Powierzchnie charakterystyczne

Rozważmy hiperpowierzchnię $S_{\omega}:\,\omega(x)\,=\,0,\,x\in \mathbb{R}^{n}$, gdzie $\omega\,:\,\mathbb{R}^{n}\longrightarrow \mathbb{R}^{1}$ jest różniczkowalnym odwzorowaniem w otoczeniu powierzchni $S_{\omega} \subset \mathbb{R}^{n}$. Powierzchnię $S_{\omega}$ nazywamy charakterystychną dla równania (7.1) jeśli spełniona na $S_{\omega}$ jest następująca równość:

$$\mathcal{A}_{0}(x,D\omega)\,=\,<A(x)D\omega,D\omega>\,=\,\sum^{n}... ...artial \omega}{\partial x_{i}}\, \frac{\partial \omega}{\partial x_{k}}\,=\,0,$$ (7.10)

gdzie $D\omega\,:\,=\,(\frac{\partial \omega}{\partial x_{1}},\frac{\partial \omega}... ...tial x_{2}},\ldots,\frac{\partial \omega}{\partial x_{n}})\,\in \mathbb{R}^{n}$ nazywa się gradientem odwzorowania $\omega\,:\,\mathbb{R}^{n}\longrightarrow \mathbb{R}^{1}$. Mamy następującą interpretację geometryczną powierzchni charakterystycznej. Mianowicie, ponieważ gradient $D\omega \in \mathbb{R}^{n}$ jako wektor jest prostopadły w każdym punkcie $x \in S_{\omega}$, to warunek (7.10) znaczy, że pole wektorowe w $\mathbb{R}^{n}$

$$\frac{dx_{i}}{ds}\,=\,\sum^{n}_{k=1}a_{ik}(x) \frac{\partial \omega(x)}{\partial x_{k}}\,\Longleftrightarrow \,\frac{dx}{ds}\,=\,A(x)D\omega (x),$$ (7.11)

gdzie $s\in \mathbb{R}^{1}$ jest parametrem ewolucji, jest styczne do powierzchni $S_{\omega}$, tj.

$$\frac{d\omega(x)}{ds}\Big\vert _{S_{\omega}}\,=\,<\frac{dx}{ds},D... ...ga(x)>_{S_{\omega}} \,=\,<A(x)D\omega,D\omega> \Big \vert _{S_{\omega}}\,=\,0,$$ (7.12)

co jest równoważne prostopadłości pola wektorowego (7.11) wektora gradientu $D\omega(x)$ na $S_{\omega}$.

Rozważmy teraz równanie (7.1) przy $m=2$, i zastosujmy przekształcenie $\mathbb{R}^{n}\ni y\,=\,\varphi(x)$, gdzie $\varphi\,:\,\mathbb{R}^{n}\longrightarrow \mathbb{R}^{n}$ jest różniczkowalnym z niezdegenerowanym Jakobianem, tj. $Jac\varphi(x)\,=\,det \big\Vert\frac{\partial \varphi(x)}{\partial x }\big\Vert\,\neq\,0$, do równania (7.1) w postaci

$$\sum^{n}_{i,j=1}a_{ij}(x)\frac{\partial^{2}u}{\partial x_{i}\,\partial x_{j}}\,+\,f(x,u,D_{x}u)\,=\,0$$ (7.13)

Jako wynik otrzymujemy, że (7.13) przetwarza się w

$$\sum^{n}_{i,j=1}\tilde{a}_{ij}(y)\frac{\partial^{2}u}{\partial y_{i}\,\partial y_{j}}\,+\,\tilde{f}(y,u,D_{y}u)\,=\,0,$$ (7.14)

gdzie

$$\tilde{a}_{ij}(y)\,=\,\sum^{n}_{\alpha,\beta=1}\frac{\partial \v... ...\beta}}{\partial x_{\beta}}\,a_{\alpha\beta}(x)\Big\vert _{x=\varphi^{-1}(y)}.$$ (7.15)

na mocy tego, że $Jac\varphi(x)\,\neq\,0$ typ równania (7.13) pozostaje niezmiennym. To znaczy, że można tak dobrać odwzorowanie $\varphi\,:\,\mathbb{R}^{n}\longrightarrow \mathbb{R}^{n}$, żeby macierz $\tilde{\mathcal{A}}(y)\,:\,= \,\{\tilde{a}_{ij} (y):\,i,j=\overline{1,n} \}$ była prostszej postaci.

