{x\rightarrow{0}}\frac{\sin 5x}{\sin 2x}\), \(\lim_{x\rightarrow{0}}\frac{\arcsin x}{x}\), \(\lim_{x\rightarrow{0}}
\frac{\mbox{arctg} 2x}{\sin 3x}\),

    \begin{displaymath}\lim_{x\rightarrow{0}}(1+\sin x)^{1/�}\end{displaymath}

  7. Udowodnij, �e: (i) \(\lim_{x\rightarrow{0}}\frac{\ln (1+x)}{x}=1\), (ii) \(\lim_{x\rightarrow{0}}\frac{a^x-1}{x}=\ln a\).
  8. Oblicz granice: \(\lim_{x\rightarrow{0}}\frac{\log (1+10x)}{x}\), \(\lim_{x\rightarrow{0}}\frac{1-e^{-x}}{\sin x}\), \(\lim_{x\rightarrow\infty}(1-\frac{1}{x})^x\), \(\lim_{x\rightarrow\infty}(1+\frac{1}{x^2})^x\).
  9. Wyka� ci�g�o�� funkcji $\cos x$ (w R) i \(\sqrt{x}\) (w \({\bf R}^+\)).
  10. Dla jakiej warto�ci a funkcja

    \begin{displaymath}f(x)=\left\{\begin{array}{ll}
\frac{x^2-4}{x-2} & dla\ x\neq2\\
a & dla\ x=2
\end{array}
\right.\end{displaymath}


    jest ci�g�a.
  11. Zdefiniuj warto�ci poni�szych funkcji w 0 tak, by by�y ci�g�e w R: \(f(x)=x^2\sin \frac{1}{x}\),
    \(g(x)=\frac{e^x-e^{-x}}{x}\).
  12. Zbadaj ci�g�o�� funkcji : \(y=\frac{x}{\vert x\vert}\), \(y=e^{-\frac{1}{x^2}}\),

    \begin{displaymath}y=\left\{\begin{array}{ll}
x^2 & dla \ x\leq3\\
2x+1 & dla \ x>3
\end{array}
\right.\end{displaymath}

  13. Zbada� ci�g�o�� i narysuj wykresy funkcji :
    (a) \(x\sin \frac{1}{x}\) (b) sgnx.
  14. Wyka�, �e r�wnanie \(x^{3}-3x+1\) ma pierwiastek rzeczywisty. Znajd� jego warto�� przybli�on�.
  15. Wyka�, �e je�li ci�gi \((f_{n})\) i $(g_{n})$ funkcji, $f_n,$ , $g_n:X\rightarrow {\bf R}$, $n\in {\bf N}$, s� jednostajnie zbie�ne do funkcji $f$ i $g$ to
    (A) ci�g \((f_{n}+g_{n})\) jest jednostajnie zbie�ny do \(f+g\)
    (B) ci�g \((f_{n}-g_{n})\) jest jednostajnie zbie�ny do \(f-g\)
    (C) ci�g \(max\{f_{n},g_{n}\}\) jest jednostajnie zbie�ny do \( max\{f,g\}\)
    (D) ci�g \(min\{f_{n},g_{n}\}\) jest jednostajnie zbie�ny do \(min\{f,g\}\),
    gdzie \(max\{f,g\}(x)=max\{f(x),g(x)\}\).
  16. Czy ci�g funkcyjny
    (a) \((\frac{1}{1+nx^{2}})_{n\in{\bf N}}\) , dla \(x\in{\bf R}
\), (b) \((\sqrt{x+n+1}-\sqrt{x+1})_{n\in{\bf N}}\) , dla \(x\in{\bf R^+}\) ,
    (c) \(x^{n}-x^{2n}\), \(0\leq{x}\leq1\) , (d) \(x^{n}-x^{n+1}\), \(0\leq{x}\leq1\) ,
    (e) \(\sqrt{x^{2}+\frac{1}{n^{2}}} \), \(x\in{\bf R}
\) , (f) \(\frac{nx}{1+n+x} , 0\leq{x}\leq1\) ,
    (g) \(n(\sqrt{x+\frac{1}{n}}) \), \(x\in{\bf R}
\).
    jest jednostajnie zbie�ny ?
  17. Oblicz odleg�o�� Czebyszewa funkcji \(f,g:X\rightarrow{Y}
\) je�eli \(X=<0,1> \), \(Y={\bf R}\), \(f(x)=e^x \), \(g(x)=x\).

next up previous contents
Next: Rachunek r�niczkowy funkcji jednej Up: Zadania z matematyki dla Previous: Wiadomo�ci wst�pne   Contents