Problem Cauchy'ego dla jednowymiarowego równania rozpowszechniania fal
(równania falowego)

Rozważmy następujący problem: odzyskać funkcję $u:\mathbb{R}^{1}\times \overline{\mathbb{R}}^{1}_{+}\longrightarrow \mathbb{R}$, spełniającą równania hiperboliczne

$$\frac{\partial^{2}u}{\partial t^{2}}\,-\,a^{2}\, \frac{\partial^{2}u}{\partial x^{2}}\,=\,0,$$ (8.1)

oraz warunki początkowe :

$$u \Big \vert _{t=0^{+}}\,=\,u_{0}(x),\quad \frac{\partial u}{\partial t} \Big \vert _{t=0^{+}}\,=\,u_{1}(x),$$ (8.2)

gdzie $u \in C^{2}(\mathbb{R} \times \mathbb{R}_{+})\,\cap\,C^{1}(\mathbb{R}\times\overline{\mathbb{R}}^{1}_{+})$.

Charakterystykami równania (8.1) są

$$\xi\,=\,x\,-\,at,\quad \eta\,=\,x\,+\,at,$$ (8.3)

otrzymujemy z (7.26), że

$$\frac{\partial^{2}u}{\partial \xi \partial\eta}\,=\,0.$$ (8.4)

Z (8.3) mamy, że

$$\frac{\partial u}{\partial \xi}\,=\,F(\xi),$$ (8.5)

gdzie $F:\mathbb{R}^{1}\longrightarrow \mathbb{R}$ jest pewną funkcją. Całkując (8.5) po $\xi \in \mathbb{R}^{1}$, otrzymujemy, że

$$u(\xi,\eta)\,=\,\int^{\xi}_{\xi_{0}}F(\xi)\,d\xi\,+\,\alpha(\eta),$$ (8.6)

gdzie $\alpha:\mathbb{R}^{1} \longrightarrow \mathbb{R}$ jest też pewną jeszcze niewiadomą funkcją. Wykorzystując teraz odwzorowanie (8.3), z (8.5) znajdujemy, że

$$u(x,t)\,=\,\alpha(x+at)\,+\,\beta(x-at).$$ (8.7)

gdzie $\alpha,\beta :\mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{R}$ są pewnymi funkcjami, które znajdujemy wykorzystując warunki początkowe (8.2). Mianowicie

$$\beta(x)\,=\,\frac{1}{2}u_{0}(x)\,-\, \frac{1}{2a}\,\int^{x}_{x_{0}}u_{1}(\xi)d\xi\,+\,\frac{1}{2} \beta(x_{0})\,-\,\frac{1}{2}\alpha(x_{0}),$$

$$\alpha(x)\,=\,\frac{1}{2}u_{0}(x)\,+\, \frac{1}{2a}\,\int^{x}_{x_{0}}u_{1}(\xi)d\xi\,-\,\frac{1}{2} \beta(x_{0})\,+\,\frac{1}{2}\alpha(x_{0}).$$ (8.8)

Podstawiając (8.8) w (8.7), znajdujemy że

$$u(x,t)\,=\,\frac{u_{0}(x+at)\,+\,u_{0}(x-at)}{2}\,+\, \frac{1}{2a}\int^{x+at}_{x-at}u_{1}(\xi)\,d\xi.$$ (8.9)

Wzór (8.9) nosi nazwę wzoru d'Alamberta, i daje rozwiązanie problemu (8.1), (8.2) w postaci dokładej.

Rozważmy teraz przypadek równania niejednorodnego:

$$\frac{\partial^{2}u}{\partial t^{2}}\,-\,a^{2} \frac{\partial^{2... ...al x^{2}}\,=\,f(x,t), \qquad (x,t)\in \mathbb{R}^{1}\times \mathbb{R}^{1}_{+},$$ (8.10)

z warunkami Cauchy'ego

$$u \Big \vert _{t=0_{+}}\,=\,0,\qquad \frac{\partial u}{\partial t} \Big \vert _{t=0_{+}}, \qquad x \in \mathbb{R}^{1},$$ (8.11)

gdzie $u \in C^{2}(\mathbb{R}\times \mathbb{R}_{+})\,\cap\,C^{1}(\mathbb{R}\times \overline{\mathbb{R}}_{+})$.

