Przestrzenie refleksywne

Jest oczywiste, że każdy zbiór zwarty w przestrzeni Banacha $\mathcal{B}$ jest także słabo zwarty. Odwrotnie nie jest poprawnie.
Na przykład zbiór $A\,=\,\big\{\sin\,n\alpha\in L_{2}(0,\pi):n\in Z_{+};\,\alpha\in [0,\pi)\big\}$ jest słabo zwartym w $L_{2}(0,\pi)$, lecz nie jest zwartym. (W przypadku gdy $dim\,\mathcal{B}<\infty$ twierdzenie odwrotne też jest prawdziwe).

Ponieważ każdy słabo zwarty zbiór jest słabo domkniętym, to jest sens rozpatrywać związek pomiędzy domkniętymi i słabo domkniętymi zbiorami.

3.1   Lemat Każdy słabo domknięty zbiór jest domknięty w $\mathcal{B}$.

Niech $\underset{n\longrightarrow\infty}{w-\lim}\,x_{n}\,=\,\overline{x}\in A, \,x_{n}\in A\subset \mathcal{B}$ dla $n\in \mathbb{Z}_{+}$. To znaczy, że dla $\forall f\in \mathcal{B}^{*}$

$$\lim_{n\longrightarrow\infty}<f,x_{n}>\,=\,<f,\overline{x}>.$$ (3.1)

Weźmy teraz ciąg $\big\{x_{n}\in M:n\in \mathbb{Z}_{+}\big\}$ taki, że $\Vert\overline{x}-x_{n}\Vert\longrightarrow 0$ gdy $n\longrightarrow\infty$, tj. $x_{n}\longrightarrow$ silnie, i taki ciąg oczywiście istnieje. Rozpatrzmy teraz słabą granicę $\underset{n\longrightarrow\infty}{\lim}<\overline{x}-x_{n},f>\,-\,?$. Ponieważ z ()

$$\vert<\overline{x}-x_{n},f>\vert\,\leq\,\Vert f\Vert\,\Vert\overline{x}-x_{n}\Vert,$$ (3.2)

dla wszystkich $n\in \mathbb{Z}_{+}$, to z () otrzymujemy, że

$$0\,\leq\,\lim_{n\longrightarrow\infty}\vert<\overline{x}-x_{n},f>... ...\lim_{n\longrightarrow\infty}\Vert f\Vert\,\Vert\overline{x}-x_{n}\Vert\,=\,0$$

tj. $\underset{n\longrightarrow\infty}{w-\lim}\,x_{n}=\overline{x}\in A$, co znaczy że zbiór $A \subset \mathcal{B}$ jest domknięty.

Domknięty zbiór na ogół nie powinien być słabo domkniętym. Jak powyżej $A\,=\,\big\{\sin\,n\alpha:n\in Z_{+},\alpha\in[0,\pi)\big\}\,\subset L_{2}(0,\pi)$ jest domkniętym lecz nie słabo domkniętym zbiorem.

Następne twierdzenie jest charakterystyczne dla zbiorów słabo domkniętych.

3.2   Twierdzenie Każdy wypukły domknięty zbiór jest słabo domkniętym.

Dla dowodu tego twierdzenia potrzebny jest następujący lemat Mazura.

3.3   Lemat Mazura Niech $A \subset \mathcal{B}$ będzie domkniętym zbiorem oraz
$\overline{x}\in \mathcal{B}\setminus A$. Wtedy istnieje ciągły liniowy funkcjonał oddzielający ostro $\overline{x}$ oraz $A$.

Dla jego dowodu potrzebujemy niektóre własności zbiorów wypukłych w $\mathcal{B}$. Niech $A \subset \mathcal{B}$ będzie ciałem wypukłym jądra $J(A)$, które zawiera w sobie $0\in J(A)\subset A$.

3.4   Definicja Jądro $J(A)$ zbioru wypukłego $A \subset \mathcal{B}$ jest to zbiór wszystkich $x\in A$, takich że $\forall y\in B\,\exists\,\varepsilon(y)>0$, że $x+ty\in A$ jeśli $\vert t\vert<\varepsilon(y)$

3.5   Definicja Wypukły zbiór,którego jądro $J(A)$ jest niepuste nazywamy wypukłym ciałem

3.6   Definicja Funkcjonał $p:\mathcal{B}\longrightarrow \mathbb{R}$ nazywany jest jednorodnie wypukłym gdy

$$p(\alpha x+(1-\alpha)y)\,\leq\,\alpha p(x)\,+\,(1-\alpha)p(y),\qquad p(\beta x)=\beta p(x)$$ (3.3)

dla $\forall x,y\in \mathcal{B}$ i $\alpha\in [0,1],\,\beta\in R^{1}_{+}$.

