Next: Rachunek różniczkowy funkcji jednej Up: Zadania z matematyki dla Previous: Wiadomości wstępne Contents

Granice i ciągłość funkcji

Podaj definicje Heinego i Cauchy'ego granicy $\lim_{x\rightarrow {a}}f(x)=b$ , gdzie $a,b\in{\bf\bar{R}}$ .
Wykaż równoważność definicji Heinego i Cauchy'ego granicy funkcji (także w przypadku granic niewłaściwych).
Znajdź granicę $\lim_{x\rightarrow{0}}$ $x^{a}$ , $a>0$ .
Korzystając z definicji Heinego granicy funkcji wykaż, że
(a) $\lim_{x\rightarrow{1}}(x^2-2x+3)=2$
(b) $\lim_{x\rightarrow{2}}\frac{x\stackrel{2}{ }-4}{x-2}=4$
(c) $\lim_{x\rightarrow{0}}\sin (1/ź)$ nie istnieje.
Korzystając z definicji Cauchy'ego granicy, wykaż, że

$\begin{displaymath}\lim_{x\rightarrow{0}}(2^x-1)=0\end{displaymath}$

.
Oblicz granice: $\lim_{x\rightarrow{0}}\frac{\sin 5x}{\sin 2x}$ , $\lim_{x\rightarrow{0}}\frac{\arcsin x}{x}$ , $\lim_{x\rightarrow{0}} \frac{\mbox{arctg} 2x}{\sin 3x}$ ,

$\begin{displaymath}\lim_{x\rightarrow{0}}(1+\sin x)^{1/ź}\end{displaymath}$
Udowodnij, że: (i) $\lim_{x\rightarrow{0}}\frac{\ln (1+x)}{x}=1$ , (ii) $\lim_{x\rightarrow{0}}\frac{a^x-1}{x}=\ln a$ .
Oblicz granice: $\lim_{x\rightarrow{0}}\frac{\log (1+10x)}{x}$ , $\lim_{x\rightarrow{0}}\frac{1-e^{-x}}{\sin x}$ , $\lim_{x\rightarrow\infty}(1-\frac{1}{x})^x$ , $\lim_{x\rightarrow\infty}(1+\frac{1}{x^2})^x$ .
Wykaż ciągłość funkcji $\cos x$ (w R) i $\sqrt{x}$ (w ${\bf R}^+$ ).
Dla jakiej wartości a funkcja

$\begin{displaymath}f(x)=\left\{\begin{array}{ll} \frac{x^2-4}{x-2} & dla\ x\neq2\\ a & dla\ x=2 \end{array} \right.\end{displaymath}$

jest ciągła.
Zdefiniuj wartości poniższych funkcji w 0 tak, by były ciągłe w R: $f(x)=x^2\sin \frac{1}{x}$ ,
$g(x)=\frac{e^x-e^{-x}}{x}$ .
Zbadaj ciągłość funkcji : $y=\frac{x}{\vert x\vert}$ , $y=e^{-\frac{1}{x^2}}$ ,

$\begin{displaymath}y=\left\{\begin{array}{ll} x^2 & dla \ x\leq3\\ 2x+1 & dla \ x>3 \end{array} \right.\end{displaymath}$
Zbadać ciągłość i narysuj wykresy funkcji :
(a) $x\sin \frac{1}{x}$ (b) sgnx.
Wykaż, że równanie $x^{3}-3x+1$ ma pierwiastek rzeczywisty. Znajdź jego wartość przybliżoną.
Wykaż, że jeśli ciągi $(f_{n})$ i $(g_{n})$ funkcji, , $g_n:X\rightarrow {\bf R}$ , $n\in {\bf N}$ , są jednostajnie zbieżne do funkcji i to
(A) ciąg $(f_{n}+g_{n})$ jest jednostajnie zbieżny do $f+g$
(B) ciąg $(f_{n}-g_{n})$ jest jednostajnie zbieżny do $f-g$
(C) ciąg $max\{f_{n},g_{n}\}$ jest jednostajnie zbieżny do $max\{f,g\}$
(D) ciąg $min\{f_{n},g_{n}\}$ jest jednostajnie zbieżny do $min\{f,g\}$ ,
gdzie $max\{f,g\}(x)=max\{f(x),g(x)\}$ .
Czy ciąg funkcyjny
(a) $(\frac{1}{1+nx^{2}})_{n\in{\bf N}}$ , dla $x\in{\bf R}$ , (b) $(\sqrt{x+n+1}-\sqrt{x+1})_{n\in{\bf N}}$ , dla $x\in{\bf R^+}$ ,
(c) $x^{n}-x^{2n}$ , $0\leq{x}\leq1$ , (d) $x^{n}-x^{n+1}$ , $0\leq{x}\leq1$ ,
(e) $\sqrt{x^{2}+\frac{1}{n^{2}}}$ , $x\in{\bf R}$ , (f) $\frac{nx}{1+n+x} , 0\leq{x}\leq1$ ,
(g) $n(\sqrt{x+\frac{1}{n}})$ , $x\in{\bf R}$ .
jest jednostajnie zbieżny ?
Oblicz odległość Czebyszewa funkcji $f,g:X\rightarrow{Y}$ jeżeli $X=<0,1>$ , $Y={\bf R}$ , $f(x)=e^x$ , $g(x)=x$ .

Next: Rachunek różniczkowy funkcji jednej Up: Zadania z matematyki dla Previous: Wiadomości wstępne Contents