Równanie (8.10) opisuje poruszanie nieskończonej struny pod
zewnętrznym działaniem sił zaburzenia.

Dla rozwiązania równania (8.10) rozważmy stowarzyszony z (8.10) problem

$$\frac{\partial^{2}u_{\tau}}{\partial t^{2}}\,-\,a^{2} \frac{\partial^{2}u_{\tau}}{\partial x^{2}}\,=\,f(x,t)\chi_{(\tau,\Delta \tau)}(t),$$ (8.12)

gdzie $\chi_{(\tau,\Delta \tau)}(t)$ jest funkcją indykatorową (lub wskaźnikową) otwartego przedziału $(\tau-\Delta\tau,\tau)$, $\tau \in \mathbb{R}^{1}_{+}$, $\tau-\Delta\tau \in \mathbb{R}^{1}_{+}$:

$$\chi_{(\tau,\Delta \tau)}(t)\,=\,\left\{\begin{array}{ll}1 & t\in(\tau-\Delta\tau,\tau)\\ 0 & t \not\in (\tau-\Delta\tau,\tau)\end{array}\right.$$ (8.13)

funkcja $u_{\tau}:\mathbb{R}^{1}\times \mathbb{R}^{1}_{+}\longrightarrow \mathbb{R}^{1}$ z ineksem $\tau \in \mathbb{R}^{1}_{+}$ spełnia warunek Cauchy'ego

$$u_{\tau} \Big\vert _{t=0_{+}}\,=\,0, \qquad \frac{\partial u_{\tau}}{\partial t } \Big \vert _{t=0_{+}}\,=\,0.$$ (8.14)

Ponieważ zaburzenie $f(x,t)\chi_{(\tau,\Delta \tau)}(t),\,t \in \mathbb{R}^{1}_{+}$ jest dla $\tau \in \mathbb{R}^{1}_{+}$ niezerowym tylko dla $t \in (\tau-\Delta\tau,\tau)$, to dla wszystkich $0<t<\tau-\Delta\tau$ rozwiązanie $u_{\tau}(t)\equiv 0$, co zachodzi z (8.9) i (8.14).

Niech teraz zmienna $x \in \mathbb{R}^{1}$ jest traktowana jako parametr. Wtedy równanie (8.12) może być przepisane w takiej postaci:

$$\frac{\partial^{2}u_{\tau}}{\partial t^{2}}\,=\,a^{2}\frac{\partial^{2}u_{\tau}}{\partial x^{2}}\,+\,f(x,t)\chi_{(\tau,\Delta\tau)}(t),$$ (8.15)

z warunkami (8.14). Ponieważ prawa część (8.15) jest funkcją ciągłą dla $(x,t)\in \mathbb{R}^{1}\times \mathbb{R}^{1}_{+}$, można wypisać jego rozwiązanie w postaci uwikłanej:

$$u_{\tau}(x,\tau)\,=\,\frac{1}{a}\int^{\tau}_{0}\sin\,a(\tau-s)\Bi... ..._{\tau}(x,s)}{\partial x^{2}}\,+\,f(x,s)\chi(\tau,\Delta\tau)(s)\Big]\,ds\,=$$

$$=\,\frac{1}{a}\int^{\tau-\Delta\tau}_{0}\sin\,a(\tau-s)\Big[a^{2}... ...x,s)}{\partial x^{2}}}_{0}\,+\,f(x,s)\cdot0\Big]\Big\vert _{u_{\tau}=0}ds\,+$$

$$+\,\frac{1}{a}\int^{\tau}_{\tau-\Delta\tau}\sin\,a(\tau-s)\Big[a^{2}\frac{ \partial^{2}u_{\tau}(x,s)}{\partial x^{2}}\,+\,f(x,s)\Big]\,ds\,=$$

$$=\,\frac{1}{a}\sin\,a(\tau-\tau^{*})\Big[a^{2}\frac{ \partial^{2}u_{\tau}(x,\tau^{*})}{\partial x^{2}}\,+\,f(x,\tau^{*})\Big]\,\Delta\tau$$ (8.16)