3.7   Definicja (Funkcjonał Minkowskiego)
Niech $A \subset \mathcal{B}$ będzie wypukłym ciałem w $\mathcal{B}$ i $0\in J(A)$. Wtedy funkcjonał

$$\mu_{A}(x)\,:=\,inf\big\{\tau\in \mathbb{R}_{+}:x/\tau\in A,\,x\in \mathcal{B}\big\}$$ (3.4)

jest jednorodnie wypukły. Na odwrót, gdy $p_{A}:\mathcal{B}\longrightarrow \mathbb{R}$ jest jednolicie wypukłym na $B$ funkcjonałem, to zbiór

$$A_{k}\,:=\,\big\{x\in \mathcal{B}:\mu_{A}(x)\leq k\big\}$$ (3.5)

jest ciałem wypukłym, zawierającym punkt $0\in A_{k}$. Gdy $k=1$, wtedy

$$A_{k}\Big\vert _{k=1}\,\equiv\,A,$$ (3.6)

to jest

$$\mu_{A}(x)\,=\,inf\big\{\tau\in \mathbb{R}_{+}:x/\tau\in A_{1},\,x\in \mathcal{B} \big\}.$$

jądro $J(A_{k})\,=\,\big\{x\in A_{k}:\mu_{A}(x)<k\big\}$

Teraz sformułujemy następnny lemat o oddzielaniu zbiorów wypukłych. (BARDZO WAŻNY!)

3.8   Lemat Niech $M$ i $N$ będą zbiorami wypukłymi w $B$, i jądro $J(M)\neq \varnothing$ (na przykład), oraz $J(M)\cap N = \varnothing$. Wtedy istnieje nietrywialny liniowy funkcjonał na $\mathcal{B}$, który oddziela te zbiory

Mówimy, że dwa zbiory $M$ i $N$ są oddzielone przy pomocy funkcjonału liniowego $f:\mathcal{B}\longrightarrow \mathbb{R}$, gdy

$$\inf_{x\in\, M}f(x)\,\geq\,\sup_{x\in N}f(x).$$ (3.7)

Metodą przesunięcia zbiorów $N$ i $M$ można spełnić następny warunek: punkt $0\in J(M)\subset M$. Niech teraz $y_{0}\in N$, wtedy punkt $-y_{0}\in J(M-N)$, a punkt $0\in J(M-N+y_{0})$. Ponieważ $J(M)\cap N = \varnothing$, to $0\not\in J(M-N)$ i
$y_{0}\not\in J(M-N+y_{0})$.

Niech teraz $\mu_{J}:\mathcal{B}\longrightarrow \mathbb{R}_{+}$ jest funkcjonałem Minkowskiego dla zbioru $J(M-N+y_{0})$. Wtedy $\mu_{J}\geq 1$ bowiem $y_{0}\not\in J(M-N+y_{0})$ (!).

Zdefiniujmy teraz liniowy funkcjonał

$$f_{0}(\alpha y_{0})\,:=\,\alpha\mu_{J}(y_{0}),$$ (3.8)

który jest określony na jednowymiarowej przestrzeni $\big\{\alpha y_{0}\in \mathcal{B}:\alpha\in \mathbb{R}\big\}\subset \mathcal{B}$, i spełnia warunek

$$f_{0}(\alpha y_{0})\,\leq\,\mu_{J}(\alpha y_{0})\,=\,\alpha\mu_{J}(y_{0})$$ (3.9)

dla wszystkich $\alpha\in \mathbb{R}^{1}_{+}$, oraz $\alpha\in \mathbb{R}^{1}_{-}$

$$f_{0}(\alpha y_{0})\,=\,-f_{0}(y_{0})\vert\alpha\vert\,=\,-\vert\... ...0}) \,\leq\,0\,\leq\,\mu_{J}(\alpha y_{0})\,=\,\vert\alpha\vert\mu_{J}(y_{0}).$$ (3.10)

