Rachunek różniczkowy funkcji jednej zmiennej rzeczywistej

1. Wyjaśnij co oznacza: $f(x)=o(1) \ \ (x\rightarrow x_0)$.
2. Uzasadnij wzory:

   $o(1)+O(1)=O(1) \ \ \ (x\rightarrow x_0)$

   $O(1)+O(1)=O(1) \ \ \ (x\rightarrow x_0)$

   $o((x-x_0)^n)=(x-x_0)^n o(1) \ \ \ (x\rightarrow x_0)$

   $O((x-x_0)^n)=(x-x_0)^n O(1) \ \ \ (x\rightarrow x_0)$

   $\sin 3x=3x+o(x) \ \ \ (x->0)$

3. Znajdź rzędy nieskonczenie małych:

   $\sin x \ \ \ (x\rightarrow 0)$

   $x^3 +tgx \ \ \ (x\rightarrow 0)$

4. Mówimy, że funkcje $f$ i $g$ są równoważne dla $x\rightarrow x_0$, jezeli istnieje taka funkcja $h$ , że $f(x)=g(x)h(x)$, $h(x)\rightarrow 1$ dla $x\rightarrow x_0$. Piszemy wtedy $f \sim g$, ( $x\rightarrow x_0$).
   Wykaż, że:

   $x^k \sim x^k$, $(x \rightarrow 0)$

   $\sin x \sim x$, $(x \rightarrow 0)$

   $2\sin x \sim x+x\cos x$, $(x \rightarrow 0)$

   $1-\cos x \sim (x^2//2)$, $(x \rightarrow 0)$

   Mówimy, że $Ax^n$ jest częścią główną funkcji $f$ dla $x\rightarrow x_0$ jeśli $f(x) \sim Ax^n$, $x \rightarrow 0$.
   Określ $a$ i $b \in {\bf R}, \ a > 0$, tak by funkcja $x \rightarrow ln(a+x)+\sqrt{a+x}$ była nieskończenie małą możliwie najwyższego rzędu. Jaka jest wtedy jej część głowna?
5. Z definicji oblicz pochodne funkcji: (a) $x^2$ (b) $1/ź$ (c) $\sqrt[3]{x}$ (d) $tgx$ (e) $arccosx$
6. Wykaż, że jeśli $f$ jest różniczkowalna w $x$, to
   

   $$\lim_{n\rightarrow +\infty}n[f(x+1/ń)-f(x)]=f'(x).$$ (5.1)

   
   
   Posłuż się funkcją Dirichleta
   
   $$D(x)=\left\{ \begin{array}{lll} 1 & \mbox{dla} & x \in {\b... ... 0 & \mbox{dla} & x \in {\bf R}-{\bf Q} \end{array} \right.$$
   
   
   do wykazania, że spełnienie warunku () nie jest wystarczające do istnienia pochodnej w punkcie x .
7. Użyj różniczki do obliczenia wartości przybliżonych następujących wyrażeń:
   $\sqrt{37}, \ \ (0,9)^4//(0,9+1), \ \ tg(\pi //4 + 0,1)$.
8. Niech $f:<a,b> \rightarrow {\bf R}, \ a<b, \ \ x\in (a,b)$. Jeżeli istnieje granica
   
   $$\lim _{h\rightarrow 0^+}\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h} = f_+'(x_0)$$
   
   
   wtedy nazywamy ją pochodną prawostronną funkcji $f$ w punkcie $x_0$, jeżeli istnieje granica
   
   $$\lim _{h\rightarrow 0^-}\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h} = f_-'(x_0)$$
   
   
   wtedy nazywamy pochodną lewostronną funkcji f w punkcie $x_0$, a jeśli istnieje
   
   $$\lim _{h\rightarrow 0}\frac{f(x_0+h)-f(x_0-h)}{2h} = f_s'(x_0)$$
   
   
   nazywamy ją wtedy pochodną symetryczną funkcji $f$ w punkcie $x_0$.
   a) Udowodnij, że funkcja różniczkowalna w punkcie $x_0$, ma w $x_0$ pochodne prawo- i lewostronną.
   b) Wykaż, że jeśli $f$ ma w $x_0$ pochodną lewostronną i prawostronną, wtedy $f$ ma w $x_0$ pochodną symetryczn.
   c) Niech $f(x) = x\sin 1/ź$ dla $x\neq 0$ i $f(0)=0$. Udowodnij, że $f$ ma w $0$ pochodną symetryczną, lecz nie ma ani pochodnej prawostronnej, ani pochodnej lewostronnej w tym punkcie.
9. Niech
   
   $$f(x) = \left\{ \begin{array}{lll} x^2 & \mbox{dla} & x \leq x_0\\ ax+b & \mbox{dla} & x>x_0 \end{array} \right.$$
   
