Problemy Cauchy'ego i Gaursat'a dla
liniowego równania hiperbolicznego
drugiego rzędu o dwóch zmiennych.
Metoda Riemann'a.

Przejdziemy do badania problemu Cauchy'ego w postaci ogólnej w $\mathbb{R}^2$ dla równania hiperbolicznego rzędu drugiego. Niech to równanie będzie zadane w postaci kanonicznej:

$$\mathcal{A} u:=2\frac{\partial^{2} u}{\partial x\partial y}+d \frac{\partial u}{\partial x} + b \frac{\partial u}{\partial y}=f(x,y)$$ (8.31)

Warunek brzegowy zadajmy w otoczeniu gładkiej krzywej $\Gamma$ bez samoprzecięcia jako

$$\Gamma:=\{(x,y)\in \mathbb{R}^{2}: x=x(s), y=y(s); s\in(s_{\star},s^{\star})\subset \mathbb{R}^{1}\}$$ (8.32)

przy warunku, że żadna krzywa charakterystyczna równania (8.31) nie przecina się z $\Gamma$ w więcej niż dwu punktach, i taka, że wzdłuż $\Gamma$

$$u\Big\vert _{\Gamma}\:=u_{0}(s),\quad \frac{\partial u}{\partial ... ...\:=u_{1}(s),\quad \frac{\partial u}{\partial y}\Big\vert _{\Gamma}\:=u_{2}(s),$$ (8.33)

gdzie:

$$\frac{du_{0}}{ds}=u_{1}(s) \frac{dx}{ds}+u_{2}(s)\frac{dy}{ds}$$ (8.34)

jest warunkiem zgodności.

Niech punkt $\mathrm{M}(x,y)\in \mathbb{R}^{2}\setminus\Gamma$ , a $\mathrm {P}(\xi,y)\in\Gamma$ i $\mathrm{Q}(x,\eta)\in\Gamma$ będą punktami, w których charakterystyki idące z $\mathrm{M}$ przecinają $\Gamma$. Niech D będzie obszarem ograniczonym przez kontur $MPQM$

Rys. 5

Rozważmy teraz rozwiązanie równania sprzężonego do (8.31):

$$\mathcal{A}^{\star} v:=2\frac{\partial^{2} v}{\partial \xi\partia... ...rac{\partial }{\partial \xi} (a v) - \frac{\partial (b v)}{\partial \eta}c v=0$$ (8.35)

Całkując tożsamość po obszarze D

$$\int_{D}\langle\mathcal{A}u,v\rangle\, d\xi d\eta=\int_{D} vf \,d\xi d\eta$$ (8.36)

i stosując wzór Green'a znajdujemy:

$$\int_{D} vfd \xi \mathrm{d}\eta=\int_{[MPQM]}(\alpha [u,v] \mathrm{d}\xi +\beta[u,v] \mathrm{d}\eta)$$ (8.37)

gdzie z definicji

$$\alpha [u,v] = v(\frac{\partial u}{\partial\xi}+bu)-u \frac{\partial v}{\partial\xi},$$

$$\beta [u,v]=-v(\frac{\partial u}{\partial\eta}+au)+u \frac{\partial v}{\partial\eta}$$ (8.38)

Całka (8.37) może być wyliczona wprost przy zastosowaniu własności:

• wzdłuż [M,P]:

$$\mathrm{d}\eta =0, \quad \alpha [u,v]\Rightarrow \frac{\partial(uv)} {\partial \xi}-2u(\frac{\partial v}{\partial\xi}- b \frac{v}{2})$$ (8.39)

• wzdłuż [Q,M]:

$$d\xi =0\;,\quad \beta [u,v]= -\frac{\partial (uv)}{\partial\eta}-2u(\frac{\partial v} {\partial\eta}- b\frac{u}{2})\;.$$ (8.40)

Teraz z (8.37), (8.39) i (8.40) otrzymujemy:

$$uv\Big\vert _{M}=\frac{1}{2}(uv\Big\vert _{Q}+uv\Big\vert _{P}-\int_{[M,P]}2u(\frac{\partial v}{\partial\xi}- \frac{bv}{2})d\xi + {}\qquad$$

$${}+\int_{[Q,M]}2u(\frac{\partial v}{\partial\eta}-\frac{av}{2})d\eta + \int_{[P,Q]}(\alpha[u,v]d\xi+ \beta[u,v]d\eta)-{}$$

$${} - \int_{D}vfd\xi d\eta)\,$$ (8.41)