Teraz na mocy Twierdzenia Hana-Banacha funkcjonał
$f_{0}:\big\{\alpha y_{0}\in \mathcal{B}:\alpha\in \mathbb{R}\big\}\longrightarrow \mathbb{R}^{1}$ może być przedłużony do funkcjonału liniowego $f:\mathcal{B}\longrightarrow \mathbb{R}^{1}$ spełniającego następującą nierówność na $\mathcal{B}$:

$$f(y)\,\leq\,\mu_{J}(y),\qquad y\in \mathcal{B}.$$ (3.11)

Stąd wynika, że $f(y)<1$ dla $y\in J(M-N+y_{0})$ i jednocześnie $f(y)\geq 1$. Tym samym funkcjonał $f:B \longrightarrow \mathbb{R}^{1}$ oddziela zbiory $J(M-N+y_{0})$ i $\{y_{0}\}$, co znaczy, że $f$ oddziela zbiory $\{M-N\}$ i $\{0\}\subset B$. A wtedy $f$ oddziela zbiory $M$ i $N$ $\rhd$

3.9   Wniosek (o oddzielaniu zbiorów wypukłych).
Niech $A$, $B\in \mathcal{B}$ są zbiorami wypukłymi w $\mathcal{B}$, oraz na przykład $A$ jest ciałem wypukłym i jego jądro $J(A)\cap B\,=\,\varnothing$. Wtedy istnieje niezerowy funkcjonał liniowy i ciągły oddzielający zbiory $A$ i $B$.

Istnienie funkcjonału $f:\mathcal{B}\longrightarrow \mathbb{R}$, który oddziela zbiory $A$ i $B$ wynika z lematu (). Wystarczy teraz udowodnić tylko, że jest on ciągły. Rzeczywiście, ponieważ

$$\sup_{x\in A}\,f(x)\,\leq\,\inf_{x\in\,\textbf{B}}\,f(x),$$ (3.12)

to funkcjonał $f:\mathcal{B}\longrightarrow \mathbb{R}$ jest ograniczony na $A$ z góry (!). Niech $x_{0}\in J(A)$ będzie punktem wewnętrznym zbioru $A$ i $U(x_{0})\subset A$ będzie jego otoczeniem kulistym. Na podstawie () funkcjonał $f:\mathcal{B}\longrightarrow \mathbb{R}^{1}$ jest ograniczony na $U(x_{0})$ z góry. Ale wtedy jest on na $U(x_{0})$ ograniczony też z dołu !. Ponieważ funkcjonał $f:\mathcal{B}\longrightarrow \mathbb{R}^{1}$ jest ograniczony (!) na $U(x)$, jest on ciągły na $B$.

3.10   Wniosek Niech $A \subset \mathcal{B}$ jest wypukłym, domkniętym zbiorem w przestrzeni unormowanej $\mathcal{B}$ i $x_{0}\in \mathcal{B}\setminus A$. Wtedy istnieje ciągły funkcjonał liniowy oddzielający ostro zbiór $A$ i punkt $x_{0}\in \mathcal{B}\setminus A$.

Rzeczywiście, niech kula $U_{\varepsilon}(x_{0})\subset \mathcal{B}$ będzie wypukłym otoczeniem punktu $x_{0}\in \mathcal{B}\setminus A$, takie że (o promieniu $\varepsilon >0,\,x<\varepsilon_{0}$)

$$U_{\varepsilon}(x_{0})\cap A\,=\,\varnothing$$ (3.13)

i rozważmy funkcjonał $f:\mathcal{B}\longrightarrow \mathbb{R}$ ciągły, liniowy, który oddziela zbiory $A$ oraz $U_{\varepsilon}(x_{0})$. Wtedy oczywiście

$$\sup_{x\in U_{\varepsilon}(x_{0})}\,f(x)\,\leq\,\inf_{x\in\, A}\,f(x).$$ (3.14)

Przypomnijmy teraz sobie, że funkcjonał $f:\mathcal{B}\longrightarrow \mathbb{R}^{1}$ jest zdefiniowany jako funkcjonał Minkowskiego, tj.