   
   Tak dobierz $a$ i $b$, żeby funkcja $f(x)$ była różniczkowalna w ${\bf R}$ .
10. Znajdź pochodne funkcji zdefiniowanych wzorami:

    $f(x)=\frac{x}{(1-x)^2(1+x^3)} \ \ f(x)=\sqrt{x+\sqrt{x+\sqrt{x}}} \ \ f(x)=\sqrt[3]{\frac{1+x^3}{1-x^3}}$

    $f(x)=\sin (\cos^2x)\cos (\sin^2x) \ \ f(x)=2^{tg(1/ź)} \ \ f(x)=e^x+e^{e^x}\\ +e^{e^{e^x}}$

    $f(x)=ln(ln(lnx)) \ \ f(x)=ln\sqrt{\frac{1-sinx}{1+cosx}} \ \ f(x)=arccos(1-x)//\sqrt{2}$

    $f(x)=ln(1+\sin^2x)-(\sin x)(arctg(\sin x)) \ \ f(x)=arctg(x+\sqrt{1+x^2}) \ \ f(x)=\sqrt[x]{x}$

    $f(x)=x^{x^{a}}+x^{a^x}+a^{x^{x}}c \ \ f(x)=log_xe \ \ f(x)=\mid \sin^3x\mid .$

    W każdym z przykładów $f$ jest funkcja rzeczywistą o wartościach rzeczywistych i dziedzinie naturalnej.
11. Niech
    
    $$f(x)=\left\{ \begin{array}{ccc} \frac{3-x^2}{2} & \mbox{dl... ... 1/ź & \mbox{dla} & x \in <1,+\infty). \end{array} \right.$$
    
    
    Wykaż, że $f$ spełnia w $<0,2>$ założenia twierdzenia Lagrange'a i wskaż $c$, dla którego $f(2)-f(0)=2f'(c)$.
12. Wykaż nierówności:

    (a)

    $xlnx+ylny \geq (x+y)ln\frac{x+y}{2} \ \ \ \mbox{dla} \ \ x>0, y>0$

    (b)

    $e^x \geq 1+x \ \ \ \mbox{dla} x>0$

    (c)

    $x-x^3 //6 < \sin x < x \ \ \ \mbox{dla} x>0$.

13. Oblicz następujące granice:

    $\lim_{x\rightarrow 0}(\cos x-e^{-x^2//2})/ź^4 \ \ \ \lim_{x\rightarrow +\infty}x^{3//2}(\sqrt{x+1} + \sqrt{x-1} - 2\sqrt{x})$

    $\lim_{x\rightarrow +\infty}(\sqrt[6]{x^6+x^5} - \sqrt[6]{x^6-x^5}) \ \ \ \lim_{x\rightarrow 0}(1-(\cos x)^{\sin x})/ź^3$

    $\lim_{x\rightarrow -\infty}(1/ę^x - x^2) \ \ \ \lim_{x\rightarrow (\pi //2)+}(\sin ^2x)^{tgx}$

14. Dla jakich wartości $x$ wielomian $1-x^2//2$ przybliża funkcję $\cos x$ z dokładnością do co najmniej $0,0001$.
15. Oblicz z pomocą wzoru Taylora, następujące wielkości:

    $e$ z dokładnością do $10^{-9}$

    $\sin 1^o$ ż dokładnością do $10^{-8}$

    $\log 11$ z dokładnością do $10^{-5}$

16. Zbadaj wykresy funkcji:
    $y=(x-2)//\sqrt{x^2 +1} \ \ \ y=lnx//\sqrt{x} \ \ \ y=(1+x^2)e^{-x^2} \\ y=ln(x+\sqrt{x^2+1})$.