Podstawowe rozwiązania operatorów
parabolicznych.

Znajdziemy rozwiązania podstawowe równania przewodnictwa ciepła w przestrzeni $\mathcal{D}^{\prime }(\mathbb{R}^{n+1})$ :

$$\frac{\partial E}{\partial t-a^{2}}\bigtriangleup E=\delta (x-y)\delta (t-\tau ),$$ (10.53)

gdzie $(y,\tau )$ i $(x,t)$ $\in \mathbb{R}^{n}\times \mathbb{R}^{1}.$ Stosując do (10.40) transformację Fourier'a po $x\in \mathbb{R}^{n}$ , otrzymujemy, że :

$$\left[ \frac{\partial \tilde{E}_{x}}{\partial t}\right] -a^{2}\le... ...p \tilde{E}_{x}\right] =\exp \left[ i<\xi ,y>\right] \otimes \delta (t-\tau ).$$ (10.54)

Ponieważ

$$\left[ \frac{\partial E_{x}}{\partial t}\right] _{x}^{\wedge }=\frac{\partial }{\partial t}\hat{E}_{x} , \left[ \bigtriangleup E \right] _{x}^{\wedge }=-\vert\xi \vert^{2}\hat{E}_{x} ,$$ (10.41)

z (10.41) i (10.41) mamy, że

$$\frac{\partial \hat{E}_{x}}{\partial t+a^{2}}\vert\xi \vert^{2}\hat{E}_{x}=\exp \left[ i<\xi ,y>\right] \otimes \delta (t)$$ (10.55)

dla $\xi \in \mathbb{R}^{n}$ i $\ t\in \mathbb{R}^{1}.$ Z równania (10.42) znajdujemy, że

$$\hat{E}_{x}=\vartheta (t)\exp (-a^{2}\vert\xi \vert^{2}t+i<\xi ,y>).$$ (10.56)

Stosując teraz do (10.43) odwrotną transformację Fourier'a, wyprowadzamy:

$$E(x-y;t-\tau ) =\frac{\vartheta (t-\tau )}{(2\pi )^{n}}\underset{\mathbb{R}^{n}}... ...t }\exp \left[ -a^{2}\vert\xi \vert^{2}(t-\tau )-i<x-y,\xi >\right] d\xi \notag$$ (10.57)

$$\equiv \frac{\vartheta (t-\tau )}{(2\pi )^{n}}e^{-\frac{\vert x-y\vert^{... ...rt{ t-\tau }\xi +i\frac{(x-y)}{2a\sqrt{t-\tau }}\right) ^{2}\right] d\xi \notag$$ (10.58)

$$\Rightarrow \frac{\vartheta (t-\tau )}{(2a\sqrt{\pi (t-\tau )})^{n}}\exp \left[ -\frac{\vert x-y\vert^{2}}{4a^{2}(t-\tau )}\right]$$ (10.59)

Rozwiązanie (10.44) istnieje tylko, oczywiście , kiedy $(t-\tau )>0.$ Przy $t=\tau$ (10.44) ma osobliwość. Okazuje się że istnieje granica (10.44) gdy $t\rightarrow \tau +0.$

Twierdzenie 10.8   Granica (10.44) gdy $\$ $t\rightarrow \tau +0$ istnieje i zachodzi równość :

$$\underset{t\downarrow \tau }{\lim }E(x-y;t-\tau )=\delta (x-y)$$ (10.60)

dla wszystkich $x,y\in \mathbb{R}^{n}.$

$\lhd$ Dowód. Obliczmy wartość funkcjonału

$$E(\varphi ):=\underset{\mathbb{R}^{n}}{\int }E(x-y;t-\tau )\varphi (x)dx$$ (10.61)

dla $\varphi \in \mathcal{D}(\mathbb{R}^{n}),$ ponieważ $E\in L_{1}^{loc}(\mathbb{R}^{n}).$ Teraz zauważmy, że dla wszystkich $(t-\tau )>0$ i $y\in \mathbb{R}^{n}$

$$\underset{\mathbb{R}^{n}}{\int }E(x-y;t-\tau )dx=1.$$ (10.62)

Obliczmy teraz różnicę $\vert E(\varphi )-\varphi (y)\vert$ , stosując (10.47) i (10.47):

$$\vert E(\varphi )-\varphi (y)\vert = \underset{}{\vert E(\varphi )-\underset{\mathbb{R}^{n}}{\int }\varphi (y)}E(x-y;t-\tau )dx\vert= \notag$$ (10.63)

$$\notag$$ (10.64)

$$= \underset{\mathbb{R}^{n}}{\vert\int }E(x-y;t-\tau )(\varphi (x)-\varphi (y))dx\vert \notag$$ (10.65)

$$\notag$$ (10.66)

$$\leq \underset{\mathbb{R}^{n}???\'{O}_{\delta _{(\varepsilon )}}(y)}{\vert\int }E(x-y;t-\tau )(\varphi (x)-\varphi (y))dx\vert \notag$$ (10.67) (10.68)