dla pewnego $\tau^{*}\in (\tau-\Delta\tau,\tau)$, co zachodzi na mocy 1 twierdzenia o średniej wartości całki. Ponieważ $0<\tau-\tau^{*}<\Delta\tau$, przyjmując że $\Delta\tau\longrightarrow 0$ jednostajnie po $x \in \mathbb{R}^{1}$ z (8.16) wnioskujemy, że $u_{\tau}(x,\tau) =O(\Delta\tau^{2})$, tj. z dokładnością $O(\Delta\tau) \quad u_{\tau}(x,\tau)=0$. Wsposób całkiem analogiczny znajdujemy, że

$$\frac{\partial u_{\tau}(x,t)}{\partial t}\, =\,\int^{t}_{0}\cos\... ...u_{\tau}(x,s)}{\partial x^{2} }\,+\,f(x,s)\chi_{(\tau,\Delta\tau)}(s)\Big]\,ds$$ (8.17)

dla wszystkich $(x,t)\in \mathbb{R}\times \mathbb{R}^{1}_{+}$ skąd przy $t=\tau$ zachodzi

$$\frac{\partial u_{\tau}(x,t)}{\partial t}\, =\,\int^{\tau-\Delta... ...x,s)}{\partial x^{2} }\,+\,f(x,s)\cdot 0\Big]\Big\vert _{u_{\tau}=0}\,ds \,+$$

$$+\,\int_{\tau-\Delta\tau}^{\tau}\cos\,a(t-s)\Big[a^{2}\frac{\partial^{2}u_{\tau}(x,s)}{\partial x^{2} }\,+\,f(x,s)\Big]\,ds \,=$$

$$=\,\cos\,a(t-\tau^{*})\,f(x,\tau^{*})\Delta\tau\,+\,O(\Delta\tau^{2})\,=$$

$$=\,f(x,\tau^{*})\Delta\tau\,+\,O(\Delta\tau^{2}).$$ (8.18)

gdzie $\tau^{*}\in (\tau-\Delta\tau,\tau)$.

W taki sposób zredukowaliśmy problem (8.12) do problemu znalezienia funkcji $u_{\tau}:\mathbb{R}^{1}\times \mathbb{R}^{1}_{(>\tau)}\longrightarrow \mathbb{R}^{1}$, która spełnia równanie jednorodne

$$\frac{\partial ^{2}u_{\tau}}{\partial t^{2}}\,+\,a^{2}\,\frac{\partial ^{2}u_{\tau}}{\partial x^{2}}\,=\,0$$ (8.19)

oraz warunki początkowe przy $t=\tau$:

$$u_{\tau}\Big\vert _{t=\tau^{+}}\,=\,O(\Delta\tau^{2}), \qquad \f... ...l t}\Big \vert _{t=\tau^{+}}\,=\,f(x,\tau^{*})\Delta\tau\,+\,O(\Delta\tau^{2})$$ (8.20)

przy $\Delta\tau\longrightarrow 0$. Korzystając teraz ze wzoru d'Alamberta (8.6), zapisujemy rozwiązania problemu (8.19) i (8.20):

$$u_{\tau}(x,t)\,=\,\left\{\begin{array}{ll}O(\Delta\tau^{2}) & t\l... ...\tau^{*})\,d\xi\,\Delta \tau\,+\,O(\Delta\tau^{2}) & t>\tau \end{array}\right.$$ (8.21)

Teraz wróćmy do problemu (8.10) i (8.11), zapisując odwzorowanie
$f:\mathbb{R}^{1}\times \mathbb{R}^{1}_{+}\longrightarrow \mathbb{R}^{1}$ w takiej postaci:

$$f(x,t)\,=\,\sum^{n}_{i=0}f(x,t)\chi_{\tau_{i},\Delta\tau_{i}}(t),$$ (8.22)

gdzie oczywiście $\sum^{n}_{i=0}\chi_{\tau_{i},\Delta\tau_{i}}(t)=1$ dla każdego $n \in \mathbb{Z}_{+}$, jeśli $\Delta\tau_{i}=\tau_{i+1}-\tau_{i}$, $\tau_{0}=0,\,\tau_{n}=t \in \mathbb{R}^{1}_{+}$. Tak więc mamy problem Cauchy'ego:

$$\frac{\partial ^{2}u}{\partial t^{2}}\,-\,a^{2}\frac{\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}\,=\,\sum^{n}_{i=0}f(x,t)\chi_{\tau_{i},\Delta\tau_{i}}(t),$$ (8.23)

oraz

$$u \Big\vert _{t=0^{+}}\,=\,0,\qquad \frac{\partial u}{\partial t}\Big\vert _{t=0^{+}}\,=\,0.$$ (8.24)

