next up previous
Next: Klasyfikacja równań quasi-liniowych drugiego Up: RÓWNANIA FIZYKI MATEMATYCZNEJ Previous: Warunki brzegowe oraz początkowe

Klasyfikacja równań o pochodnych cząstkowych. Postać kanoniczna

Rozważmy równanie różniczkowe $ m$-tego rzędu stosownej funkcji $ u(x)$ od $ n \in \mathbb{Z}_{+}$ skalarnych zmiennych $ x\in \mathbb{R}^{n}$. Klasyfikacja jest bazowana na zależności równania od pochodych najwyższego rzędu, tj. rzędu $ m$. Najprostsza sytuacja ma miejsce, kiedy równanie jest quasi-liniowe, to znaczy najwyźsze pochodne wchodzą w równanie w sposób liniowy. Takie równania mają postać:

$\displaystyle \sum_{\vert\alpha\vert=m}a_{\alpha}(x)D^{\alpha}u\,+\,f(x,u,D^{\beta}u\Big\vert _{\vert\beta\vert<m})\,=\,0.$ (7.1)

Współczynniki $ a_{\alpha}$, $ \alpha \in \mathbb{Z}_{+}^{n}$ mogą zależeć od $ x \in \Omega$, a wyrażenie $ f$ może zależeć od $ x \in \Omega$, $ u$ oraz pochodnych $ D^{\beta}u$ dla $ \vert\beta\vert<m$. Wyrażenie

$\displaystyle \mathcal{A}_{0}(x,D)u\,:\,=\,\sum_{\vert\alpha\vert=m}a_{\alpha}(x)D^{\alpha}u$ (7.2)

ma nazwę części głównej równania (7.1).

Z wyrażeniem (7.2) można skojarzyć wielomian:

$\displaystyle \mathcal{A}_{0}(x,\xi)\,:\,=\,\sum_{\vert\alpha\vert=m}a_{\alpha}(x)\xi^{\alpha}$ (7.3)

gdzie $ \xi=(\xi_{1},\xi_{2},\ldots,\xi_{k})\in \mathbb{R}^{n}$. Rozważmy równanie algebraiczne:

$\displaystyle \mathcal{A}_{0}(x,\xi)\,=\,1,$ (7.4)

które opisuje powierzchnię w $ \mathbb{R}^{n}$, zależną od parametru $ x\in \mathbb{R}^{n}$.

Subsections
next up previous
Next: Klasyfikacja równań quasi-liniowych drugiego Up: RÓWNANIA FIZYKI MATEMATYCZNEJ Previous: Warunki brzegowe oraz początkowe
Andrzej Janus Szef 2001-12-05