$$f\Big(J\big(U_{\varepsilon}(x_{0})\,-\,A\,+\,y_{0}\big)\Big)\,<\,1,\qquad f(y_{0})\,\geq\,1.$$ (3.15)

dla każdego $y_{0}\in A$. Z () otrzymujemy

$$\sup_{x\in\, U_{\varepsilon}(x_{0})}\,f(x)\,\leq\,\inf_{y\in\, A}\,f(y),$$ (3.16)

dla $0\leq\varepsilon<\varepsilon_{0}$.
Zauważmy teraz, że $U_{\varepsilon}(x_{0})=x_{0}+U_{\varepsilon}(0)\subset \mathcal{B}$, gdzie $U_{\varepsilon}(0)$ jest otwartym otoczeniem zera $0\in \mathcal{B}$. Ponieważ funkcjonał $f:\mathcal{B}\longrightarrow \mathbb{R}^{1}$ jest liniowy i ograniczony na $B$, to z () znajdujemy:

$$\sup_{x\in\, U_{\varepsilon}(x_{0})}f(x)\,=\,\sup_{y\in\, U_{\va... ...\,f(x_{0})\,+\,\sup_{y\in\, U_{\varepsilon}(0)}f(y)\,\leq\,\inf_{y\in\, A}f(y)$$ (3.17)

Korzystając z tego, że

$$\sup_{y\in\, U_{\varepsilon}(0)}f(y)\,=\,\sup_{z\in\, U_{1}(0)}f(\varepsilon z)\,=\,\varepsilon\sup_{z\in\, U_{1}(0)}f(z),$$ (3.18)

z () znajdujemy, że dla $\varepsilon \geq 0,\,(\varepsilon < \varepsilon_{0})$

$$\varepsilon\sup_{z\in\, U_{1}(0)}f(z)\,\leq\,-f(x_{0})\,+\,\inf_{y\, \in A}f(y).$$ (3.19)

Ponieważ zbiór $A \subset \mathcal{B}$ jest domknięty to istnieje punkt $z_{0}\in A$ taki, że
$f(z_{0})=\underset{y\in\, A}{\sup}f(y)$. Wtedy z () otrzymujemy:

$$\varepsilon\sup_{z\in\, U_{1}(0)}f(z)\,\leq\,f(z_{0}\,-\,x_{0})$$ (3.20)

dla każdego $0\leq\varepsilon<\varepsilon_{0}$. Przy $\varepsilon=0$ z () otrzymujemy, że $f(z_{0}-x_{0})\geq 0$. Dalej mamy dwa przypadki:

i) $\,\underset{z\in\, U_{1}(0)}{\sup}f(z)\,=\,a\,>\,0,\qquad$ ii) $\,\underset{z\in\, U_{1}(0)}{\sup}f(z)\,=\,a\,=\,0$
Dla i) mamy: $0<\varepsilon a \leq f(z_{0}-x_{0})$, tj. oddzielenie $A$ i $\{x_{0}\}$ jest ostre. Z ii) mamy, że

$$0\,=\,\varepsilon a\,\leq\,f(z_{0}\,-\,x_{0})$$ (3.21)

dla $\varepsilon \in [0,\varepsilon_{0})$. Ponieważ () oznacza, że

$$f(z_{0})\,>\,f(x_{0}),$$

otrzymujemy ostre oddzielenie zbiorów $A$ i $\{x_{0}\}$. Teraz mamy tylko udowodnić, że nigdy $\underset{y\in\,U_{1}(0)}{\sup}f(y)\neq 0$, gdzie $f:\mathcal{B}\longrightarrow \mathbb{R}^{1}$ jest liniowym, ograniczonym (ciągłym) funkcjonałem, nietrywialnym na $\mathcal{B}$. Ponieważ z () $f(y_{0})\,\geq\,1$, wnioskujemy że $\Vert f\Vert\,\geq\,1$.

Z drugiej strony mamy z warunku

$$\widetilde{y}\,=\,y_{0}/\,\Vert y_{0}\Vert\,\in U_{1}(0)$$

że

$$\sup_{y \in\, U_{1}(0)}f(y)\,\geq\,f(\widetilde{y})\,=\, f(y_{0}... ...,\frac{f(y_{0})}{\Vert y_{0}\Vert}\,\geq\, \frac{1}{\Vert y_{0}\Vert}\,>\,0,$$

tj. $\underset{y\in\,U_{1}(0)}{\sup}f(y)\neq 0$, co dowodzi nasz wniosek $\rhd$

3.11   Wniosek(lemat o anulatorze) Dla każdej domkniętej podprzestrzeni $\mathcal{L}\subset \mathcal{B}$, przestrzeni Banacha $\mathcal{B}$ istnieje niezerowy ciągły, liniowy funkcjonał $f:\mathcal{B}\longrightarrow \mathbb{R}^{1}$, równy zeru na $\mathcal{L}$.

