Klasyfikacja równań o pochodnych cząstkowych. Postać kanoniczna

Rozważmy równanie różniczkowe $m$-tego rzędu stosownej funkcji $u(x)$ od $n \in \mathbb{Z}_{+}$ skalarnych zmiennych $x\in \mathbb{R}^{n}$. Klasyfikacja jest bazowana na zależności równania od pochodych najwyższego rzędu, tj. rzędu $m$. Najprostsza sytuacja ma miejsce, kiedy równanie jest quasi-liniowe, to znaczy najwyźsze pochodne wchodzą w równanie w sposób liniowy. Takie równania mają postać:

$$\sum_{\vert\alpha\vert=m}a_{\alpha}(x)D^{\alpha}u\,+\,f(x,u,D^{\beta}u\Big\vert _{\vert\beta\vert<m})\,=\,0.$$ (7.1)

Współczynniki $a_{\alpha}$, $\alpha \in \mathbb{Z}_{+}^{n}$ mogą zależeć od $x \in \Omega$, a wyrażenie $f$ może zależeć od $x \in \Omega$, $u$ oraz pochodnych $D^{\beta}u$ dla $\vert\beta\vert<m$. Wyrażenie

$$\mathcal{A}_{0}(x,D)u\,:\,=\,\sum_{\vert\alpha\vert=m}a_{\alpha}(x)D^{\alpha}u$$ (7.2)

ma nazwę części głównej równania (7.1).

Z wyrażeniem (7.2) można skojarzyć wielomian:

$$\mathcal{A}_{0}(x,\xi)\,:\,=\,\sum_{\vert\alpha\vert=m}a_{\alpha}(x)\xi^{\alpha}$$ (7.3)

gdzie $\xi=(\xi_{1},\xi_{2},\ldots,\xi_{k})\in \mathbb{R}^{n}$. Rozważmy równanie algebraiczne:

$$\mathcal{A}_{0}(x,\xi)\,=\,1,$$ (7.4)

które opisuje powierzchnię w $\mathbb{R}^{n}$, zależną od parametru $x\in \mathbb{R}^{n}$.