Własności operatora $L$

Lemat 12.1   Niech $f,g \in Dom(L)$. Wtedy

$$(Lf,g)=(f,Lg)$$ (12.7)

gdzie $(a,b):=\int_{D}\bar{a}\,b \,\mathrm{d}x$ - iloczyn skalarny w $L_{2}(D),\quad a,b \in L_{2}(D), \quad \bar{a} \in L_{2}(D)$ - sprzężenie zespolone.

Mamy na mocy (12.6), że

$$(Lf,g)-(f,Lg)=\int_{\partial D}p \, \big(f \frac{\partial \bar{g}}{\partial n} -\bar{g} \frac{\partial f }{\partial n} \big) \mathrm{d}x$$ (12.8)

gdzie

$${\alpha f + \beta \frac{\partial f}{\partial n} \bigg\vert}_{\par... ... \bar{g} + \beta \frac{\partial \bar{g}}{\partial n}\bigg\vert}_{\partial D}=0$$ (12.9)

Ponieważ na $\partial D \quad \alpha(x)+ \beta(x)>0, \quad x \in \partial D$, to wyznacznik

$$\left \vert \begin{array}{cc} f & \frac{\partial f}{\partial n} ... ...c{\partial \bar{g}}{\partial n} - \bar{g}\frac{\partial f}{\partial n} \equiv 0$$ (12.10)

co gwarantuje warunek $\alpha \cdot \beta \not \equiv 0$. Teraz podstawiając (12.10) w (12.8) znajdujemy (12.7)

Połóżmy teraz w (12.5) $g=\bar{f}$ gdzie $f\in Dom(L),\quad Lf \in L_{2}(D)$:

$$(Lf,f)= \int_{D}p {\big\vert grad \, f \big\vert}^{2} \mathrm{d}x... ...al n} \mathrm{d}S + \int_{\partial D}q {\big\vert f\big\vert}^{2} \mathrm{d}x.$$ (12.11)

Korzystając z (12.2), tj.

$$\left\{%%\textrm{\} \begin{array}{ll} \frac{\partial f}{\... ...=0, \quad x \in \partial D, \end{array} \right. %%\textrm{\}$$

znajdujemy z (12.11), że dla $f \in Dom (L)$

$$(Lf,f)=\int_{D}\big(p \,{\vert grad \,f\vert}^{2}+q {\vert f\vert... ...t_{\partial D_{+}}p \frac{\alpha}{\beta}{\vert f\vert}^{2} \mathrm{d}S \geq 0.$$ (12.12)

Forma kwadratowa (12.12) ma nazwe całki energii. Niech $p_{0}:=\min p(x)$.
Ponieważ $p>0$ na $\bar{D}$, z tego że $p \in C_{1}(\bar{D})$ otrzymujemy, że $p_{0}>0$. Tak więc z (12.12) otrzymujemy takie oszacowanie:

$$(Lf,f) \geq p_{0} {\Big\Vert \vert grad \,f\vert \Big\Vert}^{2}, quad f \in Dom(L),$$ (12.13)

tj. operator $L: \: Dom(L) \rightarrow L_{2}(D)$ jest dodatni. Z tego, że $(Lf,g)=(f,Lg)$ wnioskujemy, że operator $L$ jest hermitowski.