Rzeczywiście niech $x_{0}\not\in \mathcal{L}$ oraz $f:\mathcal{B}\longrightarrow \mathbb{R}^{1}$ jest ciągłym funkcjonałem, ostro oddzielającym punkt $x_{0}\in \mathcal{B}\setminus \mathcal{L}$ oraz $\mathcal{L}$:

$$\sup_{x\in \,\mathcal{L}}f(x)\,<\,f(x_{0})$$ (3.22)

Wtedy $f\Big\vert _{\mathcal{L}}\,\equiv\,0$ ponieważ górna granica w () byłaby $+\infty$, co jest niemożliwe. Taki funkcjonał nazywany jest anulatorem podprzestrzeni $\mathcal{L}\subset \mathcal{B}$.

3.12   Wniosek Jeśli $x_{0}\in \mathcal{B}$ jest niezerowym elementem przestrzeni unormowanej $\mathcal{B}$, to istnieje ciągły, liniowy funkcjonał $f:\mathcal{B}\longrightarrow \mathbb{R}^{1}$ taki, że

$$\Vert f\Vert\,=\,1 \quad oraz \quad f(x_{0})\,=\,\Vert x_{0}\Vert.$$ (3.23)

Zdefiniujmy funkcjonał $f_{0}:\big\{\alpha x_{0}\in \mathcal{B}: \alpha \in \mathbb{R} \big\} \longrightarrow \mathbb{R}^{1}$ jako
$f_{0}(\alpha x_{0})=\alpha\Vert x_{0}\Vert$, a dalej przedłużmy go , nie zmieniając normy, na całą przestrzeń $\mathcal{B}$. Wtedy będą spełnione warunki ().

Teraz możemy podać dowód Twierdzenia , biorąc pod uwagę, że wniosek () jest dokładnie lematem Mazura ().
Dowód Twierdzenia Zbudujemy sprzeczność. To znaczy, że istnieje wypukły domknięty i niepusty zbiór $A \subset \mathcal{B}$, który NIE jest słabo domknięty. Wtedy można znaleźć ciąg $\big\{x_{n}\in A:n\in \mathbb{Z}_{+}\big\}$ taki, że $\underset{n\longrightarrow \infty}{w-\lim}\,x_{n}=\overline{x}\not\in A$.

Niech teraz $f:\mathcal{B}\longrightarrow \mathbb{R}^{1}$ jest liniowym, ciągłym funkcjonałem istniejącym na mocy lematu Mazura 3.3, takim że zachodzi ostra nierówność:

$$d\,:=\,f(\overline{x})\,>\,\sup_{x\in\, A}f(x).$$ (3.24)

Ponieważ

$$d\,=\,\lim_{n\longrightarrow \infty} f(x_{n})\,\leq\,\sup_{x\in\,A}f(x),$$ (3.25)

z nierówności () i () otrzymujemy, że $d\leq \underset{x\in\,A}{\sup}f(x)<d$, co jest niemożli-we. To znaczy, że $\overline{x}\in A$, tj. zbiór $A$ jest słabo domknięty $\rhd$

3.13   Definicja Przestrzeń Banacha $\mathcal{B}$ jest nazywana refleksywną, jeżeli każdy ograniczony i domknięty zbiór $\mathcal{B}$ jest słabo zwarty.

Kilka własności przestrzeni zwartych:

i)

Domknięta podprzestrzeń dowolnej przestrzeni refleksywnej jest sama przestrzenią refleksywną

ii)

Produkt prosty przestrzeni refleksywnych jest przestrzenią refleksywną

iii)

Każda przestrzeń Hilberta jest refleksywną

iv)

Przestrzenie $L_{p}(\Omega)$ są refleksywne tylko dla wszystkich $p>1$

v)

Przestrzenie $C^{k}(\overline{\Omega})$ nie są refleksywne

vi)

Przestrzenie $W_{p}^{k}(\Omega )\,i \,\overset{o}{W_{p}^{k}}(\Omega)$ są refleksywne, a $W_{1}^{k}(\Omega )\,i\,\overset{o}{W_{1}^{k}}(\Omega)$ nie.