Rozważmy bardziej dokładnie przypadek $n=2$. W tym przypadku zbadamy charakterystyki równania (7.13) (przy $n=2$):

$$\sum^{2}_{i,k=1}a_{ik}\frac{\partial \omega}{\partial x_{i}}\,\frac{\partial \omega}{\partial x_{k}}\,=\,0$$ (7.16)

lub

$$a_{11}(x)\Big(\frac{\partial \omega}{\partial x_{1}} \Big)^{2}\,... ...{2}}\,+\,a_{22}(x)\Big(\frac{\partial \omega}{\partial x_{2}} \Big)^{2}\,=\,0.$$ (7.17)

Wyrażenie (7.17) można przekształcić do takiej postaci:

$$a_{11}\Big(\frac{\partial \omega}{\partial x_{1}}\,-\,\lambda_{1... ...al x_{1}}\,-\,\lambda_{2}\,\frac{\partial \omega}{\partial x_{2}}\Big)\,=\,0,$$ (7.18)

gdzie

$$\lambda_{1}\,=\,(-a_{12}\,+\,\sqrt{-det\,A(x)})a_{11},$$

$$\lambda_{2}\,=\,(-a_{12}\,-\,\sqrt{-det\,A(x)})a_{11}.$$ (7.19)

Niech $a_{11}\neq 0$; wtedy równanie

$$\frac{\partial \omega}{\partial x_{1}}\,-\,\lambda_{i}\,\frac{\partial \omega}{\partial x_{2}}\,=\,0, \quad i=1,2,$$ (7.20)

równoważne jest polom wektorowym

$$\frac{dx_{1}}{1}\,=\,\frac{dx_{2}}{-\lambda_{i}}\,=\,ds_{i}, \quad i=1,2.$$ (7.21)

To znaczy, że równanie $\omega(x_{1},x_{2})\,=\,c\in \mathbb{R}^{1}$ jest niezmiennikiem pól wektorowych (7.21). Znajdując $\lambda_{i},\,i=1,2$ z (7.21) i podstawiając je w (7.18) otrzymujemy:

$$a_{11}(-\lambda_{1}dx_{1}\,-\,dx_{2})(-\lambda_{2}dx_{1}\,-\,dx_{2})\,=\,0,$$

$$a_{11}dx_{2}^{2}\,-\,2a_{12}dx_{1}dx_{2}\,+\,a_{22}dx^{2}_{1}\,=\,0.$$ (7.22)

Tym samym udowodniliśmy twierdzenie:

Twierdzenie 7.2   Charakterystyki równania (7.13) przy $n=2$ są rozwiązaniem formy różniczkowo-kwadratowej (7.22) lub formy (7.21).

Niech teraz odwzorowanie $\varphi:\mathbb{R}^{n}\longrightarrow \mathbb{R}^{n}$ wprowadzone wyżej, ma następującą postać:

$$\xi\,=\,\varphi(x)\,:=\,(\omega_{1}(x),\omega_{2}(x)),$$ (7.23)

gdzie $\omega:=(\omega_{1},\omega_{2})$ są dwoma charakterystykami równania (7.13) jako rozwiązania (7.22). Niech równanie (7.13) będzie eliptycznym. Wtedy mamy dwie charakterystyki $\xi_{1}=\omega(x)$ i $\xi_{2}=\overline{\omega}(x)$ sprzężone nawzajem. Wprowadzając nowe zmienne $\eta_{1}=\omega\,+\,\overline{\omega}$ oraz $\eta_{2}=\omega\,-\,\overline{\omega}$, będące już rzeczywistymi, oraz wykorzystując (7.15) otrzymujemy, że równanie (7.14) (przy $n=2$) przyjmuje postać:

$$\frac{\partial^{2}u}{\partial \eta^{2}_{1}}\,+\, \frac{\partial^{2}u}{\partial \eta^{2}_{2}}\,+\,\tilde{f}(\eta,u,D_{\eta}u)\,=\,0.$$ (7.24)

W analogiczny sposób otrzymujemy dla równania (7.13) parabolicznego, że jego postać kanoniczna (7.14) jest

$$\frac{\partial^{2}u}{\partial \xi^{2}_{2}}\,+\,\tilde{f}(\xi,u,D_{\xi}u)\,=\,0.$$ (7.25)

W przypadku, gdy równanie (7.13) jest hiperboliczne znajdujemy, stosując odwzorowanie $\xi=(\omega_{1},\omega_{2})$, takie że (7.14) daje wyrażenie kanoniczne

$$\frac{\partial^{2}u}{\partial \xi_{1}\partial \xi_{2}}\,+\,\tilde{f}(\xi,u,D_{\xi}u)\,=\,0.$$ (7.26)