$$+\underset{O_{\delta _{(\varepsilon )}}(y)}{\vert\int }E(x-y;t-\tau )(\varphi (x)-\varphi (y))dx\vert \notag$$ (10.69)

$$\notag$$ (10.70)

$$\leq 2\underset{x\in \mathbb{R}^{n}}{\sup }\vert\varphi (x)\vert\under... ...\'{O}_{_{\delta _{(\varepsilon )}}}(y)}{\vert\int }E(x-y;t-\tau )dx\vert \notag$$ (10.71)

$$\notag$$ (10.72)

$$+ \varepsilon \underset{O_{_{\delta _{(\varepsilon )}}}(y)}{\vert\int }E(x-y;t-\tau )dx\vert \notag$$ (10.73)

$$\notag$$ (10.74)

$$\leq 2c_{\varphi }I_{\varepsilon }(y;t-\tau )+\varepsilon , I_{\varepsilon }(y;t-\tau ) \notag$$ (10.75)

$$\notag$$ (10.76)

$$: =\underset{\mathbb{R}^{n}\'{O}_{_{\delta _{(\varepsilon )}}}(y)}{\int } E(x-y;t-\tau )dx, \notag$$ (10.77)

gdzie $c_{\varphi }=\underset{}{\underset{x\in \lim\limits_{\varphi} }{\sup } \vert\varphi (x)\vert<\infty \text{ \ i}}$ dla każdego $\varepsilon >0$ istnieje $\delta _{(\varepsilon )}>0,$ takie , że $\vert\varphi (x)-\varphi (y)\vert<\varepsilon$ dla każdego $x\in O_{\delta (\varepsilon )}(y)$ i $y\in \lim\limits_{\varphi} .$ Teraz wykorzystamy (bez dowodu) taki lemat.

Lemat 10.9   Niech $O_{\delta (\varepsilon )}(y)$ będzie $\delta -$ otoczeniem punktu $y\in \mathbb{R}^{n}.$ Wtedy

$$\underset{t\rightarrow \tau +0}{\lim }I_{\varepsilon }(y;t-\tau )=0$$ (10.78)

jednostajnie dla wszystkich $y\in \mathbb{R}^{n}.$

$\left[ \text{Dowód-zadanie do domu}\right] .$ Na mocy lematu (10.9) istnieje takie $t_{\varepsilon }>\tau$, że $I_{\delta }(y;t-\tau )<\frac{\varepsilon}{ 2c_{\varphi }}$ dla wszystkich $t_{\varepsilon }>t>\tau$, co daje dzięki (10.48) takie oszacowanie:

$$\vert E(\varphi )-\varphi (y)\vert<2\varepsilon$$ (10.79)

dla każdego $\varepsilon >0$ i $y\in \mathbb{R}^{n}\cap \lim\limits_{\varphi}$, co znaczy, że

$$\underset{t\downarrow \tau }{\lim }E(x-y;t-\tau )=\delta (x-y).$$ (10.80)

dla wszystkich $x,y\in \mathbb{R}^{n},$ co kończy dowód.$\rhd$

Rys. 7

Definicja 10.10   Rozwiązanie podstawowe (10.44) ma nazwę dystrybucji Gauss'a.

Zachodzi takie ogólne twierdzenie.

Twierdzenie 10.11   Równanie ogólne typu parabolicznego w postaci

$$\frac{\partial u}{\partial t}+\mathcal{A}u=f,$$

gdzie

$$\mathcal{A\ \ =-}\underset{i,k=1}{\overset{n}{\sum }}a_{ik}\frac{\partial ^{2}}{\partial x_{i}\partial x_{k}},$$ (10.81)

$a_{ik}\in \mathbb{R}$ , $i,k=\overline{1,n},$ są liczbami stałymi i dla wszystkich $\xi \in \mathbb{R}^{n}$

$$\mathcal{A}(\xi )=-\underset{i,k=1}{\overset{n}{\sum }}a_{ik}\xi _{i}\xi _{k}\geq \sigma \vert\xi \vert^{2},\sigma >0,$$

posiada rozwiązanie podstawowe

$$E(x-y;t-\tau )=\frac{\vartheta (t-\tau )\exp (-\frac{<x,A^{-1}x>}{4t})}{ (4\pi t)^{\frac{n}{2}}(\det A)^{\frac{1}{2}}},$$ (10.82)

spełniające własność (10.51):

$$\underset{t\downarrow \tau }{\lim }E(x-y;t-\tau )=\delta (x-y)$$ (10.83)

dla wszystkich $x,y\in \mathbb{R}^{n}.$

Przykład 10.12   Metoda rozwiązania nieliniowego równania Burgers'a.