3.14   Lemat Funkcjonał $f:\mathcal{B}\longrightarrow \mathbb{R}$ w przestrzeni Banacha $\mathcal{B}$ jest słabo semi-ciągłym z dołu na zbiorze $A \subset \mathcal{B}$ gdy dla każdego $a\in \mathbb{R}$ zbiór

$$E(a)\,:=\,\big\{x\in A:f(x)\leq a\big\}$$ (3.26)

jest słabo domknięty w $\mathcal{B}$

$\lhd$ Niech $f:\mathcal{B}\longrightarrow \mathbb{R}$ jest słabo semi-ciągłym fynkcjonałem. Niech $a\in \mathbb{R}$ oraz $\big\{x_{n}\in E(a):x_{n}\overset{w}{\longrightarrow} \overline{x}\in A,\,n\longrightarrow \infty\big\}$. Wtedy oczywiście, na mocy definicji

$$f(\overline{x})\,\leq\,\lim_{n\longrightarrow \infty} \inf_{k=\overline{1,n}}f(x_{k})\,\leq\,a,$$ (3.27)

i tym samym $\overline{x}\in E(a)$, tj. zbiór $E(a)$ jest słabo domknięty. Z drugiej strony, niech zbiór $E(a)$ jest słabo domkniętym dla każdego $a\in \mathbb{R}$ i załóżmy, że funkcjonał $f:A\longrightarrow \mathbb{R}$ nie jest słabo ciągły z dołu na $A$. Wtedy istnieje element $\overline{x}\in A$ oraz ciąg $\big\{x_{n}\in A:n\in \mathbb{Z}_{+}, x_{n}\overset{w}{\longrightarrow} \overline{x}\big\}$ takie, że

$$\underset{n\longrightarrow \infty}{\underline{\lim}}f(x_{n})\,< \,f(\overline{x}).$$ (3.28)

Niech teraz $a\in \mathbb{R}$ jest taki, że spełnione są nierówności:

$$\underset{n\longrightarrow \infty}{\underline{\lim}}f(x_{n})\,< \,a\,<\,f(\overline{x}).$$ (3.29)

Wtedy istnieje podciąg $\big\{x_{n_{k}}\in A: x_{n_{k}}\in E(a),\, k\in \mathbb{Z}_{+} \big\}$, że

$$f(x_{n_{k}})\,\leq\,a, \qquad k\in\mathbb{Z}_{+}.$$ (3.30)

Ponieważ $E(a)$ jest słabo domkniętym zbiorem, to $x_{n_{k}}\overset{w}{\longrightarrow}\overline{x}\in \mathcal{B}$, to $\overline{x}\in E(a)$. To znaczy wówczas, że z () zachodzi $\,f(\overline{x})\,\leq\,a\,<\, f(\overline{x})$, co jest sprzeczne. To znaczy, że $f:A\longrightarrow \mathbb{R}^{1}$ jest semi-ciągłym z dołu $\rhd$

Zbiór $E(a),\,a\in \mathbb{R}$ jest słabo domknięty, jeśli jest domknięty i wypukły, co mamy na mocy Twierdzenia
Prawdziwe jest takie twierdzenie

3.15   Twierdzenie Ciągły, wypukły na domkniętym zbiorze $A$ funkcjonał $f:A\longrightarrow \mathbb{R}$ jest słabo semi-ciągłym na $A$ z dołu.

3.16   Uwaga Nie każdy ciągły funkcjonał jest słabo semi-ciągły z dołu. Jako przykład można rozważyć funkcjonał $f:L_{2}(0,1)\ni x \longrightarrow 1-\int_{0}^{1}x(t)^{2}\,dt\,\in \mathbb{R}^{1}$.

Łącząc poprzednie twierdzenia otrzymujemy takie twierdzenie.

3.17   Twierdzenie Niech

i)

$A$ jest niepustym, wypukłym, ograniczonym i domkniętym zbiorem w refleksywnej przestrzeni Banacha $\mathcal{B}$

ii)

$f:\mathcal{B}\longrightarrow \mathbb{R}$ jest ciągłym na $A$ i wypukłym funkcjonałem.

Wówczas:

a)

$\underset{x\in\,A}{\inf}f(x)>-\infty$;

b)

istnieje przynajmniej jeden element $\overline{x}\in A$ taki, że

$$f(\overline{x})\,=\,\inf_{x\in\,A}f(x);$$ (3.31)

c)

jeżeli funkcjonał $f:\mathcal{B}\longrightarrow \mathbb{R}^{1}$ jest dodatkowo ostro-wypukłym, to element $\overline{x}\in A$ taki, że zachodzi () jest jedyny