Klasyfikacja równań quasi-liniowych drugiego rzędu

Przy $m=2$ wielomian (7.3) ma postać formy kwadratowej:

$$\mathcal{A}_{0}(x,\xi)\,=\,\sum^{n}_{i,k=1}a_{ik}(x)\xi_{i}\xi_{k}\,:\,=\, < A(x)\xi,\xi >$$ (7.5)

gdzie $A(x)\,:\,=\,\Vert a_{ij}\Vert _{i,j=1}^{n}$.
Rozważmy na początek szczególny przypadek $n=2$. Powierzchnia

$$\mathcal{A}_{0}(x,\xi)\,=\,a_{11}(x)\xi^{2}_{1}\,+\,2a_{12}(x)\xi_{1}\xi_{2}\,+\,a_{22}(x)\xi^{2}_{2}\,=\,1$$ (7.6)

przy $x=x_{0} \in \mathbb{R}^{2}$ opisuje na płaszczyźnie $\mathbb{R} \ni \xi$ krzywą drugiego rzędu. Możliwe przypadki:

$$a) \,\delta (x_{0})>0,\qquad b)\, \delta (x_{0})<0,\qquad c)\, \delta (x_{0})=0,$$ (7.7)

gdzie

$$\delta(x_{0})\,= \,\left\vert\begin{array}{ccc} a_{11}&a_{12} \\ a_{21}&a_{22}\end{array} \right \vert$$ (7.8)

a) Niech $\delta(x_{0})>0$; wtedy (7.6) opisuje (przy $n=2$) elipsa, a równanie

$$\mathcal{A}_{0}(x_{0},D)u\,=\,0$$ (7.9)

nazywa się eliptycznym lub ma typ eliptyczny
b) Gdy $\delta(x_{0})<0$, to równanie (7.6) opisuje hiperbolę, wtedy równanie (7.1) ma typ hiperboliczny.
c) Jeśli $\delta(x_{0})=0$, to (7.6) opisuje parę prostych, a równanie (7.1) ma typ paraboliczny.

Przykłady:

• Równanie Laplace'a:

$$\frac{\partial^{2}u}{\partial x^{2}_{1}}\,+\, \frac{\partial^{2}... ...al x^{2}_{2}}\,= \,0\,\Longleftrightarrow\,\xi_{1}^{2}\,+\,\xi_{2}^{2}\,=\,1$$

jest eliptycznym.

• Równanie rozpowszechnienia fal:

$$\frac{\partial^{2}u}{\partial x^{2}_{1}}\,-\, u^{2}\frac{\partial^{2}u}{\partial x^{2}_{2}}\,=\,0$$

jest hiperbolicznym na całej płaszczyźnie $\mathbb{R}^{2}$.

• Równanie rozpowszechnienia ciepła:

$$\frac{\partial u}{\partial x_{1}}\,-\,a^{2} \frac{\partial^{2}u}{\partial x^{2}_{2}}\,= \,0$$

ma typ paraboliczny na $\mathbb{R}^{2}$.

• Równanie F. Trikomi:

$$x_{2}\frac{\partial^{2}u}{\partial x^{2}_{1}}\,+\, u^{2}\frac{\partial^{2}u}{\partial x^{2}_{2}}\,=\,0$$

jest typu mieszanego, ponieważ przy $x_{2}>0$ jest ono eliptyczne, a przy $x_{2}<0$ jest hiperboliczne. Oś $x_{2}=0$ jest zbiorem paraboliczności.

W przypadku dowolnego wymiaru $2<n\in \mathbb{Z}_{+}$ mamy następujące definicje:

Definicja 7.1   Niech punkt $x_{0}\in \mathbb{R}^{n}$ jest ustalony. Jeśli istnieje taka liczba $\mu >0$, że

$$\vert\mathcal{A}_{0}(x_{0})\xi\vert\,\geq\,\mu\vert\xi\vert^{2}$$

dla wszystkich $\xi \in \mathbb{R}^{n}$, to równanie (7.1) ma typ eliptyczny; jeśli wszystkie wartości własne macierzy $A(x_{0})$ są niezerowe i jednego znaku oprócz jednego, którego znak jest przeciwny, to równanie (7.1) jest typu hiperbolicznego; jeśli wszystkie wartości własne macierzy $A(x_{0})$ oprócz jednego są niezerowe i jednego znaku, wtedy równanie (7.1) jest typu parabolicznego.