Tożsamość (8.41) jest, oczywiście, poprawna, gdy wyrażenia dla $\mathcal{A}$ i $\mathcal{A}^{\star}$ są ciągłe zatem z odwzorowaniem f: $\mathbb{R}^{2}\to \mathbb{R}$. Wyrażenie (8.41) nie pokazuje jeszcze rozwiązania u $\in\mathcal{C}^{2}(\mathbb{R}^{2};\mathbb{R})$, ponieważ całki wzdłuż krzywych MP i QM zawierają niewiadome wartości funkcji u: $\mathbb{R}^{2}\to \mathbb{R}$. Jednak tak będzie, gdy funkcja v: $\mathbb{R}^{2}\to \mathbb{R}$ będzie spełniać takie własności:

$$\mathcal{A}^{*}v=0, \quad v(x,y;x,y)=1 \, (\textrm{tj}, v \big\vert _{M}=1)$$ (8.42)

oraz

$$\frac{\partial v(x,y;\xi, \eta)}{\partial \xi}-\frac{1}{2}b(\xi,y)v(x,y;\xi, \eta)=0,$$

$$\frac{\partial v(x,y;\xi, \eta)}{\partial \eta}-\frac{1}{2}a(x,\eta)v(x,y;\xi, \eta)=0,$$ (8.43)

dla wszystkich $(\xi, \eta) \in D$. Wtedy na mocy (8.41)-(8.43) otrzymujemy, że

$$u(x,y)=\frac{1}{2}uv\big\vert _{P}+ uv\big\vert _{Q}+ \int_{[P,Q... ...hrm{d}\xi+ \beta[u,v] \mathrm{d}\eta)- \int_{D}vf \mathrm{d}\xi \mathrm{d}\eta$$ (8.44)

gdzie już wszystkie funkcje po prawej stronie (8.44) są określone. Funkcja $v: \, \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}$ spełniająca warunki (8.42),(8.43) ma nazwę funkcji Riemann'a. Oprócz tego, całkując (8.43) otrzymujemy, że

$$v(x,y;\xi,y)=\exp\Big(-\frac{1}{2}\int_{\xi}^{x}b(s,y) \mathrm{d}s\Big),$$

$$v(x,y;x,\eta)=\exp\Big(-\frac{1}{2}\int_{\eta}^{y}a(x,s) \mathrm{d} s\Big),$$ (8.45)

Jeśli teraz odwrócić wszystkie obliczenia powyżej z zamianą zmiennych
$(\xi,\eta) \in \mathbb{R}^2 \rightleftharpoons (x,y) \in \mathbb{R}^2$, to w sposób zwykły otrzymujemy, że funkcja $u^{*}: \, \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}$, która spełnia równanie jednorodne

$$\mathcal{A}u^{*}=0$$ (8.46)

oraz warunki $u^{*}\big\vert _{N}=1 ,\quad N(x,y) \in \mathbb{R}^2\backslash \Gamma$ i

$$\big(\frac{\partial u^{*}}{\partial y}+ \frac{1}{2} au^{*}\big)\... ...frac{\partial u^{*}}{\partial x}+ \frac{1}{2} bu^{*}\big)\Big\vert _{[N,G]}=0,$$ (8.47)

to otrzymujemy od razu że

$$u^{*}(x,y;\xi,\eta)=v(x,y;\xi,\eta)$$ (8.48)

dla wszystkich $(x,y) \textrm{ i }(\xi,\eta) \in \mathbb{R}^2$.

Tak więc problemy Cauchy'ego na $\Gamma \subset \mathbb{R}^2$

$$\mathcal{A}u=f, \quad \mathcal{A}^{*}v=g$$ (8.49)

mogą być rozwiązane jednocześnie jeżeli funkcja Riemann'a tych równań (8.49) jest wiadoma. Tak więc prawdziwe jest twierdzenie:

Twierdzenie 8.2   Nech dane Cauchy'ego $u_{i}: \Gamma \rightarrow \mathbb{R}, \, i=\overline{0,2}$ oraz funkcja źródła $f: D \rightarrow \mathbb{R}^1$ spełnia następujące warunki:

$$u_{0} \in C^{1}(\Gamma), \, u_{i} \in C(\Gamma), \,i=\overline{1,2}, \, f \in C(D)$$ (8.50)

oraz

$$\frac{\mathrm{d}u_{0}}{\mathrm{d}s}= \big(u_{j} \frac{\mathrm{d}x... ...thrm{d}s}+ u_{2} \frac{\mathrm{d}x_{2}}{\mathrm{d}s} \big)\Big\vert _{\Gamma}.$$ (8.51)

Załóżmy także że funkcja $v: \, D \times D \rightarrow \mathbb{R}^1$ jest taka, że

$$\frac{\mathrm{d}^2 v}{\mathrm{d}x \mathrm{d}\xi}\, \frac{\mathrm{... ...xtrm{ i } \frac{\mathrm{d}^3 v}{\mathrm{d}x \mathrm{d}y \mathrm{d}\xi} \in C(D)$$ (8.52)

oraz że funkcja $u:\, D \rightarrow \mathbb{R}^1$ jest zdefiniowana jako (8.44). Wtedy one jest rozwiązaniem problemu Cauchy'ego (8.31),(8.32) na $D$.