Ponieważ równanie (8.23) jest liniowe niejednorodne z jednorodnymi warunkami Cauchy'ego (8.24), jego rozwiązanie jest sumą rozwiązań poszczególnych problemów (8.12), (8.14). Tak więc mamy na mocy wyrażenia (8.21) następujące rozwiązanie (8.10):

$$u(x,t)\,=\,\sum^{n}_{i=0}u_{\tau_{i}}(x,t)\,=$$

$$=\,\frac{1}{2a}\sum^{n}_{i=0}\int^{x+a(t-\tau_{i})}_{x-a(t-\tau_{... ...\tau_{*i})\, d\xi\,\Delta\tau_{i}\,+\,\sum^{n}_{i=0}O(\Delta\tau_{i}^{2})\,=$$

$$=\,\frac{1}{2a}\sum^{n}_{i=0}\int^{x+a(t-\tau_{i})}_{x-a(t-\tau_{... ...,\tau_{*i})\, d\xi\,\Delta\tau_{i}\,+\,\int^{t}_{0}O(max(\Delta\tau))\,ds\,=$$

$$=\,\frac{1}{2a}\sum^{n}_{i=0}\int^{x+a(t-\tau_{i})}_{x-a(t-\tau_{i})}f(\xi,\tau_{*i})\, d\xi\,\Delta\tau_{i}\,+\,O(\Delta\tau)$$ (8.25)

Biorąc teraz granice (8.25) przy $max\,(\Delta\tau)\longrightarrow 0$, otrzymujemy że

$$u(x,t)\,=\,\int^{t}_{0}\int^{x+a(t-\tau)}_{x-a(t-\tau)}f(\xi,\tau)\,d\xi\,d\tau.$$ (8.26)

Rozważmy teraz ogólny problem Cauchy'ego w takiej postaci:

$$\frac{\partial^{2}u}{\partial t^{2}}\,-\,a^{2} \frac{\partial^{2}u}{\partial x^{2}}\,=\,f(x,t),\qquad (x,t)\in \mathbb{R}\times \mathbb{R}_{+},$$ (8.27)

gdzie

$$u \Big\vert _{t=0^{+}}\,=\,u_{0}(x),\qquad \frac{\partial u}{\partial t}\Big \vert _{t=0}\,=\,u_{1}(x),$$ (8.28)

oraz $u \in C^{2}(\mathbb{R}^{1}\times \mathbb{R}^{1}_{+})\,\cap\,C^{1}(\mathbb{R}^{1}\times \mathbb{R}^{1}_{+})$.

Rozwiązanie problemu (8.27) i (8.28) można łatwo otrzymać, kojarząc problemy Cauchy'ego (8.10), (8.11) i (8.1), (8.2):

$$u(x,t)\,=\,\frac{u_{0}(x-at)\,+\,u_{0}(x+at)}{2}\,+\,\frac{1}{2a}\int^{x+at}_{x-at} u_{1}(\xi)\,d\xi\,+$$

$$+\,\frac{1}{2a}\int^{t}_{0}\int^{x+a(t-\tau)}_{x-a(t-\tau)}f(\xi,\tau)\,d\xi\,d\tau.$$ (8.29)

Uwaga 8.1   Trójkąt charakterystyk i rozwiązania (8.29).

Rozważmy na płaszczyźnie $\mathbb{R}^{1}\times \mathbb{R}^{1}_{+}$ trójkąt ABC:

Rys. 4

Wtedy rozwiązanie (8.29) przyjmuje następującą postać:

$$u(c)\,=\,\frac{u_{0}(A)\,+\,u_{0}(B)}{2}\,+\,\frac{1}{2a}\int^{B}_{A}u_{1}(\xi) \,d\xi\,+$$

$$+\,\frac{1}{2a}\int_{\Delta ABC}f(\xi,\tau)\,d\xi\,d\tau.$$ (8.30)