Rozważmy równanie

$$\frac{\mathrm{d}{c}}{\mathrm{d}{t}}+cc_{x}-\nu c_{xx}=0, \quad c\vert _{t=0}=F(x),$$ (10.84)

gdzie $c\in C^{2}(\mathbb{R}_{t}^{1}\times \mathbb{R}^{2};\mathbb{R})$ oraz $\nu \in \mathbb{R}_{+}$ jest parametrem. Hopf oraz Cole zastosowali takie przekształcenie równania (10.55):

$$c:=-2\nu (\ln \varphi )_{x} ,$$ (10.85)

skutkiem którego będzie

$$\varphi _{t}-\nu \varphi _{xx}=0, \varphi \vert _{t=0}=\Phi (x),$$ (10.86)

gdzie, wprost znajdujemy

$$\Phi (x)=\exp \Big\{-\frac{1}{2\nu }\underset{0}{\overset{x}{\int }}F(y)dy\Big\}.$$ (10.87)

Równanie (10.57) jest parabolicznym i ma rozwiązanie w takej postaci:

$$\varphi =\frac{\vartheta (t)}{\sqrt{4\pi \nu t}}\underset{\mathbb{R}}{\int } \Phi (y)\exp \left\{ -\frac{(x-y)^{2}}{4\nu t}\right\} dy,$$ (10.88)

które znajdujemy metodą Fourier'a lub metodą funkcji podstawowej. W ostatnim przypadku równanie (10.59) z warunkiem początkowym może być zapisane w postaci uogólnionej jako

$$\tilde{\varphi}_{t}-\nu \tilde{\varphi}_{xx}=\Phi (x)\delta (t),$$ (10.89)

gdzie

$$\tilde{\varphi}:=\left\{ \begin{array}{ll} \varphi &,\text{ }t>0; \\ 0,&\text{ }t\leq 0. \end{array} \right.$$ (10.90)

Niech $t>0;$ wtedy stosując (10.59) do (10.56) otrzymujemy:

$$c(x,t)=\underset{\mathbb{R}}{\int }\left. \frac{x-y}{t}e^{\frac{-G(y)}{2\nu} }dy \rightunderset{\mathbb{R}}{\int }e^{\frac{-G(y)}{2\nu} },$$ (10.91)

gdzie

$$G(y;x,t):=\underset{}{\overset{y}{\underset{0}{\int }}F(z)dz+\frac{(x-y)^{2}}{(2t)}.}$$ (10.92)

Rozważmy teraz równanie (10.55) przy $\nu \rightarrow 0.$ Wtedy oczywiście znajdziemy równanie graniczne

$$c_{t}+cc_{x}=0, \quad c\vert _{t=0}=F(x),$$ (10.93)

a rozwiązanie (10.62) będzie dążyć do rozwiązania (10.64). Żeby zbadać rozwiązanie (10.62) przy $\nu \rightarrow 0$ potrzebujemy znaleźć wyrażenie asymptotyczne odpowiednich całek w (10.62). Dlatego stosujemy zwykłą metodę Laplace'a. Tak więc mamy znależć punkty stacjonarne funkcji $G(y)$, $y\in$ $\mathbb{R}$, tj. punkty gdzie

$$??? \frac{\partial G}{\partial y}=F(y)-\frac{(x-y)}{t}\Rightarrow 0.$$ (10.94)

Niech $y=\xi (x,t)\in \mathbb{R}$ jest rozwiązaniem (10.65). Wtedy największy wkład asymptotyczny przy $\nu \rightarrow 0$ w całkach (10.62) będzie takiej postaci:

$$\underset{\mathbb{R}}{\int }\frac{x-y}{t}e^{\frac{-G(y)}{2\nu} }dy \simeq \frac{ x-\xi (x,t)}{t}\sqrt{\frac{4\pi \nu }{\vert G^{\prime \prime }(\xi )\vert}}\times \exp \big(\frac{-G(\xi )}{2\nu} \big), \notag$$ (10.95)

$$\notag$$ (10.96)

$$\underset{\mathbb{R}}{\int }e^{\frac{-G(y)}{2\nu} }dy \simeq \sqrt{\frac{4\pi \nu }{\vert G^{\prime \prime }(\xi )\vert}}\exp \big(\frac{-G(\xi )}{2\nu} \big),$$ (10.97)

Tak więc otszymujemy z (10.66) i (10.62) przy $\nu \rightarrow 0$ że

$$c(x,t)\Big\vert _{\nu \rightarrow 0}\simeq \frac{x-\xi (x,t)}{t},$$ (10.98)

gdzie na mocy (10.65) $\xi (x,t)$ rozwiązuje równanie

$$F(\xi )-\frac{x-\xi }{t}=0.$$ (10.99)

W ten sposób otrzymaliśmy rozwiązanie równania (10.64), które dzięki (10.67) i (10.68) ma postać:

$$c(x,t)=F(\xi (x,t)), x=\xi +tF(\xi ).$$ (10.100)

Podstawiając (10.69) w równanie (10.64) sprawdzamy, że (10.69) rzeczywiście je spełnia , tj. otrzymaliśmy rozwiązanie nieliniowego równania poprzez rozwiązanie odpowiedniego równania liniowego (10.57).